internationale mathematische nachrichten - Österreichische ...

29. Österreichische Mathematikolympiade
Bundeswettbewerb für Fortgeschrittene
(17.–18. Juni 1998)
1. Sei a ≥ 0 eine natürliche Zahl. Gesucht sind alle reellen x, sodaß
√
1 + (a − 1) · 3√ x = 3√ 1 + (a − 1) · √x.
Dabei sind alle auftretenden Quadratwurzeln nicht negativ.
2. Sei Q(n) das Produkt der Quadrate der geraden Zahlen kleiner gleich
n und K(n) das Produkt der Kuben der ungeraden Zahlen kleiner
gleich n. Welche ist die höchste Potenz von 98, die a) Q(n) b) K(n)
und c) Q(n)K(n) teilt?
Dividiert man Q(98)K(98) durch die höchste Potenz von 98, so erhält
man eine Zahl N. Durch welche Zweierpotenz ist N gerade noch teilbar?
3. Die Folge a(n) ist mit a(0) = 0, a(1) = 1 und a(n + 2) = a(n + 1) +
a(n) rekursiv definiert. Man berechne die Summe von a(n)(2/5) n über
alle natürlichen Zahlen n. Für welchen Wert statt 2/5 erhält man als
Summe 1?
4. Sei M die Menge der Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks, unseres
Olympiadesymbols. Wie viele Ketten ∅ ⊂ A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ M von
6 paarweise verschiedenen Mengen, beginnend mit der leeren Menge
und endend mit der gesamten Menge M, gibt es?
5. Es sei P (x) = x 3 − px 2 + qx − r ein kubisches Polynom mit ganzzahligen
Nullstellen a, b, c.
a) Man zeige: Der größte gemeinsame Teiler von p, q, r ist gleich 1 genau
dann, wenn der größte gemeinsame Teiler von a, b, c gleich 1 ist.
b) Man bestimme die Nullstellen des Polynoms Q(x) = x 3 − 98x 2 +
98sx − 98t mit s, t ganz, wenn man weiß, daß sie paarweise verschiedene,
positive natürliche Zahlen sind.
6. In einem Parallelogramm ABCD mit dem Seitenverhältnis AB : BC =
2 : √ 3 schneidet die Normale durch D auf AC die Höhe durch C im
Dreieck ABC auf der Geraden AB.
In welchem Verhältnis stehen die Längen der Diagonalen AC und BD?
Redaktionsschluß: 16. Juli 1998
Ende des redaktionellen Teils
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