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Es ist ein Charakteristikum seiner Arbeitsweise, daß er immer nach
möglichst einfachen Beweisen suchte und besonders alle gebietsfremden Bestandteile
aus den Beweisen zu entfernen suchte. Ein Beispiel hiefür ist sein
Beweis des Dirichletschen Satzes, daß in jeder arithmetischen Folge unendlich
viele Primzahlen enthalten sind. Während Dirichlet zum Beweis tiefliegende
Untersuchungen über das Reziprozitätsgesetz und die Klassenanzahl
quadratischer Formen benützt, genügen Mertens elementare Sätze über die
Multiplikation von Reihen. Er ergänzt die Aussage noch durch die Angabe
von Grenzen, zwischen denen wenigstens eine Primzahl liegen muß . (Über
Dirichlets Beweis des Satzes, daß jede unbegrenzte arithmetische Progression,
deren Differenz zu ihren Gliedern teilerfremd ist, unendlich viele Primzahlen
enthält, S.Ber. AkWWien 106 (1897), 254-286.) Ein anderes Beispiel
ist die Bestimmung des Vorzeichens von Gaußschen Summen, in der zeitgemäßen
Form (siehe [1]) dargestellt durch
∑n−1
s2
mπi
φ(m; n) = e n ,
s=0
die für die Bestimmung der Klassenzahl nützlich ist. Die Berechnung des
Betrags der Summe (|φ(m, n)| = √ n) ist noch relativ einfach, doch das Vorzeichen
konnten Gauß, Dirichlet, Kronecker und Lebesgue nur mit Hilfe der
Theorie der elliptischen Funktionen, Transformationen der Thetafunktionen
und bestimmten Integralen bestimmen, während Mertens dazu nur Summen
von trigonometrischen Funktionen benötigte. (Über den quadratischen Reziprozitätssatz
und die Summen von Gauß, S.Ber. AkWWien , 103 (1894),
995-1004.) Auch für die Feststellung, daß e und π transzendent sind, hat
Mertens elementare Beweise gefunden (Über die Transzendenz von e und π,
S.Ber. AkWWien, 105 (1896), 839-855).
Am bekanntesten wurde Mertens durch die nach ihm benannte Vermutung.
Es geht hier um Abschätzungen von Summen über die Möbiussche
µ-Funktion
{ 1 für n = 1
µ(n) = 0, wenn n durch ein Quadrat > 1 teilbar ist,
(−1) k , wenn n Produkt von k verschiedenen Primzahlen ist.
Sei M(x) = ∑ µ(n) für x > 1. M(x) ist dann die Differenz zwischen der
n≤x
Anzahl der quadratfreien natürlichen Zahlen ≤ x mit einer geraden Anzahl
von Primfaktoren und der mit einer ungeraden Anzahl. Der Zusammenhang
dieser Summen mit der Riemannschen Vermutung war um diese Zeit ein
zentrales Thema der analytischen Zahlentheorie. 3 Mertens hat die Werte
von M(x) bis 10.000 berechnet und festgestellt, daß immer
|M(x)| ≤ √ x
3 Die Riemannsche Vermutung, die ja besagt, daß alle Nullstellen der Riemannschen
Zetafunktion ζ(s) im Streifen 0 < R(s) < 1 Imaginärteil I(s) = 1/2 haben,
ist äquivalent dazu, daß lim
x→∞ M(x)x−(1/2)−ε = 0 für alle ε > 0 erfüllt ist.
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