internationale mathematische nachrichten - Österreichische ...

Vorzeichen der Elemente von A und der Komponenten von b eindeutig bestimmt
sind. Die Theorie vorzeichen-lösbarer Systeme nahm ihren Ausgang
in dem 1947 erschienenen Werk Foundations of Economic Analysis“ von
P. Samuelson. Die dort behandelten ”
Fragestellungen wirken seit den späten
sechziger Jahren fruchtbringend auf zahlreiche Untersuchungen der Kombinatorik
und der Linearen Algebra. Grob gesprochen geht es dabei um das
Problem, unter welchen Voraussetzungen algebraische, analytische oder geometrische
Eigenschaften einer Matrix durch die kombinatorische Anordnung
ihrer positiven, negativen und verschwindenden Elemente bestimmt sind. Eine
wichtige Rolle spielen dabei die Klassen der vorzeichen-nichtsingulären
Matrizen, L-Matrizen, S-Matrizen und vorzeichen-stabilen Matrizen. Es verdient
hervorgehoben zu werden, daß die Idee der vorzeichen-nichtsingulären
Matrix in gänzlich anderem Zusammenhang bereits 1963 in einer Untersuchung
von P. W. Kasteleyn über Dimerenstatistik und Phasenübergänge
auftritt.
Mit dem vorliegenden Buch wird erstmals der (in hohem Maß geglückte)
Versuch unternommen, die bisher vorliegende umfangreiche und auf viele
Quellen verstreute Literatur über Vorzeichen-Lösbarkeit als homogenes
Ganzes zu präsentieren und ihren Charakter als Bindeglied zwischen Kombinatorik
(hier vor allem der Graphentheorie) und Linearer Algebra aufzuzeigen.
Dabei werden viele Ergebnisse neu dargestellt, neu bewiesen und in
einen neuen Zusammenhang gebracht. Wichtige Algorithmen, die oft implizit
in Beweisen enthalten sind, werden explizit herausgestellt und sind
mit komplexitätstheoretischen Kommentaren versehen. Die Lektüre dieses
Buches setzt Grundkenntnisse in Linearer Algebra voraus; darüber hinaus
dürfte Vertrautheit mit einigen Aspekten der Graphentheorie und der Kombinatorischen
Matrizentheorie hilfreich sein. Durch die klare und übersichtliche
Darstellung, die von zahlreichen motivierenden Bemerkungen begleitet
wird, ist eine äußerst ansprechende Monographie entstanden. Als Adressaten
werden sich in erster Linie in Kombinatorik und Matrizentheorie tätige
Forscher angesprochen fühlen, doch wird das Buch auch von Informatikern,
Wirtschaftswissenschaftern, Physikern und Chemikern mit Gewinn gelesen
werden.
A. R. Kräuter (Leoben)
Elliott P. D. T. A.: Duality in Analytic Number Theory. (Cambridge
Tracts in Mathematics 122.) Cambridge University Press, 1997, XVIII+-
341 S. ISBN 0-521-56088-8, geb. £ 40.–
Wer sich bei diesem Buch ein einfaches und klares Dualitätsprinzip erwartet,
wie es z.B. in der projektiven Geometrie bekannt ist, wird auf dem
ersten Blick vermutlich enttäuscht sein. So einfach und klar ist die Situation
in der analytischen Zahlentheorie offenbar nicht.
Ausgangspunkt ist hier eine Ungleichung eines bestimmten Typs für additive
oder multiplikative zahlentheoretische Funktionen f, wobei auf der
linken Seite der Ungleichung alle Funktionswerte von f auftreten, auf der
rechten Seite jedoch nur Funktionswerte von Primzahlpotenzen, z.B. die Ungleichung
von Turán-Kubilius. Ihr wird eine Ungleichung gegenübergestellt,
wo linke und rechte Seite ihre Rollen vertauschen, d.h. auf der linken Seite
kommen nur Funktionswerte von Primzahlpotenzen vor. Diese zweite Ungleichung
wird eben mit Hilfe eines von Elliott entwickelten Dualitätsprinzips
aus der ersten abgeleitet, wobei, nach Einführung passender Normen,
Fourier- und funktionalanalytische Methoden zum Einsatz kommen. Wie
52