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Kombinatorik — Combinatorics — Combinatoire
Sachkov V. N.: Probabilistic methods in combinatorial analysis. (Encyclopedia
of Mathematics and Its Applications 56.) Cambridge University
Press, 1997, X+246 S. ISBN 0-521-45512-X, H/b £ 40.–
Das vorliegende Buch ist eine überarbeitete (englische) Fassung des ursprünglich
in russischer Sprache herausgegebenen Buches und ist eine gelungene
Ergänzung des vom selben Autor stammenden Buchs Combinatorial
Methods in Discrete Mathematics, Cambridge University Press, 1997.
Das Ziel des Buches ist, mit Hilfe probabilistischer Methoden Aussagen
über das typische Verhalten kombinatorischer Objekte zu erzielen. Betrachtet
man beispielsweise die Permutationen von n Elementen, so kann man
die Frage stellen, in wieviele Zyklen eine typische Permutation (in dieser
Klasse) zerfällt. Dazu betrachtet man eine diskrete Zufallsvariable X n mit
der Verteilung P[X n = k] = |s(n, k)|/n!. s(n, k) bezeichnet dabei die Stirlingzahlen
1. Art; |s(n, k)| ist ja bekanntlich die Anzahl der Permutationen
von n Elementen, die genau in k Zyklen zerfallen. Der Erwartungswert von
X n ist gerade die mittlere Anzahl der Zyklen und ist ungefähr log n. Auch
die Varianz ist ungefähr log n, und die Verteilung der normierten Zufallsvariablen
(X n − EX √ n)/ VX n konvergiert gegen die Normalverteilung. In
diesem Sinn kann man wirklich davon sprechen, daß eine typische Permutation
von n Elementen etwa in log n Zyklen zerfällt. Neben Permutationen und
allgemeinen kombinatorischen Konstruktionen werden im wesentlichen Permanenten
nicht-negativer Matrizen, Mengenpartitionen und Zufallsgraphen
untersucht.
Die meisten in diesem Buch präsentierten Methoden basieren auf der
Kenntnis einer (explizit) bekannten erzeugenden Funktion (wie es eben bei
den Permutationen der Fall ist) und auf analytischen Methoden, wie der
Sattelpunktsmethode, um komplexe Kurvenintegrale asymptotisch auszuwerten.
Dieses Buch kann jedem an der analytischen Kombinatorik Interessierten
nur wärmstens empfohlen werden.
M. Drmota (Wien)
Algebra und Zahlentheorie — Algebra and Number Theory —
Algèbre et théorie des nombres
Borceux F.: Handbook of Categorial Algebra 1. Basic Category Theory.
(Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 50.) Cambridge
University Press, 1994, XV+345 S. ISBN 0-521-44178-1 H/b £ 45,–.
Borceux F.: Handbook of Categorial Algebra 2. Categories and Structures.
(Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 51.) Cambridge
University Press, 1994, XVII+443 S. ISBN 0-521-44179-X H/b £ 50,–.
As the author writes in the Introduction, his ”
concern in writing the
three volumes of this Handbook of Categorial Algbera has been to propose
a directly accessible account of what a Ph.D. student should ideally know of
category theory before starting research on the precise topic in this domain.“
Here we give a short review of the first two volumes of the Handbook.
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