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Lowen R.: Approach Spaces. The Missing Link in the Topology-Uniformity-
Metric Triad. (Oxford Mathematical Monographs.) Clarendon Press,
Oxford, 1997, X+253 S. ISBN 0-19-850030-0 H/b £ 57,50.
Diese Buch präsentiert eine überarbeitete und erweiterte Darstellung
der Grundlagen der Approach-Räume, die vom Autor des Buches in den
Jahren 1987–89 eingeführt wurden. Approach-Räume bilden eine Oberkategorie
der Kategorie der topologischen Räume und der Kategorie der metrischen
Räume. Der wesentliche Grund für die Einführung war, das Problem
der Nichtmetrisierbarkeit beliebiger initialer Strukturen von metrisierbaren
Räumen zu lösen. Abgesehen von diesem grundlegenden Aspekt stellte sich
heraus, daß Approach-Räume für sich selbst recht interessante Objekte sind
und daß es zahlreiche natürliche Beispiele von Approach-Räumen etwa in
der Wahrscheinlichkeitstheorie oder der Funktionalanalysis gibt.
Das vorliegende Buch besticht darin, die Theorie der Approach-Räume
umfassend und sehr gut lesbar abzuhandeln. Es wird sicher zur grundlegenden
Literatur jener zählen, die sich mit kategoriellen Aspekten allgemeiner
Distanzstrukturen beschäftigen.
M. Ganster (Graz)
Singer D. A.: Geometry: Plane and Fancy. With 117 Figures. (Undergraduate
Texts in Mathematics.) Springer, New York, Berlin, Heidelberg,
Barcelona, Budapest, Hong Kong, London, Milan, Paris, Santa Clara,
Singapore, Tokyo, 1998, X+159+S. ISBN 0-387-98306-6 H/b DM 69,–.
Dieser Band dreht sich um geometrische Phänomene in einer Trägermannigfaltigkeit
im Zusammenhang mit deren Krümmung“, welche sich
im überwiegenden Teil des Buches aus methodischen ”
Gründen hinter der
Innenwinkelsumme eines Dreiecks verbirgt.
Das erste Kapitel ist den bekannten klassischen Beweisversuchen und den
dabei aufgetretenen Fehlschlüssen gewidmet, im Axiomensystem von Euklid
das Parallelenpostulat aus den anderen herzuleiten (Saccheri, Legendre). Das
zweite Kapitel ist dem euklidischen Fall gewidmet: Pflasterungen der euklidischen
Ebene, fraktale Strukturen und die Beschreibung der Drehstreckungen
mittels komplexer Zahlen werden behandelt. Im dritten Abschnitt werden
die bekannten Modelle der hyperbolischen Ebene vorgestellt. Pflasterungen
im konformen Modell gestatten einen Sprung zu M.C. Escher. Die Möbiustransformationen,
insbesondere die hyperbolischen Bewegungen bilden den
Abschluß. Der vierte Abschnitt ist der sphärischen Geometrie vorbehalten:
Sphärische Pflasterungen werden mit den regulären und halbregulären konvexen
Polyedern in Zusammenhang gebracht. Die projektive Ebene wird mittels
der Antipodalabbildung der Sphäre erklärt. Auch das Möbiusband tritt
als Beispiel einer nichtorientierbaren Fläche auf. Das fünfte Kapitel nimmt
Bezug auf die Starrheit konvexer Polyeder, auf die Darstellung sphärischer
Bewegungen unter Verwendung der Quaternionen und die Polyederfassung
des Satzes von Gauss-Bonnet. Der letzte Abschnitt enthält den Ansatz zur
differentialgometrischen Fassung der Krümmung“ des Trägerraumes.
Inhaltlich und vom Aufbau her ”
wendet sich der Autor an Studierende
des ersten Studienabschnittes, aber auch Vortragende von geometrischen
Schwerpunkten dieses Buches profitieren sehr von der zum Teil unkonventionellen
Sichtweise. Leider ist die Ausführung vieler Figuren sehr unzureichend
(stereographische Projektion, Torusumriß, Visualisierung der sphärischen
Geometrie,....).
P. Paukowitsch (Wien)
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