Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich
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Roland Engfer<br />
<strong>Physik</strong> A<br />
für Naturwissenschaftler<br />
Teil 3: Elektrizität <strong>und</strong> <strong>Magnetismus</strong><br />
UNIVERSITAS<br />
TURICENSIS<br />
MDCCC<br />
XXXIII<br />
Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling<br />
SS 2005<br />
<strong>Physik</strong>-<strong>Institut</strong> der Universität Zürich<br />
September 2004
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einführende Bemerkungen 1<br />
2 Elektrostatik 3<br />
2.1 Das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
2.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
2.3 Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.4 Gauss’scher Satz <strong>und</strong> Poisson’sche Differentialgleichung . . . . . . . . . . 9<br />
2.4.1 Feldlinien oder Stromlinien eines Vektorfeldes † . . . . . . . . . . . 11<br />
2.5 Elektrostatische Felder von geladenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.5.1 Elektrische Felder an Spitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.5.2 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.5.3 Faradaysches Becherexperiment <strong>und</strong> van de Graaff Generator . . . . 16<br />
2.5.4 Berechnung der Felder von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.6 Die Kapazität elektrischer Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.6.1 Beispiele von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.7 Isotrope Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.7.1 Der verallgemeinerte Gauss’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
2.7.2 Beispiele zu Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
2.7.3 Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstanten † . . 26<br />
2.8 Die Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
2.8.1 Berechnung der Kräfte auf Leiter <strong>und</strong> Dielektrika aus der Feldenergie 28<br />
2.8.2 Beispiele zur Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . 29<br />
3 Stationäre elektrische Ströme 31<br />
3.1 Begriffe zur Beschreibung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.1.1 Die Spannung in einem Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.1.2 Die elektrische Stromdichte in einem Leiter . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.1.3 Die elektrische Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.1.4 Der elektrische Widerstand eines Leiters . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.1.5 Elektromotorische Kraft <strong>und</strong> innerer Widerstand . . . . . . . . . . 33<br />
3.1.6 Die Kirchhoff’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.2 Mechanismus <strong>und</strong> Charakteristik der elektrischen Leitung . . . . . . . . . 34<br />
3.2.1 Leitung in Metallen † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
3.2.2 Halbleiter † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
3.2.3 Leitung in flüssigen Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.2.4 Leitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
3.2.5 Anwendungen der Gasentladung für Detektoren . . . . . . . . . . . 43<br />
3.2.6 Leitung in Vakuumröhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
4 Magnetostatik 45<br />
4.1 Die Lorentz-Kraft <strong>und</strong> das ⃗ B-Feld <strong>und</strong> ⃗ H-Feld im Vakuum . . . . . . . . . 45<br />
4.1.1 Erfahrungstatsachen <strong>und</strong> F<strong>und</strong>amentalgesetze . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.1.2 Die Gesetze von Biot-Savart <strong>und</strong> Ampère . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.1.3 Das Vektor-Potential † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
4.2 Anwendungen der Gesetze von Lorentz, Ampère <strong>und</strong> Biot-Savart . . . . . . 50<br />
4.2.1 Das magnetische Feld eines Kreisstromes . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
i
4.2.2 Das Magnetfeld einer langen Spule (Solenoid) . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.2.3 Magnetischer Dipol im homogenen Magnetfeld (oder Messung des<br />
Erdfeldes mit einer Kompassnadel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.2.4 Bestimmung der Masse eines Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
4.2.5 Das Wien-Filter (elektrostatischer Sparator) . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.2.6 Der Halleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.2.7 Bewegung eines geladenen Teilchens im Solenoidfeld . . . . . . . . . 55<br />
4.3 Gedanken zum E- ⃗ <strong>und</strong> B-Feld ⃗ † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4.4 Permeable Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
4.4.1 Erfahrungstatsachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
4.4.2 Magnetisierung <strong>und</strong> magnetische Suszeptibilität † . . . . . . . . . . 57<br />
4.4.3 Die magnetischen Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
4.4.4 Die Energie eines magnetische Dipols im B-Feld ⃗ . . . . . . . . . . 60<br />
4.4.5 Vergleich von Medien im elektrischen <strong>und</strong> magnetischen Feld . . . 61<br />
4.4.6 B- ⃗ <strong>und</strong> H-Felder ⃗ an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
4.4.7 Elektromagnete <strong>und</strong> Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5 Elektrodynamik 64<br />
5.1 Das Faraday’sche Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.1.1 Gr<strong>und</strong>versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.1.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.2 Anwendungen des Induktionsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
5.2.1 Der elementare Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
5.2.2 Wechselspannungsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
5.2.3 Das Betatron † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
5.2.4 Die Unipolarmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
5.2.5 Widerstandsdämpfung beim Galvanometer † . . . . . . . . . . . . . 70<br />
5.2.6 Magnetfeldmessung mit einer Flipspule . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.2.7 Wirbelströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.2.8 Gegenseitige Induktion zweier Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.2.9 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
5.2.10 Energiedichte des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
5.2.11 Analogie der Selbstinduktion zur Masse der Mechanik . . . . . . . 73<br />
5.3 Quasistationäre Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
5.3.1 Stromkreise mit konstanter EMK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
5.3.2 Die konventionelle Spulenzündung beim Auto † . . . . . . . . . . . 76<br />
5.3.3 Der Thomsonsche Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
5.3.4 Harmonische Wechselströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
5.3.5 Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
5.3.6 Arbeitsleistung eines Wechselstromes . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
5.4 Maxwell’scher Verschiebungsstrom <strong>und</strong> Gleichungen . . . . . . . . . . . . 83<br />
5.4.1 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
5.4.2 Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
A <strong>Physik</strong>alische Konstanten Stand 1986 86<br />
ii
B Grössen <strong>und</strong> Einheiten der <strong>Physik</strong> 87<br />
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
B.1.1 Grösse <strong>und</strong> Zahlenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
B.1.2 Grössenart <strong>und</strong> Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
B.1.3 Grössengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
B.1.4 Winkel <strong>und</strong> Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
B.1.5 Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . . 88<br />
B.2 SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
B.2.1 Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen 91<br />
B.2.2 Verschiedene Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
B.2.3 Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . 93<br />
B.3 Astronomische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
C Mathematische Hilfsmittel 94<br />
C.1 Mathematische Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
C.1.1 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
C.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
C.1.3 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
C.1.4 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
C.1.5 Ableitungen <strong>und</strong> unbestimmte elementare Integrale . . . . . . . . . 95<br />
C.1.6 Einige bestimmte Integrale, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
C.1.7 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in <strong>Physik</strong> A . . . . . . . . . 97<br />
C.3 Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
iii
Elektrizität <strong>und</strong> <strong>Magnetismus</strong><br />
1 Einführende Bemerkungen<br />
In der Elektrizitätslehre befassen wir uns mit Phänomenen, die nicht mehr wie in der Mechanik<br />
anschaulich fassbar sind. Eine Masse können wir sehen <strong>und</strong> anheben; eine Ladung<br />
können wir nur durch ihre Wirkung in einer Messung erfassen.<br />
Früher waren die drei Gebiete Elektrizitätslehre, <strong>Magnetismus</strong> <strong>und</strong> die Optik völlig<br />
getrennt <strong>und</strong> standen nebeneinander. Heute sind die elektrischen <strong>und</strong> die magnetischen<br />
Felder <strong>und</strong> damit auch die Optik in der Maxwell’schen Theorie vereinigt. Die Erscheinungen<br />
<strong>und</strong> Beobachtungen machen uns zunächst Schwierigkeiten im Verständnis, anderseits<br />
ist eine Vereinigung verschiedenster Phänomene in einer gemeinsamen einheitlichen<br />
Theorie das Ziel der <strong>Physik</strong>, wie dies vor allem die Teilchenphysik verfolgt. Von den vier<br />
uns bekannten f<strong>und</strong>amentalen Wechselwirkungen der Gravitation, der elektromagnetischen<br />
Wechselwirkung, der schwachen Wechselwirkung <strong>und</strong> der starken Wechselwirkung<br />
der Quarks, sind bisher nur die elektromagnetische Wechselwirkung <strong>und</strong> die schwache<br />
Wechselwirkung zur elektroschwachen Wechselwirkung vereinigt. Die Vereinigung mit den<br />
anderen beiden Wechselwirkungen ist ein wesentliches Fernziel der theoretischen <strong>und</strong> experimentellen<br />
Teilchenphysik (vgl. <strong>Physik</strong> AI Kap.2.4).<br />
Elektromagnetische Erscheinungen <strong>und</strong> ihre Gesetze beeinflussen, wie auch die Mechanik,<br />
einen grossen Teil unseres täglichen - nicht nur des technischen - Lebens. Ich werde wie<br />
auch in <strong>Physik</strong> AI versuchen, die gr<strong>und</strong>sätzlichen Gesetze anhand von Versuchen herauszuarbeiten,<br />
um damit das prinzipielle Verstehen der Gesetzmässigkeiten aufzubauen. Wir<br />
sind dann natürlich immer noch weit davon entfernt, detaillierte <strong>und</strong> auch technische Fragen<br />
zu lösen, wie z.B. die genaue Berechnung eines Generators oder einer elektronischen<br />
Schaltung.<br />
Mit einfachen Mitteln können Körper in Zustände gebracht werden, in denen sie Kräfte<br />
aufeinander ausüben, die auf nichtmechanische Eigenschaften der Materie hindeuten. Werden<br />
z.B. gewisse Materialien aneinander gerieben, so können die daraus resultierenden<br />
Kräfte von so bedeutender Stärke sein, dass sich deren Wirkungen direkt beobachten<br />
lassen. Man nennt solche Körper elektrisch geladen, oder als Postulat: sie tragen eine<br />
elektische Ladung. Solche Materialien sind einfachste Ladungsquellen. Wird ein Körper<br />
mit einer Ladungsquelle in Berührung gebracht, so wird dieser ebenfalls geladen. Gewisse<br />
Substanzen, insbesondere Metalle, haben ferner die Fähigkeit, elektrische Ladungen durch<br />
Leitung von einem auf einen anderen zu übertragen. Ladung kann somit fliessen;<br />
. Für elektrische Ladungen gilt:<br />
ein elektrischer Strom ist bewegte Ladung<br />
• Erhaltung der Ladung: Die Summe der elektrischen Ladungen ist unter Berücksichtigung<br />
der Vorzeichen in einem abgeschlossenen System streng erhalten. Dies ist<br />
der vierte streng erfüllte Erhaltungssatz der <strong>Physik</strong>. Er wird in der Quantenelektrodynamik<br />
mit der Eichinvarianz begründet.<br />
• Quantisierung der Ladung: Jede elektrische Ladung Q ist ein ganzzahliges Vielfaches<br />
der Elementarladung e = 1.60217733(49) · 10 −19 Cb (vgl. auch Tabelle 1).<br />
1
Tabelle 1: Zusammenstellung einiger Elementarteilchen mit ihren Eigenschaften.<br />
q = ±1 bedeutet eine positive oder negative Elementarladung. Jedem Teilchen ist ein<br />
Antiteilchen A zugeordnet mit gleicher Masse jedoch entgegengesetzter Ladung. Es gibt<br />
neutrale Teilchen (γ, π 0 ), bei denen Teilchen <strong>und</strong> Antiteilchen in sich identisch sind. τ<br />
ist die Lebensdauer. 1 MeV/c 2 . = 1.7826627 · 10 −30 kg.<br />
Teilchen Masse Ladung τ Spin<br />
[MeV/c 2 ] [q] [s] [¯h]<br />
Austauschteilchen:<br />
Photon γ 0 0 ∞ 1<br />
Graviton 0 0 ∞ 2<br />
Leptonen:<br />
Elektron e − 0.511 −1 ∞<br />
1<br />
2<br />
Positron A e + 0.511 +1 ∞<br />
1<br />
2<br />
e-Neutrino ν e 0 0 ∞<br />
1<br />
2<br />
e-Antineutrino A ¯ν e 0 0 ∞<br />
1<br />
2<br />
Myon µ − 105.659 −1 2.2 · 10 −6 1 2<br />
Anti-Myon A µ + 105.659 −1 2.2 · 10 −6 1 2<br />
µ-Neutrino ν µ 0 0 ∞<br />
1<br />
2<br />
µ-Antineutrino A 1<br />
¯ν µ 0 0 ∞<br />
2<br />
Mesonen:<br />
Pion π ± 139.57 ±1 2.6 · 10 −8 0<br />
π 0 134.96 0 0.8 · 10 −16 0<br />
K-Meson K ± 493.67 ±1 1.2 · 10 −8 0<br />
K 0 -Meson K 0 497.67 0 0.9 · 10 −10 0<br />
5.2 · 10 −8 0<br />
Baryonen:<br />
Proton p 938.28 +1 ∞<br />
1<br />
2<br />
Neutron n 939.57 0 918<br />
1<br />
2<br />
Lambda Λ 1115.60 0 2.6 · 10 −10 1 2<br />
Sigma Σ + 1189.37 +1 0.8 · 10 −10 1 2<br />
Σ 0 1192.47 0 5.8 · 10 −20 1 2<br />
Σ − 1197.35 −1 1.5 · 10 −10 1 2<br />
• Verknüpfung der Ladung mit Masse: Die Erfahrung <strong>und</strong> alle Beobachtungen<br />
zeigen, dass Ladung immer mit einem Teilchen einer endlichen Masse verknüpft<br />
ist, sie hat damit einen Substanzcharakter (siehe Tabelle 1). Alle Elementarteilchen<br />
ohne Masse m = 0 haben keine Ladung (Neutrino, γ). Dagegen können Teilchen<br />
mit einer Ladung q = 0 eine endliche Masse m ≠ 0 besitzen (Neutron, π 0 ), sie<br />
haben i.a. auch eine von null verschiedene Ladungsverteilung, die nur im Integral<br />
über das ausgedehnte Teilchen exakt null ergibt. Der Gr<strong>und</strong> liegt in der Struktur<br />
der Baryonen (z.B. Neutron, Proton) <strong>und</strong> Mesonen (z.B. π 0 ), die aus geladenen<br />
Quarks aufgebaut sind. Der tiefere Zusammenhang zwischen Ladung <strong>und</strong> Masse<br />
sowie die Tatsache, dass die Ladung des Elektrons <strong>und</strong> des Protons bis auf das<br />
entgegengesetzte Vorzeichen exakt gleich sind, ist bisher unbekannt.<br />
2
Die Existenz von zwei Ladungen wurde zuerst von Ch. F. de Cisternay du Fay (1698-<br />
1739) festgestellt, jedoch erst 1778 von G. F. Lichtenberg (1742-1799) formuliert. Er demonstrierte<br />
1777 in Göttingen eindrucksvoll das Verhalten verschieder Ladungen mit seinen<br />
Staubfiguren. Die Bezeichnung positive + <strong>und</strong> negative - Ladung geht auch auf ihn<br />
zurück 1 .<br />
Die ältesten Ladungsquellen sind für Experimente praktisch kaum zu gebrauchen:<br />
negative Ladung = Ladung des geriebenen Bernsteins<br />
positive Ladung = Ladung des geriebenen Glasstabes.<br />
Erst mit den praktischen Ladungsquellen der Batterien 1799 von Volta (1745-1827)<br />
erf<strong>und</strong>en <strong>und</strong> der elektromagnetischen Induktion 1831 von M. Faraday (1791-1867) entdeckt,<br />
mit denen noch heute der wesentliche Anteil der elektrischen Energie erzeugt wird,<br />
konnten die ersten Experimente zur Elektrizitätslehre <strong>und</strong> zum <strong>Magnetismus</strong> beginnen.<br />
2 Elektrostatik<br />
In diesem Kapitel beschränken wir uns auf das physikalische Verhalten statischer Ladungen.<br />
Es werden im wesentlichen die Kraftwirkungen zwischen ruhenden, geladenen<br />
Körpern diskutiert werden.<br />
2.1 Das Coulombsche Gesetz<br />
Das physikalische Verhalten geladener, ruhender Körper lässt sich auf die folgende f<strong>und</strong>amentale<br />
Erfahrungstatsache zurückführen:<br />
Werden zwei kleine, kugelförmige Körper durch die gleiche Ladungsquelle geladen, so<br />
stossen sie sich gegenseitig ab. Dabei gilt das Coulombsche 2 Gesetz<br />
⃗F Q 1 Q 2<br />
21<br />
⃗<br />
✛ ❡ ✲ ❡ F12<br />
✲<br />
⃗r F12 ⃗ = const. Q 1 · Q 2<br />
12<br />
r12<br />
2<br />
· ⃗r 12<br />
= const. Q 1 · Q 2<br />
· ⃗e<br />
r 12 r12<br />
2 r12 (1)<br />
Q 1 <strong>und</strong> Q 2 sind die Ladungsmengen, kurz Ladungen, die die beiden Körper tragen.<br />
const. ist zunächst eine beliebige Proportionalitätskonstante. Werden die beiden Körper<br />
durch verschiedene Ladungsquellen geladen, so ist die Kraft entweder abstossend oder<br />
anziehend. Wir schliessen daraus, dass zwei Arten elektrischer Ladung existieren, denen<br />
nach Lichtenberg das positive <strong>und</strong> das negative Vorzeichen gegeben wird.<br />
Mit dieser Festsetzung gilt das Coulombsche Gesetz Gl. (1) für beliebige Ladungen 3 .<br />
Damit sind wir in der Lage, eine Ladungseinheit festzusetzen.<br />
Im SI-System wählt man die Einheitsladung, das Coulomb=Cb=As, so, dass zwei<br />
solche Ladungen im Abstand 1m aufeinander die Kraft 8.987552 · 10 9 Nm 2 Cb 2 ausüben.<br />
1 Lichtenberg war der Meinung, dass die <strong>Physik</strong>er “sich mehr an die Zeichengebung der Mathematiker<br />
als an die der Apotheker” halten sollten. Zu den Lichtenbergschen Entladungsfiguren siehe P.O. Pedersen<br />
Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Math.-fys. Medd.I Nr.11 (1919).<br />
2 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806).<br />
3 In der Quantenfeldtheorie wird die Coulombkraft durch das Photon als Austauschteilchen mit einem<br />
ungeraden Spin=1 erzeugt. Für die Wechselwirkung zwischen einem Teilchen (z.B. Elektron mit der<br />
Ladung −e) <strong>und</strong> seinem Antiteilchen (Positron mit der Ladung +e) besteht dann eine anziehende Kraft<br />
<strong>und</strong> bei zwei gleichen Teilchen <strong>und</strong> damit gleichen Ladungen eine abstossende Kraft. Bei der Gravitation<br />
mit dem Graviton als einem Austauschteilchen mit geradem Spin=2 ist die Kraft immer anziehend,<br />
unabhängig von den Kombinationen von Teilchen <strong>und</strong> Antiteilchen.<br />
3
Der genaue Wert ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit mal 10 −7 . Damit ist die Proportionalitätskonstante<br />
const. = 8.987552 · 10 9 N m2<br />
Cb 2 .<br />
Setzt man willkürlich (vgl. Fussnote Kap.2.4.) const. = 1<br />
4πε ◦<br />
, dann ist die neue Influenzkonstante<br />
ε ◦ = 8.85418782 · 10 −12 Cb 2 N −1 m −2 <strong>und</strong> das Coulombsche Gesetz lautet<br />
⃗F = 1 · Q1Q 2<br />
4πε ◦ r 2 · ⃗r r = Q 1Q 2 ⃗r<br />
4πε ◦ r 3 (2)<br />
Für die Umrechnung der mechanischen <strong>und</strong> elektrischen Einheiten 4 gilt:<br />
1 Nm=1 J=1 Ws=1 VAs.<br />
Das Coulombsche Gesetz Gl. (2) gilt exakt für Punktladungen <strong>und</strong> für kugelsymmetrische<br />
Ladungsverteilungen, die sich nicht durchdringen, hierbei ist r der Abstand ihrer<br />
Mittelpunkte 5 .<br />
Vergleicht man die Stärke der Gravitationskraft z.B. zweier Protonen mit der Coulombkraft<br />
derselben Protonen, dann erhält man F G<br />
FC<br />
= Γm2 p 4πε◦<br />
= 1.24 ·10 −36 . Damit kann<br />
e 2<br />
für einzelne Teilchen die Gravitation gegenüber der elektromagnetischen Wechselwirkung<br />
vernachlässigt werden; da es jedoch für die Gravitation im Gegensatz zur Coulombkraft<br />
keine Abschirmung gibt, übersteigt die Gravitation bei genügend grossen Massen trotz<br />
ihrer Schwäche jede andere Wechselwirkung <strong>und</strong> kann dann im Exremfall Neutronensterne<br />
<strong>und</strong> schwarze Löcher bilden.<br />
2.2 Das elektrische Feld<br />
Eine Ladungsverteilung Q übt eine Kraft auf die Test-Ladung q aus.<br />
★✥<br />
❜<br />
⃗F<br />
Q q<br />
✧✦ ✒<br />
⃗r<br />
<br />
<br />
✲<br />
Die Kraft kann geschrieben werden als:<br />
⃗ F(⃗r) = q ⃗ E(⃗r)<br />
Das elektrische Feld der Ladungen Q ist unabhängig von<br />
der Testladung q am Ort ⃗r definiert als<br />
⃗E(⃗r) . = ⃗ F(⃗r)/q,<br />
[E] = Kraft<br />
Ladung = N Cb = V m<br />
4 Bemerkung zum cgs-System: Im elektrostatischen cgs-System lautet das Gesetz von Coulomb:<br />
F = q 1q 2<br />
r 2<br />
→ [F] = cm g/s 2 = dyn.<br />
Damit wird die Einheit für q: cm 3/2 g 1/2 s −1 . Es gilt: 1 Cb = 1 As = 10 c cm 3/2 g 1/2 s −1 (c in m/s) =<br />
2.998 · 10 9 esu. Der Nachteil sind gebrochene Exponenten für abgeleitete Grössen.<br />
Im elektromagnetischen cgs-System gilt: 1 Cb = 0.1 cm 1/2 g 1/2 = 0.1 emu.<br />
5 In der Quantenfeldtheorie erhält man ein Potential ∝ 1 r<br />
<strong>und</strong> damit ein Kraftgesetz ∝<br />
1<br />
r 2 für masselose<br />
Austauschteilchen, für die elektromagnetische Wechselwirkung ist dies das Photon. Daher hat auch die<br />
Gravitation mit dem masselosen Graviton bis auf die Konstante dasselbe Kraftgesetz. Die heutige Grenze<br />
der Photonenmasse ist m γ < 3·10 −27 eV/c 2 = 5·10 −43 g. Ist das Austauschteilchen nicht masselos, dann<br />
muss das Potential modifiziert werden zu ∝ 1 r · e−r mc2 /¯hc , wie bei der schwachen Wechselwirkung mit<br />
den massiven W ± -Bosonen als Austauschteilchen.<br />
4
✛ ❍❨ ❅■ ❆❆❑ ✻ ✁✁✕ ✒<br />
⃗r ❅❘<br />
✟✯ Das Feld einer Punktladung Q ist<br />
✲ +q<br />
✟✙ ❍❥ E(⃗r) ⃗<br />
✠ ❆❆❯ ❅❘<br />
⃗E =<br />
Q⃗r mit ⃗<br />
Q⃗r F = ✁✁☛ ❄<br />
4πε ◦ r 3 4πε ◦ r 3q = Eq ⃗<br />
❆<br />
❍❥ ❅❘ ❆❯ ❄✁☛<br />
✁ ✠ ✟✙<br />
✲ ✛<br />
✟✯ ❍❨<br />
✒<br />
✻ ❅■<br />
✁ ✁✕ ❆❑ ❆<br />
−q<br />
E(⃗r) ⃗<br />
2.3 Das elektrische Potential<br />
Das elektrische Feld einer Punktladung ist ein Zentralfeld ⃗ E = ⃗ E(⃗r). Der Vektor zeigt<br />
(für eine negative Ladung) immer auf denselben Punkt <strong>und</strong> der Betrag ist eine beliebige<br />
Funktion von r. Das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung kann durch Überlagerung<br />
der Zentralfelder der einzelnen Ladungen gebildet werden. Analog zur Mechanik ist das<br />
von den Ladungen erzeugte Feld konservativ <strong>und</strong> es gelten die folgenden vier äquivalenten<br />
Aussagen über die Coulomb-Kraft:<br />
1. Das Linienintegal<br />
∫2<br />
1<br />
⃗F d⃗r = q<br />
∫2<br />
1<br />
⃗E d⃗r = W 1→2<br />
der Kraft, also die Arbeit, die das elektrische Feld leisten muss,<br />
um die Ladung q vom Punkt 1 nach 2 zu verschieben, ist unabhängig<br />
vom Weg.<br />
2. Das Linienintegral über einen geschlossenen Weg verschwindet<br />
✤2<br />
✒<br />
<br />
✣<br />
<br />
✜<br />
⃗E<br />
<br />
✟ ✟✟✟✟✯<br />
1 <br />
✢<br />
✲<br />
als eine Konsequenz von 1.<br />
3. Das elektrostatische Potential<br />
∮<br />
⃗F d⃗r = q<br />
∮<br />
⃗E d⃗r = 0<br />
★✥<br />
⃗E<br />
✟ ✟✟✟✟✯<br />
✘ ✘ ✘ ✘✘✿<br />
✧✦ ✛<br />
✲<br />
Es existiert eine skalare Funktion, aus der durch Gradientenbildung die Kraft ⃗ F<br />
berechnet wird. Während in der Mechanik die Beziehung ⃗ F = −∇V benutzt wird<br />
<strong>und</strong> V die potentielle Energie ist, verwendet man in der Elektrostatik die potentielle<br />
Energie pro Ladungseinheit, d.h. das elektrostatische Potential 6<br />
⃗E . = −∇V = −<br />
[<br />
⃗i ∂V<br />
∂x + ⃗j ∂V<br />
∂y + ⃗ k ∂V ]<br />
∂z<br />
Die vom elektrischen Feld geleistete Arbeit ist damit<br />
∫2<br />
W 1→2 = q<br />
1<br />
⃗E d⃗r = −q[V (2) − V (1)],<br />
V (2) − V (1) ist die Potentialdifferenz oder die Spannung zwischen 1 <strong>und</strong> 2.<br />
6 Für das elektrostatische Potential wird wieder der Buchstabe V benutzt, da in diesem Kapitel keine<br />
mechanischen Potentiale behandelt werden.<br />
(3)<br />
5
4. Für das konservative elektrostatische Feld gilt wie auch in der Mechanik<br />
rot ⃗ E = ∇ × ⃗ E = 0<br />
Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei <strong>und</strong> es gibt keine geschlossenen Feldlinien<br />
in der Elektrostatik. Die Feldlinien beginnen in positiven <strong>und</strong> enden in negativen<br />
Ladungen.<br />
Die Dimension des Potentials ist [V ] =[Feldstärke][Länge]= Nm<br />
As<br />
<strong>und</strong> die Einheit ist<br />
Volt [V] also<br />
Newton<br />
Coulomb Meter = Volt = N Cb m = N A s m = V<br />
Die Einheit der Feldstärke E kann damit auch als 1<br />
As N = 1 m V geschrieben werden.<br />
Jedem Punkt des elektrostatischen Feldes werden die zwei Grössen der Vektor E ⃗ <strong>und</strong><br />
der Skalar V zugeordnet. Wie in der Mechanik ist V nur bis auf eine additive Konstante<br />
bestimmt <strong>und</strong> es muss ein Bezugspunkt gewählt werden, auf den alle Potentiale bezogen<br />
werden. In der Praxis wird oft ein Punkt im Unendlichen oder ein ausgezeichneter<br />
Punkt (Erde) auf das Potential Null festgesetzt. Im folgenden sind einige Beispiele für<br />
Feldstärken <strong>und</strong> Potentiale berechnet; beachte, dass viele Beispiele wie 1.-4. einfacher mit<br />
dem Gauss’schen Satz Gl. (7) gelöst werden können.<br />
1. Feld <strong>und</strong> Potential einer Punktladung Q<br />
Mit dem Coulombschen Gesetz Gl. (2) F ⃗ = 1<br />
✛✘<br />
V (r)<br />
✛ ❍❨ ❅■ ❆❆❑ ✻ ✁✁✕ ✒<br />
<br />
✟✯<br />
F<br />
⃗E(⃗r) = ⃗<br />
Q<br />
✲<br />
q = 1 Q ⃗r<br />
4πε<br />
✟✙ ⃗r<br />
✚✙<br />
❆ ❆❯ ❍❥ E ⃗ ◦ r 2 r<br />
✠ ❆❆❯ ❅❘ ✁✁☛ ❄ Das Potential ist mit der vernünftigen Annahme<br />
V ∞ = V (r = ∞) = 0<br />
∫ ∞<br />
V (r) − V ∞ = ⃗E · d⃗r = Q ∫ ∞ ⃗r · d⃗r<br />
= Q<br />
r 4πε ◦ r r 3 4πε ◦ r<br />
4πε ◦<br />
Qq<br />
r 2 ⃗r<br />
r ist<br />
Feld einer<br />
Punktladung Q<br />
⇒ V (r) = 1 Q<br />
4πε ◦ r<br />
Die Aequipotentialflächen sind konzentrische Kugelflächen. Das E-Feld steht als Folge<br />
der Beziehung ⃗ E = −∇V senkrecht auf den Äquipotentialflächen.<br />
2. Das Feld eines ∞ langen, uniform geladenen, geraden Drahtes<br />
dx ′ ✻<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
r ❅ ✒✲<br />
ϑ<br />
dE<br />
⃗ ❅❘ dE ⃗ ′<br />
R<br />
<br />
dx ✻<br />
Aus Symmetriegründen muss ⃗ E für einen positiv geladenen,<br />
∞ langen Draht radial zylindersymmetrisch nach aussen<br />
stehen, E ϕ = 0. Das Feld der Ladung dQ = λdx ′ des Elementes<br />
dx ′ (λ = Ladung/Längeneinheit, As/m) beträgt:<br />
dE ′ =<br />
λdx′ <strong>und</strong> |dE| 4πε ◦ R ⃗ = 2λ cos ϑ dx<br />
2 4πε ◦ R 2<br />
für das der beiden Stücke dx <strong>und</strong> dx ′ .<br />
damit ist mit R = r<br />
∫<br />
R dϑ<br />
, dx =<br />
cos ϑ cos ϑ , E =<br />
6<br />
dE =<br />
2λ ∫ π/2<br />
cosϑdϑ =<br />
4πε ◦ r 0<br />
(4)<br />
(5)<br />
λ<br />
2πε ◦ r .
Das Feld nimmt linear mit 1/r ab. V =<br />
λ ln R 1 λ<br />
, V (R) = 0, E =<br />
2πε ◦ r 2πε ◦ r<br />
(6)<br />
3. Potential eines uniform geladenen geraden Leiters (Koaxialleiter)<br />
Das Potential im Abstand R sei 0. Damit ist mit<br />
Gl. (6)<br />
r<br />
R<br />
E =<br />
λ<br />
2πε ◦ r<br />
⇒ V (r) =<br />
λ ∫ R dr<br />
2πε ◦ r r =<br />
λ<br />
2πε ◦<br />
ln R r .<br />
4. Das Feld einer uniform geladenen unendlich grossen Platte<br />
Aus Symmetriegründen steht ⃗ E senkrecht zur Platte.<br />
dE n<br />
In Analogie zu 2. ist dE n = dQ<br />
4πε ◦ R 2 cos ϑ<br />
→<br />
ϑ<br />
r<br />
R<br />
dϑ<br />
E ist unabhängig vom Abstand.<br />
E=0<br />
→<br />
E=E1+E2<br />
+<br />
E=0<br />
-<br />
→<br />
E2<br />
→<br />
→<br />
E1<br />
Q2<br />
Q1<br />
dQ = 2πrσdr, σ = Flächenladungsdichte [As/m 2 ],<br />
r = R sin ϑ,<br />
∫<br />
E =<br />
dr = R dϑ<br />
cos ϑ<br />
(s.Fig.),<br />
dE n = σ ∫ π/2<br />
sin ϑ dϑ = σ<br />
2ε ◦ 0 2ε ◦<br />
V = σd<br />
2ε ◦<br />
, V (0) = 0, E = σ<br />
2ε ◦<br />
Für zwei parallele, entgegengesetzt gleich geladene<br />
Platten (Kondensator) erhält man die anziehende<br />
d✻✻✻ E=σ/ε◦ Kraft: F 12 = E 1 Q 2 = σQ 2<br />
= Q 1Q 2<br />
2ε ◦ 2ε ◦ A<br />
unabhängig vom Abstand, da mit<br />
A = Plattenfläche ≫ d 2 das Feld bis auf Randeffekte<br />
homogen ist. Das Feld der beiden Platten ist die<br />
Vektorsumme zwischen den Platten: E = σ/ε ◦<br />
<strong>und</strong> ausserhalb: E = 0.<br />
Das E-Feld der unendlichen Platte <strong>und</strong> das Feld im Kondensator unterscheiden sich<br />
um einen Faktor zwei, da die Platte symmetrisch von den positiven Ladungen ein<br />
E-Feld nach +∞ <strong>und</strong> −∞ <strong>und</strong> der Kondensator nur zwischen den Platten E = σ/ε ◦<br />
aber aussen null hat.<br />
5. Beliebig verteilte Punktladungen Q 1 · · ·Q n<br />
Für die konservative Coulombkraft gilt das Superpositionsprinzip. Für n Ladungen<br />
Q n an den Orten ⃗r n ist damit die resultierende Kraft auf eine Ladung q am Ort<br />
⃗r<br />
7
Q i<br />
❝ |⃗r − ⃗r i |<br />
✻❅<br />
❅<br />
⃗r i ❅❅❘q<br />
✟ ✟✟ ✟✯<br />
⃗r<br />
∑<br />
F(⃗r) ⃗ n = ⃗F i = q<br />
i=1<br />
∫ r<br />
V (⃗r) = −<br />
∞<br />
n∑<br />
⃗E i = qE<br />
⃗<br />
i=1<br />
∫ r<br />
⃗E d⃗r = −<br />
∞<br />
n∑ n∑<br />
⃗E i d⃗r =<br />
i=1 i=1<br />
<strong>und</strong> damit das Potential<br />
V i = 1<br />
4πε ◦ n ∑<br />
i=1<br />
Q i (⃗r i )<br />
|⃗r − ⃗r i |<br />
Feldstärke <strong>und</strong> Potential sind additiv, wobei für die Feldstärke der Vektorcharakter<br />
zu beachten ist.<br />
6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen<br />
Für einen geladenen Körper, bei dem die Ladung kontinuierlich über das ganze<br />
Volumen verteilt ist, kann eine Ladungsdichte<br />
ρ(⃗r Q ) = dQ<br />
dτ<br />
definiert werden.<br />
dQ ist die in einem Volumenelement dτ an der Stelle ⃗r Q enthaltene Ladung.<br />
0<br />
r Q<br />
dτ<br />
r<br />
dQ<br />
r–<br />
r Q<br />
dE<br />
dQ erzeugt am Ort ⃗r die Feldstärke<br />
d ⃗ E = 1<br />
4πε ◦<br />
ρ(⃗r Q )dτ<br />
|⃗r − ⃗r Q | 3(⃗r − ⃗r Q).<br />
Analog zum Ergebnis des vorhergehenden Beispiels erhält man die totale Feldstärke<br />
im Punkte ⃗r mit einer Integration von d ⃗ E über die gesamte Ladungsverteilung des<br />
Körpers, wobei V (r = ∞) = 0 gesetzt wird:<br />
⃗E(⃗r) = 1<br />
4πε ◦<br />
∫<br />
Körper<br />
ρ(⃗r Q )(⃗r − ⃗r Q )<br />
|⃗r − ⃗r Q | 3 dτ ⇒ Potential V (⃗r) = 1<br />
4πε ◦<br />
∫<br />
7. Eine beliebige flächenhafte Ladungsverteilung<br />
Körper<br />
ρ(⃗r Q )<br />
|⃗r − ⃗r Q | dτ.<br />
kann in analoger Weise berechnet werden. Das Flächenelement dA an der Stelle ⃗r Q<br />
der Fläche A enthalte die Ladung dQ <strong>und</strong> damit die Flächenladungsdichte<br />
dQ<br />
r Q<br />
0 r<br />
dA<br />
⃗E = 1<br />
4πε ◦<br />
∫<br />
r–<br />
r Q<br />
Fläche A<br />
dE<br />
σ(⃗r Q ) = dQ<br />
dA .<br />
dQ erzeugt in ⃗r die Feldstärke<br />
d ⃗ E = 1<br />
4πε ◦<br />
σ(⃗r Q ) dA<br />
|⃗r − ⃗r Q | 3 (⃗r − ⃗r Q)<br />
σ(⃗r Q ) (⃗r − ⃗r Q )<br />
|⃗r − ⃗r Q | 3 dA sowie V = 1<br />
4πε ◦<br />
∫<br />
Fläche A<br />
<strong>und</strong><br />
σ(⃗r Q )<br />
|⃗r − ⃗r Q | dA.<br />
Diese direkte Integrations- oder Summationsmethode kann für vorgegebene Ladungsverteilungen<br />
angewendet werden. Als Beispiel berechnen wir das Feld einer<br />
homogen geladenen Kreisscheibe vom Radius a auf der Symmetrieachse.<br />
Ein Flächenelement dA = r ′ dr ′ dϕ erzeugt ein Feld |d ⃗ E| = 1<br />
4πε ◦<br />
σ dA<br />
r 2 .<br />
8
dA'<br />
⇒<br />
→<br />
E<br />
r<br />
ϑ<br />
r'<br />
ϑ<br />
z<br />
ϕ<br />
y<br />
a<br />
x<br />
Wegen der Symmetrie 7 der Anordnung hat das totale<br />
Feld auf der Achse nur eine z-Komponente<br />
∫<br />
E =<br />
∫<br />
dE z =<br />
dE cos ϑ =<br />
mit dA ′ = 2πr ′ dr ′ <strong>und</strong> cos ϑ = z r =<br />
∫ cos ϑ dA<br />
′ ∫ a<br />
z 2πr ′<br />
= dr ′ z 2π<br />
a<br />
= −<br />
r 2 = 2π<br />
(r ′2 + z 2 ) 3 2 (r ′2 + z 2 ) 1 2<br />
∣<br />
0<br />
0<br />
⇒ E = E(z) = σ (<br />
)<br />
z<br />
1 − √<br />
2ε ◦ a2 + z 2<br />
σ<br />
4πε ◦<br />
∫ cos ϑ dA<br />
′<br />
r 2 ,<br />
(<br />
1 −<br />
z<br />
√<br />
r<br />
′2<br />
+ z 2<br />
)<br />
z<br />
√ .<br />
a2 + z 2<br />
mit den Grenzfällen E(z = 0) = σ <strong>und</strong> E(a → ∞) = σ<br />
2ε ◦ 2ε ◦<br />
Der zweite Fall entspricht einer unendlich ausgedehnten mit Ladung belegten Ebene,<br />
das von ihr erzeugte E-Feld ist unabhängig vom Abstand von der Ebene.<br />
2.4 Gauss’scher Satz <strong>und</strong> Poisson’sche Differentialgleichung<br />
In der Mechanik (Phys AI Kap.6.3) haben wir gezeigt, dass für die Coulombkraft, wegen<br />
ihrer r −2 -Abhängigkeit, die Flussregel als ein Sonderfall des allgemeineren Satzes von<br />
Gauss<br />
(auch mit anschaulicher Intuition) gilt:<br />
E<br />
∮<br />
Φ =<br />
∮<br />
⃗E · dA ⃗ =<br />
E n dA = 1 ε ◦<br />
∑<br />
i<br />
Q i = Q innen<br />
ε ◦<br />
(7)<br />
E n<br />
dA<br />
Q<br />
dA<br />
E n<br />
E<br />
A<br />
E n ist die Normalkomponente des E-Feldes an der Stelle<br />
eines Flächenelementes dA einer geschlossenen Fläche 8 .<br />
In Worten besagt die Flussregel: Der Fluss Φ des elektrischen<br />
Feldes durch eine geschlossenen Fläche hängt nur von der eingeschlossenen<br />
Ladung Q ab <strong>und</strong> ist unabhängig von der Form von<br />
A <strong>und</strong> der Verteilung von Q, wie dies für den Fluss des Gravitationsfeldes<br />
in der Mechanik (Phys AI Kap.6.3) gezeigt wurde.<br />
Alle nicht eingeschlossenen Ladungen tragen nicht zum Fluss bei<br />
<strong>und</strong> insbesondere verschwindet der Fluss, wenn die geschlossene<br />
Fläche keine Ladungen einschliesst.<br />
7 Symmetrieüberlegungen können sehr häufig eine Rechnung wesentlich vereinfachen <strong>und</strong> zum<br />
Verständnis eines Problems beitragen.<br />
Im vorliegenden Fall ist die Scheibe eine Spiegelebene <strong>und</strong> bezüglich der z-Achse herrscht Rotationssymmetrie,<br />
d.h. eine Drehung um einen beliebigen Winkel ϕ ändert das E-Feld ⃗ nicht. Wäre E y ≠ 0<br />
<strong>und</strong> E x = 0, dann wäre diese Rotationssymmetrie verletzt. Die Symmetrie verlangt daher E y = 0 <strong>und</strong><br />
E x = 0 auf der Symmetrieachse. Ein Drehsinn um die z-Achse ist nicht ausgezeichnet, daher kann es auch<br />
keine geschlossene E ϕ -Komponente um die z-Achse geben, die eine Drehrichtung auszeichnen würde. Im<br />
elektrostatischen Fall ist zusätzlich ∇ × E ⃗ = 0 <strong>und</strong> die Feldlinien sind nicht geschlossen (wirbelfrei).<br />
8 Bei einer Integration über eine geschlossene Kugelfläche ist A = 4π · r 2 , wegen dieses Faktors 4π<br />
wurde im Coulombgesetz in SI-Einheiten Gl. (2) der Faktor 4π eingeführt, der dann im Gauss’schen Satz<br />
wegfällt. In cgs-Einheiten ist dagegen Φ = 4π Q gewählt worden.<br />
9
R<br />
V<br />
P<br />
E<br />
→<br />
a<br />
Eine Anwendung der Flussregel sei neben den Beispielen 1.-4. S.6 eine<br />
Kugel mit Radius a, die homogen kugelsymmetrisch mit einer<br />
konstanten Ladungsdichte ρ = ρ(r) =konst. belegt ist. Die totale<br />
Ladung ist Q =<br />
∫<br />
Kugel<br />
ρ(r) dτ,<br />
dτ : Volumenelement der Kugel.<br />
Aus der Symmetrie der Kugel müssen die Feldlinien des ⃗ E-Feldes radial verlaufen, d.h.<br />
E = E(r). Mit der Flussregel für eine Kugelfläche mit dem Radius R konzentrisch zur<br />
Kugel a <strong>und</strong> dem ⃗ E-Feld E n = E(r) gilt<br />
∮<br />
Φ =<br />
∮<br />
E n dA = E(R)<br />
dA = E(R) 4π R 2 = Q ε ◦<br />
<strong>und</strong> damit für das Feld<br />
E(R) = 1<br />
4πε ◦<br />
Q<br />
R 2 für (R ≥ a)<br />
Dies ist das gleiche Feld wie das einer Punktladung Gl. (4) <strong>und</strong> wir können das Potential<br />
von Gl. (5) übernehmen:<br />
V (R) = 1 Q<br />
4πε ◦ R<br />
für (R ≥ a) (8)<br />
Diese Ergebnisse gelten für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen ρ(⃗r) = ρ(r). Auch in<br />
diesem Fall konnte das Integral der Flussregel (Gauss’scher Satz) unter der Ausnutzung<br />
der Symmetrieeigenschaften gelöst werden.<br />
Für<br />
eine kontinuierliche Ladungsverteilung mit der Dichte ρ(⃗r) lässt sich der Gauss’sche<br />
Satz auch in differentieller Form schreiben. Ist A die Oberfläche eines Volumenelementes<br />
dτ = dx ·dy · dz, das die Ladung dQ = ρ ·dτ enthält, so ist der Feldfluss dΦ Gl. (7) durch<br />
✻ z ✘ ✘ ✻ Ez(z+dz) die einzelnen Oberflächenelemente dieses Würfels:<br />
✏ dx ✏✶ Ey(y+dy)<br />
✲ dΦ = [E x (x + dx) − E x (x)]dydz + [E y (y + dy) − E y (y)]dzdx+<br />
E x(x) ✏✶ dz E Ey(y) x(x+dx)<br />
✑ (x,y,z)<br />
dy<br />
+[E z (z + dz) − E z (z)] dxdy = ρ dxdydz<br />
✏✏✶ y E z(z)<br />
✲x<br />
ε ◦<br />
Dividieren wir durch das Volumenelement dxdy dz <strong>und</strong> nehmen den Grenzfall<br />
dx, dy, dz → 0, so erhalten wir die partielle Differentialgleichung<br />
∂E x<br />
∂x + ∂E y<br />
∂y + ∂E z<br />
∂z = ρ ε ◦<br />
⇒ div ⃗ E = ∇ · ⃗E = ρ ε ◦<br />
1. Maxwell<br />
Gleichung<br />
Diese 1. Maxwellsche Gleichung ohne Medium formuliert die Tatsache, dass Ladungen<br />
die Quellen des elektrischen Feldes ⃗ E sind 9 .<br />
Das ⃗ E-Feld wurde aus der konservativen Coulomb-Kraft abgeleitet <strong>und</strong> kann daher<br />
mit dem Gradienten des Potentials V nach Gl. (3) dargestellt werden zu ⃗ E = −∇V .<br />
9 Man vergleiche dieses Ergebnis mit der Kontinuitätsgleichung in der Hydromechanik<br />
(Phys AI Kap.12.3.1.) bei der keine Quellen auftraten <strong>und</strong> in Analogie ρ = 0 gesetzt wurde.<br />
(9)<br />
10
Verknüpft man die beiden Gleichungen (9) <strong>und</strong> (3) miteinander, so erhält man wie auch<br />
in der Hydromechanik (Phys AI Kap.12.3.5.):<br />
−∇ · ⃗E = ∇ · ∇V = div grad V = ∂2 V<br />
∂x + ∂2 V<br />
2 ∂y + ∂2 V<br />
= ∆V = − ρ Poisson’<br />
2 ∂z 2 ε ◦ Diff.gl.<br />
(10)<br />
Die beiden Gleichungen (3) <strong>und</strong> (10) sind differentielle Beziehungen 10 zwischen den Quellen<br />
ρ(⃗r) <strong>und</strong> den von ihnen erzeugten Feldern ⃗ E(⃗r) bzw. V (⃗r). Es sind die f<strong>und</strong>amentalen<br />
Differentialgleichungen der Elektrostatik <strong>und</strong> als solche eine direkte Konsequenz des Coulombschen<br />
Gesetzes.<br />
Aus der Poisson’schen Differentialgleichung 11 kann für eine vorgegebene Ladungsverteilung<br />
im Prinzip das Potential <strong>und</strong> mit Gl. (3) das elektrische Feld berechnet werden. Für<br />
kugelsymmetrische Verteilungen ρ(⃗r) = ρ(r) sind die Lösungen oft einfach, man beachte<br />
dabei, dass im Aussenraum immer das reine Coulombfeld V (r) ∝ 1/r herrscht 12 . Für nicht<br />
kugelsymmetrische Verteilungen entwickelt man oft das Potential nach Momenten der Ladungsverteilung<br />
(vgl. auch Kap. 2.3), z.B. Quadrupolmomente <strong>und</strong> Hexadekapolmomente<br />
eines deformierten (nichtkugelsymmetrischen) Atomkerns oder einer nichtkugelsymmetrischen<br />
Elektronenhülle in der Atomphysik (z.B. Quadrupol-Hf-Struktur, NQR).<br />
2.4.1 Feldlinien oder Stromlinien eines Vektorfeldes †<br />
Ein skalares Feld (z.B. Potential einer konservativen Kraft oder eines elektrischen Feldes)<br />
kann direkt dargestellt werden 13 als Flächen mit V =konst. (z.B. Kugelflächen für<br />
eine Punktladung, Ebenen im Parallelkondensator). Der Vektor ⃗ F(⃗r) eines Vektorfeldes<br />
dagegen kann nur am Ort ⃗r als ein Vektor dargestellt werden (z.B. Figur Seite 6). In<br />
der Hydrodynamik (siehe Phys.AI Kap.12.3.3) geben die Stromlinien eines vektoriellen<br />
Geschwindigkeitsfeldes die räumliche Bewegung eines Flüssigkeitselementes wieder. In der<br />
Elektrostatik bezeichnen die Feldlinien die Startrichtung einer ruhenden Ladung in dem<br />
Feld senkrecht zu den Potentiallinien. Feldlinien <strong>und</strong> auch Stromlinien sind damit die<br />
räumlichen Kurven des Feldes, deren Tangenten dieselben Richtungen (nicht Betrag) wie<br />
die Feldvektoren haben, d.h. es gilt 14 ⃗ F(⃗r) ‖ d⃗r <strong>und</strong> damit<br />
dr →<br />
P<br />
→<br />
r<br />
→<br />
F(r)<br />
→<br />
⃗F(⃗r) × d⃗r = 0 (11)<br />
Dies ist die vektorielle Differentialgleichung der Feldlinien. In<br />
Komponenten ist F x dy − F y dx = 0, F y dz − F z dy = 0<br />
<strong>und</strong> F z dx − F x dz = 0 bzw.<br />
dy<br />
dx = F y<br />
F x<br />
,<br />
dz<br />
dy = F z<br />
F y<br />
,<br />
dx<br />
dz = F x<br />
F z<br />
(12)<br />
10 In der Gl. (10) ist, wie schon in der Hydromechanik (Phys AI Kap.12.3.5.), ∇ · ∇ = ∆ der<br />
Laplace Operator.<br />
11 eine inhomogene Potentialgleichung. Die homogene Potentialgleichung wäre ohne Ladungen ∆V = 0.<br />
12 Vergleiche dasselbe Problem für das Gravitationspotential einer homogen mit Masse verteilten Kugel.<br />
13 R.Rothe ’Höhere Mathematik’ Teil III, S.129, 1953 Teubner,<br />
W.R.Smythe ’Static and Dynamic Electricity’ Mc Graw Hill S.7 1968<br />
14 Man kann auch setzen d⃗r = λE, ⃗ wobei λ eine Proportionalitätskonstante ist, damit wird<br />
dx<br />
E x<br />
= dy<br />
E y<br />
= dz<br />
E z<br />
= λ<br />
⇒ dy<br />
dx = E y<br />
E x<br />
usw. in Übereinstimmung mit Gl.(12).<br />
11
Die Lösungen dieser gekoppelten Differentialgleichungen sind als Funktion einer unabhängigen<br />
Variablen t z.B. mit t = x zu bestimmen. Da in den Gl.(12) nur die Verhältnisse<br />
der Komponenten der Feldvektoren auftreten, sind die Feldlinien unabhängig von<br />
der Stärke des Feldes, das sich längs der Feldlinien ändert.<br />
Vereinfacht nur in der zweidimensionalen x − y-Ebene mit F z = 0, dz = 0 gilt<br />
für die Feldlinien 15<br />
dy<br />
dx = F y(x,y)<br />
F x (x,y) . (13)<br />
1. Das Dipolfeld zweier Ladungen im Abstand 2a<br />
Als ein Beispiel soll das Dipolfeld zweier Ladungen q 1 <strong>und</strong> q 2 berechnet werden.<br />
y<br />
→<br />
r 1<br />
F(x,y)<br />
4πε ◦ E x = q 1<br />
· x + a + q 2<br />
· x − a , 4πε<br />
r 2<br />
r1<br />
2 r 1 r 2 ◦ E y = q 1<br />
· y + q 2<br />
· y<br />
2 r 2 r1<br />
2 r 1 r2<br />
2 r 2<br />
q a a<br />
x<br />
1 q 2<br />
mit r1 2 = (x + a) 2 + y 2 , r2 2 = (x − a) 2 + y 2<br />
Mit der Substitution u = x + a , v = x − a r1<br />
2 <strong>und</strong> damit<br />
y y<br />
y = r 2 u2 2<br />
2 +1,<br />
y = 2 v2 +1 (14)<br />
q 1 u<br />
wird 4πε ◦ E x =<br />
y 2 (1 + u 2 ) + q 2 v<br />
3/2 y 2 (1 + v 2 ) 3/2, 4πε q 1<br />
◦ E y =<br />
y 2 (1 + u 2 ) + q 2<br />
3/2 y 2 (1 + v 2 ) 3/2<br />
dy<br />
dx = E y<br />
E x<br />
=<br />
q 1 (1 + v 2 ) 3/2 + q 2 (1 + u 2 ) 3/2<br />
q 1 · u(1 + v 2 ) 3/2 + q 2 · v(1 + u 2 ) 3/2 (15)<br />
Mit Gl.(14) ist x =<br />
a(u + v)<br />
u − v , y = 2a<br />
u − v ,<br />
a(du + dv)<br />
dx = −<br />
u − v<br />
a(u + v)<br />
(du − dv),<br />
(u − v)<br />
2<br />
dy = −<br />
2a<br />
(u − v) 2(du − dv), dy<br />
dx =<br />
dv − du<br />
udv − v du<br />
dv − du<br />
udv − v du = q 1 (1 + v 2 ) 3/2 + q 2 (1 + u 2 ) 3/2<br />
q 1 · u(1 + v 2 ) 3/2 + q 2 · v(1 + u 2 ) 3/2<br />
für u <strong>und</strong> v<br />
∫<br />
∫<br />
q 1 du<br />
(1 + u 2 ) = − 3/2<br />
du<br />
dv = −q 2 (1 + u 2 ) 3/2<br />
q 1 (1 + v 2 )<br />
Mit Gl.(14) sind dann<br />
<strong>und</strong> mit Gl.(15) erhält man<br />
<strong>und</strong> die Differentialgleichung<br />
3/2,<br />
die einfach integriert werden kann<br />
q 2 dv<br />
(1 + v 2 ) = konst. ⇒ √ q 1u<br />
+ √ q 2v<br />
= C<br />
3/2 1 + u<br />
2 1 + v<br />
2<br />
q 1 (x + a)<br />
√<br />
(x + a) 2 + y + q 2 (x − a)<br />
√(x 2 − a) 2 + y = C (16)<br />
2<br />
die Feldlinien des elektrischen Dipols. Gl.(16) muss numerisch gelöst werden mit verschiedenen<br />
Werten für C =konst. Das entspechende skalare Potential V (⃗r) ist numerisch<br />
aus<br />
V (⃗r) = q 1<br />
+ q 2 q 1<br />
= √<br />
4πε ◦ r 1 4πε ◦ r 2 4πε ◦ (x + a) 2 + y + q 2<br />
√<br />
(17)<br />
2 4πε ◦ (x − a) 2 + y 2<br />
15<br />
dy<br />
dx = −F x(x,y)<br />
ist dann die Differentialgleichung der Linien eines Feldes, das senkrecht auf den<br />
F y (x,y)<br />
Feldlinien der Gl.(13) steht <strong>und</strong> das damit auch das Potential darstellen kann.<br />
12
erechenbar. Die Potentiallinien Gl.(17) stehen senkrecht zu den Feldlinien Gl.(16). In den<br />
Figuren sind die Feldlinien <strong>und</strong> Potentiallinien für die beiden Fälle q 2 = −q 1 <strong>und</strong> q 2 = q 1<br />
dargestellt. Man beachte, dass die Orthogonalität in den Figuren nur gewährleistet ist,<br />
wenn die Massstäbe der x- <strong>und</strong> y-Achse identisch sind.<br />
y/a<br />
y/a<br />
E →<br />
E →<br />
V<br />
+ -<br />
x/a<br />
V<br />
+<br />
+<br />
x/a<br />
Potential <strong>und</strong> Feld eines elektrischen Dipols<br />
4πε o aV/q→V=0, 1/4, ... 15/4; C/q→C=0, 1/8, ... 2<br />
V=0 entspricht der y-Achse<br />
Feld <strong>und</strong> Potential zweier gleicher Ladungen<br />
4πε o aV/q→V=3/4, ... 15/4; C/q→C=0, 1/8, ... 2<br />
Die Stärke des Feldes ist proportional zur Dichte der Feldlinien bzw. zur Dichte der<br />
Potentiallinien. Die Potentiallinien für q 1 = q 2 = q sind für V > 2 zwei separate Linien, für<br />
V < 2 eine gemeinsame Linie <strong>und</strong> für V = 2 zwei separate Linien mit einem gemeinsamen<br />
’Kreuzungspunkt’; die Feldlinien für C = 0 entsprechen der y- <strong>und</strong> für C = 2 der x-Achse.<br />
2. Berechnung der Feldlinien mit dem Gaussschen Satz<br />
Die Feldlinien für den speziellen Fall von collinearen Ladungen längs der x-Achse <strong>und</strong><br />
damit auch für den Dipol mit zwei Ladungen, können mit dem Gaussschen Satz einfacher<br />
als mit der allgemeineren, vorhergehenden Methode aufgr<strong>und</strong> der Symmetrie der<br />
Anordnung berechnet werden. Die in der x-y-Ebene verlaufenden Feldlinien sind rotationssymmetrisch<br />
um die x-Achse angeordnet.<br />
Der Fluss durch die Fläche A bei x a innerhalb der Rotationsfläche<br />
der Feldlinien ist gleich dem Fluss durch<br />
y Feldlinie (x,y,z) die Fläche B bei x b , da keine Feldlinien durch die Rotationsfläche<br />
austreten. Der gesamte Fluss C durch A<br />
ist gegeben durch den Fluss aller Einzelladungen q i zu<br />
q 1 q 2 q n<br />
α 1 α 2 α n<br />
C = q 1 Ω 1 + q 2 Ω 2 · · · + q n Ω n .<br />
A<br />
B x Er ist eine Konstante für alle x.<br />
Ω 1 Ω 2 Ω n<br />
z<br />
∫ α i ∫2π<br />
sin ϑ i dϑ i dϕ i<br />
x<br />
x b<br />
Ω i =<br />
= 1<br />
a 4π 2 (1 − cosα i)<br />
ϑ i =0 ϕ i =0<br />
sind die auf 4π bezogenen Raumwinkel der Ladungen√<br />
q i mit den Winkeln α i gegenüber<br />
der Fläche A bei x a . Damit ist mit cosα i = (x − x i )/ (x − x i ) 2 + y 2<br />
C =<br />
n∑<br />
i=1<br />
q i<br />
2 (1 − cosα i) ⇒ −C +<br />
n∑<br />
i=1<br />
q i<br />
2 = C′ =<br />
n∑<br />
i=1<br />
q i (x − x i )<br />
√(x − x i ) 2 + y 2,<br />
13
y<br />
q ✻<br />
1 q 2<br />
a a<br />
✲ x<br />
d.h. für zwei Ladungen im Abstand 2a symmetrisch zu x = 0 ist<br />
C ′ =<br />
q 1 (x + a)<br />
√<br />
(x + a) 2 + y + q 2 (x − a)<br />
√<br />
2 (x − a) 2 + y 2<br />
die Gleichung für die Feldlinien in Übereinstimmung mit Gl.(16).<br />
Eine weitere Methode zur Bestimmung der Feldlinien sind<br />
die konformen Abbildungen, wie sie auch in der Hydrodynamik<br />
(vgl. Phys.AI) angewendet werden. Ein Beispiel<br />
für das elektrostatische Feld <strong>und</strong> Potential eines geladenen<br />
Ellipsoiden ist in der Figur gezeigt.<br />
x 2<br />
cosh 2 a +<br />
x 2<br />
cos 2 a −<br />
y2<br />
= 1 sinh 2 a<br />
y2<br />
= 1 sin 2 a<br />
Potential (Ellipsen)<br />
Feldlinien (Hyperbeln)<br />
2.5 Elektrostatische Felder von geladenen Leitern<br />
Man unterscheidet elektrische Leiter, in denen elekrische Ladungen infolge der Anwesenheit<br />
eines elektrischen Feldes zu fliessen beginnen, wie z.B. Metalle, sowie Isolatoren, in<br />
denen dies nicht der Fall ist. Als erstes behandeln wir nur die elektrostatischen Eigenschaften<br />
von Leitern.<br />
In einem zunächst neutralen Leiter erzeugt eine zusätzlich in den Leiter gebrachte Ladung<br />
ein elektrisches Feld <strong>und</strong> damit ein Kraft <strong>und</strong> Bewegung auf die freien Elektronen<br />
des Leiters. Es entsteht ein interner elektrischer Strom, der die Ladungen so lange verschiebt,<br />
bis die internen Felder auf Null reduziert worden sind. Es gibt dann keine Ströme<br />
mehr <strong>und</strong> ein stationärer Zustand ist erreicht. An der Oberfläche des Leiters kann noch<br />
ein elektrisches Feld existieren, es muss jedoch senkrecht zur Oberfläche stehen, da sonst<br />
Ladungen an der Oberfläche verschoben werden könnten. In diesem stationären Fall ist<br />
die Oberfläche eine Potentialfläche, da diese senkrecht zum E-Feld ⃗ steht.<br />
Das Potential V ◦ an der Oberfläche muss dann auch im Innern des Leiters<br />
herrschen. Bildet man nämlich das Linienintegral des E-Feldes ⃗ längs<br />
E=0 .<br />
E → eines Weges von einem Punkt 1 im Innern zu einem Punkt 2 auf der<br />
1<br />
2<br />
Leiteroberfläche, dann gilt:<br />
V<br />
r<br />
V 1 − V 2 =<br />
∫ 2<br />
1<br />
⃗E innen d⃗s = 0 ⇒ V 1 = V 2 = V ◦ = konst.<br />
Der Ort der Ladungen kann mit dem Gauss’schen Satz bestimmt werden. Ist A die Oberfläche<br />
des Leiters mit der totalen Ladung Q, A ′ eine geschlossene Fläche ausserhalb <strong>und</strong><br />
A ′′ eine geschlossene Fläche innerhalb von A, dann gilt:<br />
A''<br />
Leiter<br />
A<br />
A'<br />
∫<br />
Φ(A ′′ ) =<br />
∫<br />
Φ(A ′ ) =<br />
A ′′<br />
A ′<br />
E aussen<br />
n dA = Q ε ◦<br />
,<br />
E innen<br />
n dA = 0, da ⃗ E innen = 0.<br />
14
Diese Beziehungen gelten auch für den Grenzfall A ′ → A <strong>und</strong> A ′′ → A, d.h. die Ladung<br />
Q sitzt an der Oberfläche mit einer Flächenladungsdichte σ(⃗r) mit Q = ∫ A σ(⃗r)dA.<br />
Den Zusammenhang der Feldstärke E ⃗ ◦ an der Oberfläche <strong>und</strong> σ erhält man aus dem<br />
Gauss’schen Satz angewandt auf einen infinitesimalen Zylinder mit der Gr<strong>und</strong>fläche<br />
→<br />
innerhalb <strong>und</strong> der Deckfläche ausserhalb des Leiters, sowie<br />
E o dA →<br />
den Mantelflächen senkrecht zur Oberfläche:<br />
+ +++ +++ ++++ +++<br />
→<br />
+++<br />
E +<br />
1 =0 σ<br />
dΦ = d ⃗ A · ⃗E ◦ = σ dA<br />
ε ◦<br />
, mit d ⃗ A ‖ ⃗ E ◦ ⇒ E ◦ = σ ε ◦<br />
Das Feld an der Oberfläche ist damit der Ladungsdichte an der betreffenden Stelle proportional.<br />
Zusammenfassend:<br />
1. Im Gleichgewicht ist E im Innern gleich null. Die freien Ladungsträger<br />
werden sich im Leiter solange verschieben, bis E = 0.<br />
2. Im Innern eines Leiters gibt es keine Nettoladungen<br />
(sonst wäre E innen ≠ 0).<br />
3. Beim geladenen Leiter sitzt die Ladung an der Oberfläche.<br />
4. Der gesamte Leiter besitzt im Gleichgewicht dasselbe Potential<br />
V 1 − V 2 = ∫ ⃗ E<br />
innen · d⃗r = 0.<br />
5. Das E-Feld steht senkrecht auf der Oberfläche (Äquipotentialfläche).<br />
6. Das E-Feld an der Oberfläche beträgt:<br />
E = σ ε ◦<br />
, σ = Oberflächenladungsdichte [As/m 2 ]<br />
Auf Leitern mit einer unregelmässigen Oberfläche ist die Flächenladungsdichte nicht<br />
konstant wie im folgenden gezeigt wird.<br />
2.5.1 Elektrische Felder an Spitzen<br />
Zwei geladene, weit voneinander entfernte Kugeln, die mit einem dünnen Draht miteinander<br />
verb<strong>und</strong>en sind, haben das gleiche Potential mit Gl.(8) ist<br />
✓✏ R ★✥ R 2<br />
1<br />
V = 1 q 1<br />
= 1 q 2<br />
⇒ q 1<br />
= R 1<br />
4πε ◦ R 1 4πε ◦ R 2 q 2 R 2<br />
q<br />
✒✑<br />
1 q 2<br />
✧✦ <strong>und</strong> σ 1 = q 1<br />
, σ<br />
V<br />
V<br />
4πR1<br />
2 2 = q 2<br />
4πR2<br />
2<br />
15
⇒ σ 1<br />
σ 2<br />
= q 1<br />
q 2<br />
· R2 2<br />
R 2 1<br />
= R 1<br />
R 2<br />
R 2 2<br />
R 2 1<br />
= R 2<br />
R 1<br />
oder σ 1 R 1 = σ 2 R 2 .<br />
An scharfen Kanten oder Spitzen mit kleinem R ist also σ <strong>und</strong><br />
damit ⃗ E gross. Übersteigt ⃗ E einen Wert von ca. 3 · 10 6 V/m, so<br />
wird die Luft leitend <strong>und</strong> es bildet sich eine Spitzenentladung<br />
aus. Für grössere Ladungen muss man am Leiter Spitzen <strong>und</strong><br />
scharfe Ecken vermeiden.<br />
2.5.2 Influenz<br />
Q=0 - - -<br />
--<br />
+<br />
+ E i =0<br />
- ---<br />
+<br />
+++ +<br />
- - -<br />
--<br />
- ---<br />
+<br />
++++++<br />
+<br />
++++++<br />
Q>0<br />
Die Influenz beruht auf der freien Beweglichkeit der Ladungen<br />
in einem Leiter, d.h. die Trennung von positiver<br />
<strong>und</strong> negativer Ladung eines anfänglich neutralen Leiters.<br />
Bringt man in die Nähe eines ungeladenen Leiters eine Ladung<br />
Q, so wird auf diesem eine Oberflächenladung durch<br />
die Coulombkraft influenziert. Das resultierende Feld der<br />
Ladung Q <strong>und</strong> der Oberflächenladungen ∫ Oberfläche σ dA = 0<br />
muss im Innern des Leiters verschwinden. Durch Erden des<br />
Leiters kann Ladung vom gleichen Vorzeichen wie Q abfliessen.<br />
Der Leiter wird dadurch geladen.<br />
2.5.3 Faradaysches Becherexperiment <strong>und</strong> van de Graaff Generator<br />
+<br />
+<br />
+<br />
- - -<br />
-<br />
-<br />
+ -<br />
+<br />
+ - Q<br />
+ -<br />
- - - - ---<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
Q i<br />
+<br />
Q a<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+ + V + + V + + V<br />
(A) (B) (C) (D)<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
In einem Leiter mit einem<br />
Hohlraum muss die<br />
Ladung auf der äusseren<br />
Oberfläche sitzen <strong>und</strong><br />
der Hohlraum ist feldfrei.<br />
Nach diesem Prinzip arbeitet<br />
der Faradaykäfig<br />
zur Abschirmung<br />
elektrostatischer Felder sowie das Faradaysche Becherexperiment . Bringt man eine geladene<br />
Metallkugel (Ladung Q) ohne Berühren in eine nicht geladene leitende Hohlkugel,<br />
dann zeigt das Elektrometer die Spannung V an (A), durch Influenz werden die sich vorher<br />
kompensierenden positiven <strong>und</strong> negativen Ladungsträger separiert. Beim Herausnehmen<br />
wird wieder V = 0 (B). Beim Berühren des Bechers im Inneren zeigt das Elektrometer<br />
aussen wiederum V (C), auch wenn die Kugel wieder herausgenommen wird, die positiven<br />
Ladungen der Kugel <strong>und</strong> die negativen der Hohlkugel im Inneren haben sich kompensiert.<br />
Die Hohlkugel ist nun mit Q aufgeladen 16 . Der Gauss’sche Satz Gl. (7) mit der Fläche im<br />
Innern des Metalls d.h. ⃗ E = 0 <strong>und</strong> ausserhalb ⃗ E ≠ 0<br />
ergibt:<br />
∮<br />
⃗E · d ⃗ A =<br />
Q innen<br />
ε ◦<br />
= 0 ⇒ Q i = −Q ⇒ Q a = −Q i = Q.<br />
Die Ladung auf der äusseren Oberfläche ist gleich Q. Dieser Vorgang kann mit zunehmender<br />
Spannung V mehrmals wiederholt werden.<br />
16 Eine einfachere Überlegung: Die Ladung +Q der Kugel verteilt sich beim Berühren im Innern der<br />
Hohlkugel auf ihrer äusseren Oberfläche, so dass im Innern ⃗ E = 0 ist, die Kugel ist entladen.<br />
16
Input<br />
negative ions<br />
Analyzing<br />
magnet<br />
Der Van de Graaff Generator benutzt das Prinzip des Faradayschen Becherexperimentes,<br />
um hohe Spannungen zu erzeugen (vgl. die Figur):<br />
Das nicht leitende Seiden- oder Plastikband wird bei C<br />
A<br />
durch Reibung oder effizienter durch eine Koronaentladung<br />
+<br />
F<br />
aufgeladen <strong>und</strong> trägt die Ladung in das feldfreie Innere<br />
der Metallhohlkugel A, wo sie bei F kontinuierlich übertragen<br />
wird (hohes E-Feld zwischen Spitzen <strong>und</strong> Band). Die<br />
Hohlkugel kann so auf r<strong>und</strong> 1 MV geladen werden. Spannungsbegrenzend<br />
ist nur die Sprühentladung. Durch Betreiben<br />
des Van de Graaffs in trockenem N 2 , CO 2 sowie<br />
bei erhöhtem Druck sind höhere Spannungen bis 15 MV<br />
C<br />
D möglich (am alten <strong>Physik</strong>-<strong>Institut</strong> 5.5 MV). Ionen (Protonen<br />
<strong>und</strong> schwerere ionisierte Kerne mit positiver La-<br />
+20'000 V<br />
~<br />
dung) werden in einem Vakuum-Strahlrohr von der positiven<br />
Elektrode A nach Erde beschleunigt.<br />
Beim<br />
Charging belt Terminal Negative Tandem Van de Graaff werden<br />
vom Erdpotential negative<br />
Deflection<br />
ion<br />
magnet<br />
+ + + + +<br />
source<br />
Ionen zur positiven Elektrode<br />
beschleunigt. In der Hochspannungselektrode<br />
werden + + + + +<br />
negati-<br />
Target<br />
ve Ionen z.B. H − mit einem<br />
Positive ion beam Stripping canal<br />
Stripper umgeladen 17<br />
<strong>und</strong> darauf auf Erdpotential weiter beschleunigt. Der Tandem kann so kinetische Energien<br />
von r<strong>und</strong> 30–40 MeV des Ions liefern.<br />
2.5.4 Berechnung der Felder von Leitern<br />
Die Felder geladener Leiter können nicht mehr einfach durch Superposition berechnet<br />
werden, da die Ladungen beweglich sind. Kommt eine weitere Ladung in die Nähe, so<br />
verschieben sich die vorhandenen so, dass die Leiter feldfrei bleiben. Es gibt zwei Typen<br />
von Problemen:<br />
1. Gegeben sind die Leiter 1, 2,. . . n <strong>und</strong> ihre Potentiale V 1 . . .V n . Gesucht sind die<br />
Ladungen Q 1 . . .Q n . Im ladungsfreien Gebiet gilt die Poissongleichung<br />
∆V = − ρ ε ◦<br />
= 0,<br />
die mit den Randbedingungen, den vorgegebenen Potentialen V 1 . . .V n an den Oberflächen,<br />
gelöst wird. Die Lösung ist eindeutig<br />
V = V (x,y,z) → ⃗ E(x,y,z) → σ i → Q i = ∫ A i<br />
σ i dA.<br />
2. Gegeben sind die Leiter 1, 2,. . . n <strong>und</strong> ihre Ladungen Q 1 . . .Q n . Die Potentiale lassen<br />
sich in einfachen Fällen mit dem Gauss’sche Satz lösen. Die Lösungen sind wieder<br />
eindeutig.<br />
17 Negative Sauerstoffionen O − können im Stripper im Extremfall vollstädig zu O 8+ ionisiert werden.<br />
Für eine sechsfache Ionisation erreicht man dann mit z.B. 5 MV Beschleunigungsspannung eine Energie<br />
von 5·7 = 35 MeV. Ein weiterer Vorteil des Tandem ist, dass Ionenquelle <strong>und</strong> der beschleunigte Ionenstrahl<br />
auf Erdpotential liegen.<br />
17
Im allgemeinen sind Probleme dieser Art jedoch oft nicht exakt lösbar, es müssen dann<br />
Näherungsmethoden oder das Experiment mit einem Ausmessen der Felder angewendet<br />
werden. In einfachen Fällen ist der Begriff der Kapazität nützlich.<br />
2.6 Die Kapazität elektrischer Leiter<br />
Ein einzelner geladener Leiter hat ein Potential auf seiner Oberfläche, das proportional<br />
zur aufgebrachten Ladung ist <strong>und</strong> nur von der Form des Leiters abhängt, d.h. Q ∝ V .<br />
Den Proportionalitätsfaktor bzw. Geometriefaktor definiert man als<br />
C . = Q V<br />
die Kapazität des Leiters (18)<br />
Für eine geladene Kugel ist das Potential Gl. (8)<br />
★✥ V (r) ✎☞r R ✒ V (r) = 1 · Q <strong>und</strong> an der Oberfläche 4πε ◦ R = Q<br />
4πε<br />
✍✌<br />
◦ r<br />
V (R) = C.<br />
✧✦<br />
C =<br />
Q gibt also die Ladung pro Potentialeinheit <strong>und</strong> damit das Fassungsvermögen,<br />
die Kapazität des Leiters an 18 .<br />
V (R)<br />
Die gegenseitige Kapazität zweier Leiter ist definiert für zwei Leiter, die entgegengesetzt<br />
gleiche Ladung tragen, wenn ihre Potentialdifferenz unabhängig ist von der Anwesenheit<br />
weiterer Ladungen. Die Potentialdifferenz ist proportional zur Ladung Q <strong>und</strong><br />
hängt von der Form der Leiter <strong>und</strong> ihrer räumlichen Anordnung ab. Die beiden Leiter<br />
bilden einen Kondensator 19 .<br />
Es ist C =<br />
Q<br />
V 1 −V 2<br />
die Kapazität des Kondensators.<br />
+<br />
+ + +<br />
+<br />
+<br />
Ihre Einheit ist 1 Coulomb/Volt=1 Farad=1 Cb/V=1 F.<br />
+ - -<br />
+<br />
+<br />
-<br />
- - -<br />
Q<br />
+ -Q +<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+ +<br />
+<br />
+ + V1 - - V 2<br />
Kondensatorsymbol<br />
In der Praxis werden meistens viel kleinere Kapazitäten benützt:<br />
1 µF=10 −6 F, 1 nF=10 −9 F, 1 pF=10 −12 F,<br />
Mit einem Kondensator grosser Kapazität kann man viel Ladung<br />
bei kleiner Potentialdifferenz V 1 − V 2 speichern.<br />
Dies ist wichtig, da wegen der begrenzten Isolationsfähigkeit der Luft das<br />
Potential eines Leiters nicht beliebig gesteigert werden kann. Kondensatoren<br />
spielen in der Technik eine grosse Rolle. Sie können, um die gewünschte<br />
Grösse zu erhalten, in Parallel- oder in Serienanordnung geschaltet werden:<br />
An jedem der n Kondensatoren liegt die<br />
V 1 V 1<br />
gleiche Potentialdifferenz. Die Gesamtladung<br />
gleichen Vorzeichens ist mit der<br />
⇒ C<br />
V 2<br />
Kapazitätsdefinition:<br />
n∑<br />
Q i , C i = Q i<br />
n∑<br />
⇒ Q = (V 1 −V 2 ) C i = C(V 1 −V 2 )<br />
V 1 − V 2<br />
Parallelanordnung (addiere Q)<br />
C 1 C 2 C n<br />
V 2<br />
Q = Q 1 +Q 2 +· · ·+Q n =<br />
i=1<br />
18 Die Kapazität wurde früher wegen dieses linearen Zusammenhanges mit dem Radius der Kugel auch<br />
in cm angegeben: 1 cm=(1/9)·10 −11 F.<br />
19 Die Leydener Flasche, eine innen <strong>und</strong> aussen mit Goldfolie beschichtete normale Flasche, war der erste<br />
in Leyden im 18. Jh. entwickelte Kondensator. Benjamin Franklin fand heraus, dass die Flaschenform keinen<br />
Einfluss hatte, schaltete beschichtete Fensterscheiben parallel <strong>und</strong> versuchte mit diesem Kondensator<br />
einen Truthahn zu töten: “I tried to kill a turkey but nearly succeeded in killing a goose.”<br />
Die Kondensatorflasche wurde unabhängig auch von Heinrich Kleist erf<strong>und</strong>en.<br />
i=1<br />
18
n∑<br />
Die Gesammtkapazität ist C = C i<br />
i=1<br />
für Parallelschaltung<br />
von Kondensatoren<br />
Serienanordnung (addiere V )<br />
C 1 C 2 C n C<br />
⇒<br />
V 1 V 2 V n V n+1 V 1 V n+1<br />
n∑<br />
V 1 − V n+1 = Q<br />
i=1<br />
1<br />
C i<br />
= Q C<br />
Infolge der Influenz trägt jeder Kondensator die gleiche<br />
Ladung Q <strong>und</strong> die Potentialdifferenz V 1 − V n+1<br />
zwischen Anfang <strong>und</strong> Ende der n Kondensatoren <strong>und</strong><br />
die Gesamtkapazität ist:<br />
⇒<br />
2.6.1 Beispiele von Kondensatoren<br />
1 C = n ∑<br />
1<br />
i=1<br />
C i<br />
für Serienschaltung<br />
von Kondensatoren<br />
1. Der Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen Kugeln mit den Radien<br />
⃗E(r)<br />
★✥<br />
✛✘<br />
✻✓✏ ✒ R 1 <strong>und</strong> R 2 mit den Ladungen +Q <strong>und</strong> −Q.<br />
✻ Das E-Feld ⃗ ist auf den Raum zwischen den beiden Kugeln beschränkt<br />
R 2 R 1<br />
❄ ✧✦<br />
✚✙ ✒✑<br />
(Gauss’scher Satz) <strong>und</strong> es muss kugelsymmetrisch sein E(⃗r) ⃗ = E(r). ⃗ ❄<br />
Es gilt mit dem Gauss’schen Satz (Gl. (7):<br />
E(r) · 4π r 2 = Q ε ◦<br />
⇒ E(r) = Q<br />
4πε ◦ r 2, V 1 − V 2 =<br />
E(r) = V 1 − V 2<br />
r 2 R 1 R 2<br />
R 2 − R 1<br />
,<br />
∫R 2<br />
R 1<br />
Kapazität des<br />
Kugelkondensators C =<br />
Q<br />
4πε ◦ r 2 dr = Q<br />
4πε ◦<br />
( 1<br />
R 1<br />
− 1 R 2<br />
)<br />
Q<br />
V 1 − V 2<br />
= 4πε ◦<br />
R 1 R 2<br />
R 2 − R 1<br />
(19)<br />
Im Grenzfall R 2 → ∞ erhält man wieder den Wert für die Einzelkapazität<br />
C = 4πε ◦ R 1 der Kugel.<br />
2. Der Plattenkondensator ist der Grenzfall von 1. mit R 2 − R 1 = d, R 1 → ∞ <strong>und</strong><br />
r ≈ R 1 ≈ R 2 . Mit Gl. (19) ist E(r) = V 1 − V 2<br />
d<br />
+ + + + + + + + + +<br />
E<br />
- - - - - - - - - -<br />
V<br />
Das Feld ist ausser am Plattenrand im Innern homogen.<br />
Auf der Platte sitzt eine gleichförmige Ladungsdichte<br />
σ = ε ◦ E. Unter Vernachlässigung der Randeffekte ist<br />
mit der Plattenfläche A<br />
Q = Aσ = ε ◦ A V 1 − V 2<br />
, C =<br />
d<br />
Q A<br />
= ε ◦<br />
V 1 − V 2 d<br />
Für A = 1 m 2 <strong>und</strong> d = 1 cm wird C = 8.85 nF.<br />
Kapazität des<br />
Plattenkondensators<br />
3. Bestimmung der Elementarladung<br />
R.A. Millikan fand 1906 (Nobelpreis 1923), dass die elektrische Ladung von Öltröpfchen<br />
Q ein ganzzahliges Vielfaches einer Elementarladung ist:<br />
Q = ne n = 0, ±1, ±2, ±3,...<br />
Jede Ladung Q besteht also aus einem Überschuss oder Mangel einer ganzzahligen<br />
Anzahl n von Elektronen der Ladung e = −1.6021773(5) · 10 −19 Cb, d.h. Q = ne.<br />
19
Der Versuch von Millikan: Zwischen die Platten eines Kondensators werden mit<br />
einem Zerstäuber mikroskopisch kleine Öltröpfchen geblasen. Die durch Reibung<br />
geladenen Tröpfchen erfahren im E-Feld (E = V/d) eine Kraft qE. Der Versuch<br />
wird in zwei Schritten durchgeführt:<br />
V<br />
❝✻ neE<br />
❄mg<br />
• Durch Variation von V wird das Tröpfchen zum Schweben gebracht.<br />
Es gilt dann: qE = mg = qV/d.<br />
• E abschalten. Das Tröpfchen fällt frei. Die sich einstellende konstante<br />
Fallgeschwindigkeit v ∞ beträgt: 6πηav ∞ = mg.<br />
Zwischen m <strong>und</strong> dem Radius a besteht die Beziehung: m = 4π 3 a3 ρ. Aus den drei<br />
Gleichungen folgt: q = 9π d √<br />
2η3 v∞<br />
3<br />
V gρ .<br />
Für sehr kleine Tröpfchen müssen als Folge der Brownschen Bewegung Korrekturen<br />
angebracht werden (siehe Praktikumsversuch). Experimentell bestimmt werden die<br />
Dichte des Öles ρ, die Viskosität η der Luft, die Geschwindigkeit v ∞ des Tröpfchens<br />
ohne E-Feld, der Plattenabstand d <strong>und</strong> die Spannung V , bei der das Tröpfchen<br />
schwebt.<br />
Es ist bemerkenswert ehrlich, dass Millikan in seiner Arbeit [Phil. Mag. J. of Science (London) Vol.6 No.110 1919]<br />
über eine einzige beobachtete 2/3e-Ladung berichtet, wie sie heute für Quarks gefordert wird 20 :<br />
’ ...not agreed with the result of the other observations, and consequently I felt obliged to discard them as it was.<br />
In the third place, I have discarded one uncertain and <strong>und</strong>uplicated observation apparently upon a singly charged<br />
drop, which gave a value of the charge on the drop some 30 per cent lower than the final value of e. With these<br />
exeptions all of the data in our note-books are given below. ... ’<br />
4. Feld <strong>und</strong> Potential des elektrischen Dipols (Vgl. Übung 1, Kap. 2.4.1)<br />
V =<br />
q<br />
4πε ◦<br />
( 1<br />
r +<br />
− 1<br />
r −<br />
)<br />
, V (r ≫ l) ≃ 1<br />
4πε ◦<br />
⃗p · ⃗r<br />
r 3 , ⃗ E = − ⃗ ∇V ≃<br />
3(⃗p · ⃗r)⃗r − r 2 ⃗p<br />
4πε ◦ r 5 .<br />
⃗ + +q<br />
-q l<br />
- r<br />
ϕ r +<br />
r -<br />
Das elektrische Dipolmoment (vgl.<br />
Gl. (20) als ⃗p = q · ⃗l mit ⃗ l dem Abstand<br />
zwischen +q <strong>und</strong> −q.<br />
Monopol: V ∝ 1/r E ∝ 1/r 2<br />
Dipol: V ∝ 1/r 2 E ∝ 1/r 3<br />
Quadrupol: V ∝ 1/r 3 E ∝ 1/r 4<br />
etc.<br />
Beispiele von permanenten<br />
Dipolmomenten<br />
21 p in 10 −30 mAs:<br />
HCl 3.43<br />
CO 0.40<br />
H 2 O 6.2<br />
NH 3 5.0<br />
5. Der Zylinderkondensator besteht aus zwei konzentrischen Zylindern der Länge<br />
l, die gross ist gegenüber den Radien R 1 <strong>und</strong> R 2 . Das Feld ist axialsymmetrisch <strong>und</strong><br />
existiert bis auf Randeffekte nur im Raum zwischen den Zylindern, d.h. E = E(r).<br />
20 Neue Suchen nach freien Quarks mit 2/3 oder -1/3 Ladungen waren bisher alle erfolglos:<br />
Phys.Rev.Letters 38(1977)1011 u. 1255, Phys.Rev.Letters 48(1981)947, Phys.Rev.Letters 51(1983)731,<br />
Phys.Rev.Letters 54(1985)1472, Phys.Letters 153(1985)188, Ann.Rev.Nucl.Part.Sc. 28(1978)327,<br />
Rev.Mod.Phys. 49(1977)717.<br />
21 Veraltete Einheit: 1 Debye = 10 −18 cm 5/2 g 1/2 s −1 = 3.336 · 10 −30 mAs ≃ e · 0.208 Å<br />
20
+Q<br />
V 1<br />
R 1<br />
R 2<br />
-Q<br />
l<br />
V 2<br />
Mit dem Gauss’schen Satz mit R 1 < r < R 2 ist<br />
V 1 − V 2 =<br />
2πrl E(r) = Q ε ◦<br />
⇒ E(r) = Q<br />
2πε ◦ rl<br />
∫R 2<br />
R 1<br />
E dr =<br />
Q<br />
2πε ◦ l ln R 2<br />
R 1<br />
⇒ E(r) = V 1 − V 2<br />
r ln (R 2 /R 1 )<br />
C =<br />
Q l<br />
= 2πε ◦<br />
V 1 − V 2 ln(R 2 /R 1 )<br />
Kapazität des<br />
Zylinderkondensators<br />
-Q<br />
6. Die Methode der Spiegelladung benutzt die Symmetrie der Ebene einer entsprechenden<br />
Anordnung von Ladungen. Zunächst sei das Feld eines elektrischen Dipols,<br />
d.h. zwei Ladungen +Q <strong>und</strong> −Q im festen Abstand 2d nach dem Superpositionsprinzip<br />
berechnet. Im Punkt P der x-y-Ebene ist dann das Potential<br />
y<br />
S<br />
V (x,y) = 1 ( Q<br />
− Q )<br />
=<br />
S -<br />
4πε ◦ r 1 r 2 ⎛<br />
⎞<br />
x<br />
= Q 1<br />
⎝√<br />
- +<br />
+ +Q 4πε ◦<br />
+Q<br />
(d − x) 2 + y − 1<br />
√<br />
⎠<br />
2 (d + x) 2 + y 2 In der Symmetrieebene mit x = 0 ist das Potential überall<br />
null <strong>und</strong> die Feldlinien stehen senkrecht zu dieser<br />
r1 r2<br />
P(x,y)<br />
- Ebene. In die Symmetrieebene könnte daher eine leitende<br />
Folie gesetzt werden ohne das Feld zu d d<br />
d<br />
stören.<br />
Dies ist aber das Potential <strong>und</strong> das Feld einer einzelnen punktförmigen Ladung<br />
gegenüber einer leitenden Platte <strong>und</strong> die Spiegelladung −Q dient dann nur zur<br />
Berechnung. Auf die Ladung +Q wirkt die anziehende Kraft der Spiegelladung,<br />
diese Kraft spielt eine Rolle bei der Feldemission von Elektronen (Glühkathode).<br />
2.7 Isotrope Dielektrika<br />
Das Coulombsche Gesetz in der Form von Gl. (2) ist nur für die zwei Ladungen Q 1 <strong>und</strong> Q 2<br />
im Vakuum gültig. Versuche mit der Cavendish-Drehwaage mit flüssigen oder gasförmigen<br />
Isolatoren zwischen den beiden Ladungen ergeben stets Kräfte, die kleiner sind als jene,<br />
die im Vakuum auftreten. Das Medium, der Isolator zwischen den Ladungen, nach M.<br />
Faraday Dielektrikum genannt, hat also einen Einfluss auf die elektrischen Felder.<br />
In der Natur gibt es keine vollkommenden Nichtleiter bzw. Isolatoren, jedoch ist der Ladungstransport<br />
in einem Isolator so gering, dass wir Isolatoren in sehr guter Näherung als<br />
ideale Nichtleiter behandeln können. Isolatoren sind für das elektrische Feld durchlässig,<br />
während Leiter das Feld abschirmen. Man bezeichnet Isolatoren als Dielektrika.<br />
Zum Spannungsbegriff V = ∫ Ed⃗r ⃗ in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum:<br />
<br />
Für einem Plattenkondensator, in dem in der oberen Hälfte<br />
2 Dielektrikum 1<br />
ein Dielektrikum steckt, muss nach der Definition der Spannung<br />
als Arbeit pro Ladungseinheit W = q ∫ Ed⃗r ⃗ = qV , die<br />
3 <br />
4<br />
Spannung zwischen den Punkten 2-1 <strong>und</strong> 3-4 gleich sein sowie<br />
+ − die Arbeit über den Weg 1-2-3-4 null sein. D.h.:<br />
21
(i) Die Wege 2-3 <strong>und</strong> 4-1 laufen auf Äquipotentialflächen <strong>und</strong> die Arbeit ist null.<br />
(ii) Aus der Nichtexistenz des Perpetuum mobile 1. Art muss für die Arbeit gelten<br />
W 1−2 = −W 3−4 .<br />
Die Spannungsdefinition mit oder ohne ein Dielektrikum bleibt damit gleich.<br />
Der Einfluss nichtleitender Materie (Isolatoren, Dielektrika) auf elektrische Felder wurde<br />
in den vorhergehenden Kapiteln nicht betrachtet. Das Experiment zeigt jedoch folgende<br />
Wirkung:<br />
(i) Wird ein Dielektrikum zwischen die Platten eines geladenen Kondensators geschoben,<br />
wobei sich die Ladung nicht ändert, so verkleinert sich die ursprüngliche Potentialdifferenz<br />
V 1 − V 2 , resp. die elektrische Feldstärke ⃗ E oder der effektive Plattenabstand wird<br />
reduziert. Die Verkleinerung hängt vom speziellen Material ab.<br />
+Q<br />
−Q<br />
✤✜<br />
✁<br />
❄E ⃗ ❄<br />
✻ d ✁ ❆ ❆ V 1 − V 2<br />
✣✢= V<br />
+Q<br />
−Q<br />
Q =konst.<br />
✤✜<br />
✁<br />
❄E ⃗ ′ < E ⃗ ✁ ❆ ❆ V 1 ′ − V 2<br />
′<br />
✣✢= V ′ < V<br />
(ii) Wird ein Dielektrikum zwischen die Platten<br />
eines geladenen Kondensators geschoben, +Q ′<br />
✎☞<br />
wobei mit einer angelegten Batterie die Spannung<br />
konstant gehalten wird, dann erhöht sich ❄E<br />
⃗ Q ′ > Q<br />
✍✌<br />
✒ I<br />
die Ladung des Kondensators <strong>und</strong> es fliesst ein −Q ′<br />
V =konst.<br />
Strom.<br />
Mikroskopisch liegt der Gr<strong>und</strong> darin, dass auch Isolatoren aus positiven <strong>und</strong> negativen<br />
Ladungen bestehen. Wird nun ein Isolator in ein elektrische Feld gebracht, so können<br />
in den Atomen elektrische Dipolmomente induziert werden oder in Molekülen bereits<br />
vorhandene Dipolmomente werden im Feld ausgerichtet.<br />
⃗ l<br />
❥+<br />
−q +q<br />
✟ ❥−<br />
✟✟✟✯ Das Dipolmoment wird definiert 22 als ⃗p = . q · ⃗l (20)<br />
✻✻✻✻✻✻✻✻⃗E<br />
+σ p<br />
± ± ± ± ± ± ± ± ±<br />
± ± ± ± ± ± ± ± ±<br />
± ± ± ± ± ± ± ± ±<br />
± ± ± ± ± ± ± ± ±<br />
⃗F = −q ⃗ ⃗ l<br />
E<br />
✛ ✟ ❥−<br />
✟✟✟✯<br />
Der Abstand ⃗ l ist ein Mass für die Asymmetrie der Ladungen.<br />
Es werden damit im äusseren elektrischen Feld positive <strong>und</strong><br />
negative Ladungen gegeneinander verschoben; die Materie<br />
wird polarisiert. Während sich die Ladungen im Inneren des<br />
Körpers immer noch aufheben, treten an den Oberflächen Ladungen<br />
+σ p , −σ p auf, wobei der Körper als ganzes neutral<br />
bleibt; er besitzt nun ein elektrisches Dipolmoment. Daher<br />
−σ p<br />
❥+ ✲<br />
F ⃗ = qE<br />
⃗<br />
können auch Isolatoren in elektrischen Feldern Kräfte erfahren.<br />
Ein konstantes Feld erzeugt ein Drehmoment ⃗ M = q·⃗l× ⃗ E<br />
<strong>und</strong> dreht die einzelnen Dipole, während ein inhomogenes<br />
mit dem Ort sich änderndes Feld auf die Dipole eine Kraft ⃗ F = ∇(q ⃗ l ⃗ E) ausübt 23 .<br />
Die Polarisation ⃗ P eines Körpers ist definiert als Dipolmomente pro Volumeneinheit<br />
22 Beachte: Die Richtung des Dipolmomentes ist definiert von der − zur + Ladung.<br />
23 Nach Gl. (32) ist die Energie eines elektrischen Dipols in einem elektrischen Feld W d = −⃗p · ⃗E <strong>und</strong><br />
damit ist die Kraft in einem inhomogenen Feld ⃗ F = −∇W d . Oder: Betrachtet man nur die x-Komponente,<br />
dann ist mit ⃗p = q ⃗ l <strong>und</strong> ∆x = l x ⇒ F x = q (E(x + ∆x) − E(x))<br />
} {{ }<br />
∂<br />
∂x Ex∆x<br />
= q ∂<br />
∂x E xl x .<br />
22
⃗p/τ. Sie hat für isotrope Dielektrika die Richtung des angelegten Feldes ⃗ E, es gilt<br />
⃗P . = χ e ε ◦<br />
⃗ E<br />
[ As<br />
Vm · V ] [ ] Cb<br />
=<br />
m m 2<br />
(21)<br />
χ e ist die materialabhängige elektrische Suszeptibilität 24 . Sie ist dimensionslos <strong>und</strong><br />
damit hat ⃗ P die Dimension von ε ◦<br />
⃗ E [Cb/m 2 ]. Betrachten wir nun ein rechteckiges Stück<br />
Dielektrikum der Dicke l <strong>und</strong> der Fläche A im elektrischen Feld ⃗ E. Das gesamte Dipolmoment<br />
ist Polarisation·Volumen, also P ·τ = P ·Al. Anderseits ist ein Dipolmoment definiert<br />
als Ladung· Abstand der Ladungen, q · l, also muss hier P · A gleich der unbeweglichen<br />
Polarisationsladungen σ p A sein:<br />
−Q<br />
p = −σ p A ✚ ✛<br />
Q p ✲= σ p A<br />
✓ σ ⃗E P ⃗<br />
p<br />
l<br />
P · Al = Q p · l = σ p · A · l d.h.<br />
| ⃗ P | = σ p<br />
σ ist die bewegliche <strong>und</strong> σ p die feste Polarisationsflächenladungsdichte.<br />
Allgemein gilt P n = σ p . Die Normalkomponente<br />
der Polarisation ist gleich der Flächenladungsdichte an der<br />
Oberfläche eines Dielektrikums. ⃗ P zeigt mit Gl. (20) von −σ p<br />
nach +σ p .<br />
Dies erklärt die Verkleinerung der Potentialdifferenz im Kondensator. Ausser den Ladungen<br />
auf der Kondensatorplatte treten entgegengesetzte Polarisationsladungen σ p auf,<br />
so dass die Feldstärke im Innern des Dielektrikums verkleinert wird. Für einen ebenen<br />
Plattenkondensator gilt: ε ◦ E ′ = σ − σ p , wobei E ′ das effektive Feld ist.<br />
Ganz allgemein modifiziert die Anwesenheit polarisierbarer<br />
Materie das elektrische Feld. Statt nun mit der<br />
Leiter +Q = +σA<br />
++++++++++++++++<br />
− − − − − − − − − − − − − − − − Polarisation <strong>und</strong> mit Polarisationsladungen zu rechnen,<br />
ist es oft zweckmässig, ein weiteres Vektorfeld ein-<br />
−Q p=−σ pA<br />
❄E<br />
⃗ ⃗D ⃗P ⃗E p Dielektrikum<br />
⃗E Vac<br />
❄ ✻<br />
❄<br />
+Q p=+σ pA<br />
zuführen, die<br />
❄<br />
+ + + + + + + + + + + + + + + +<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−<br />
Leiter −Q = −σA<br />
Dielektrische Verschiebung ⃗ D . = ε ◦<br />
⃗ E + ⃗ P (22)<br />
Die Bezeichnung Verschiebung wurde von Maxwell eingeführt, um damit die Verschiebung<br />
der positiven <strong>und</strong> negativen Ladungen im Dielektrikum durch das äussere Feld zu<br />
charakterisieren. Für den Fall isotroper Dielektrika 25 gilt mit Gl.(21) <strong>und</strong> (22)<br />
⃗P = χ e ε ◦<br />
⃗ E <strong>und</strong> mit ε = 1+χe ⃗ D = ε◦ ⃗ E + ⃗ P = ε◦ (1 + χ e ) ⃗ E = ε ◦ ε ⃗ E<br />
[ ] Cb<br />
m 2<br />
Die dimensionslose Materialkonstante ε heisst relative Dielektrizitätskonstante <strong>und</strong> χ e<br />
die Suszeptibilität; im Vakuum ist χ e = 0, ε = 1 <strong>und</strong> damit ⃗ D = ε ◦<br />
⃗ E.<br />
Dielektrizitätskonstanten ε <strong>und</strong> χ e einiger Materialien<br />
bei Normaldruck <strong>und</strong> 20 ◦ C; es ist immer ε > 1.<br />
24 Die elektrische Suszeptibilität kann mit einer Federkonstanten k zwischen den zwei Ladungen interpretiert<br />
werden kl = F = eE, ⃗p = e ⃗ l = e 2 ⃗ E/k damit ist ⃗ P = e<br />
2 ⃗ E/(k τ) <strong>und</strong> χe = e 2 /(kε ◦ τ).<br />
25 Isotrope Dielektika sind Gläser, Plastik, polykristalline Materialien <strong>und</strong> auch kubische Kristalle. Anisotrope<br />
Dielektika sind i.a. nichtkubische Kristalle mit einer Kristallstruktur, die in verschieden Raumrichtungen<br />
nicht gleich ist. Die Dielektrizitätskonstante ε ist dann ein Tensor <strong>und</strong> ⃗ D steht nicht parallel<br />
zu ⃗ E. Die Dielektrizitätskonstante spielt in der Optik eine wichtige Rolle (z.B. Brechungsindex S.??).<br />
(23)<br />
23
Material ε χ e Material ε χ e<br />
Vakuum 1 0 Luft 1.00059 0.0059<br />
He 1.000060 0.000060 O 2 1.000486 0.000486<br />
Benzol 2.3 1.3 Aceton 21 20<br />
Bernstein 2.8 1.8 TiO 2 40. . . 80 40. . . 80<br />
Paraffin 1.9 . . . 2.2 1.1 Glas 5 . . . 7 4 . . . 6<br />
Wasser 81 80 Eis 3 2<br />
Zusammenfassung der Gr<strong>und</strong>versuche:<br />
V=konstant<br />
V = V Vac<br />
Q = εQ Vac > Q Vac<br />
E = E Vac<br />
D = σ = εε ◦ E = εε ◦ E Vac<br />
C = Q/V = εC Vac = εε ◦ A/d<br />
Q=konstant<br />
V = V Vac /ε < V Vac<br />
Q = Q Vac<br />
E = E Vac /ε < E Vac<br />
D = σ = εε ◦ E = ε ◦ E Vac<br />
C = Q/V = εC Vac = εε ◦ A/d<br />
E Vac , V Vac <strong>und</strong> C Vac sind die Grössen im Vakuum. Mit einem Dielektrikum kann die<br />
Kapazität eines Kondensators um ε erhöht werden.<br />
2.7.1 Der verallgemeinerte Gauss’sche Satz<br />
Für den Kondensator mit einem Dielektrikum gilt mit dem Gauss’schen Satz Gl. (7) :<br />
Leiter ✻E n L = 0 σ<br />
++++++++++++++++<br />
− − − − − − − − − − − − − − − −<br />
σp<br />
❄ E n<br />
Dielektrikum<br />
+ + + + + + + + + + + + + + + +<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−<br />
Leiter<br />
∮<br />
⃗Ed ⃗ A =<br />
∫<br />
E n dA = 1 ∫<br />
(σ − σ p )dA = 1 ∫<br />
(σ − P n )dA<br />
ε ◦ ε ◦<br />
oder mit Q der wahren Ladung ohne Polarisationsladung<br />
∫ ∫ ∫<br />
ε ◦ E n dA + P n dA = σdA = Q<br />
<strong>und</strong> mit Gl.(22) ⃗ D = ε◦ ⃗ E + ⃗ P ist Dn = ε ◦ E n + P n <strong>und</strong> damit<br />
der allgemeine Gauss’sche Satz<br />
∮<br />
⃗Dd ⃗ A =<br />
∫<br />
D n dA = Q (24)<br />
sowie differentiell die 1. Maxwell Gleichung mit Dielektrikum ∇ · ⃗D = ρ (25)<br />
Der Fluss des ⃗ D-Feldes durch eine geschlossene Fläche ist gleich der Summe der eingeschlossenen<br />
Ladungen. Die Polarisationsladungen sind im ⃗ D-Feld enthalten <strong>und</strong> dürfen auf<br />
der rechten Seite der Gleichung nicht mitgezählt werden. Die differentielle Form Gl. (25)<br />
ist die 1. Maxwell Gleichung mit einem Dielektrikum, sie wird analog zur 1. Maxwell<br />
Gleichung ohne ein Dielektrikum ∇ ⃗ E = ρ/ε ◦ abgeleitet.<br />
Elektrostatische Probleme mit Dielektrika können gelöst werden entweder mit den<br />
Grössen ⃗ E, σ, ⃗ P, σp oder mit ⃗ E, σ, ⃗ D. Da die dielektrische Verschiebung ⃗ D die Polarisationsladungen<br />
bereits einschliesst, müssen nur noch die wahren Ladungen berücksichtigt<br />
werden 26 . Die Feldstärke in einem Dielektrikum variiert im atomaren Bereich von Ort zu<br />
Ort, sie kann daher nur als ein Mittelwert über einen grösseren Volumenbereich aufgefasst<br />
werden <strong>und</strong> nicht atomistisch interpretiert werden.<br />
26 ⃗ D ist i.a. das einfachere Feld zur Berechnung, aus dem dann das physikalische Feld ⃗ E abgeleitet<br />
werden kann.<br />
24
2.7.2 Beispiele zu Dielektrika<br />
Das Verhalten der Feldstärken an den Grenzflächen.<br />
a) Leiter-Dielektrikum Eine geschlossene Gauss’sche Fläche habe die Form einer<br />
Pillenschachtel, mit der Gr<strong>und</strong>- <strong>und</strong> Deckfläche d ⃗ A parallel zur Grenzfläche. ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ D<br />
stehen senkrecht auf der Leiteroberfläche, im Innern des Leiters sind beide Felder null. Mit<br />
dem allgemeinen Gauss’schen Satz Gl. (24) ∮ ⃗ D d ⃗ A = Q integriert über die geschlossene<br />
Fläche, wobei sich die Flächenintegrale über die Seitenflächen aufheben, gilt<br />
Dielektrikum<br />
−<br />
ε<br />
D · dA = σ · dA also D = D<br />
+ − ✒ ✒<br />
⊥ = σ.<br />
❅ ⃗D E ⃗<br />
+ ❅<br />
− ❅<br />
<br />
❅ + − ❅ ✒ ⃗<br />
Daraus folgt mit D = εε ◦ E <strong>und</strong> D = ε ◦ E + P sowie dass<br />
❅ P ⃗P von −σ p nach +σ p zeigt (| P ⃗ | = −σ p siehe Gl. (20))<br />
❅+ ❅ − ❅<br />
❅ +<br />
❅<br />
❅✏dA<br />
❅ − Leiter E = 0 ❅ + ❅<br />
E = D<br />
− + ❅<br />
σ σ εε = σ<br />
(<br />
⇒ σ p = −P = ε ◦ E − D = −σ 1 − 1 )<br />
◦ εε ◦ ε<br />
p<br />
D = 0<br />
ein Zusammenhang zwischen σ p auf dem Dielektrikum <strong>und</strong> σ auf dem Leiter.<br />
b) Dielektrikum-Dielektrikum<br />
Trägt die Trennfläche nur Polarisationsladungen d.h.<br />
❅ D<br />
❅<br />
1n<br />
❅<br />
❅ ❅<br />
✒❅ ❅❘ σ p ≠ 0 <strong>und</strong> σ = 0, so gilt mit Gl. (24), wobei sich die Flächenintegrale<br />
über die Seitenflächen der Pillenschachtel aufheben<br />
❅✏ ⃗D 2 ❅<br />
✏✏✏✶ ❅❅ D1 ⃗<br />
✒ ❅<br />
✟ ✟✟✟✯ ❅<br />
D ❅<br />
D<br />
❅ ε 1n dA − D 2n dA = 0 also D 1n = D 2n bzw. ε 1 E 1n = ε 2 E 2n .<br />
1<br />
❘ 2n<br />
❅ Die Normalkomponente von D ⃗ ist an der Trennfläche stetig. Die<br />
ε 2 ❅<br />
Normalkomponente von E ⃗ ändert sich sprunghaft.<br />
A<br />
❅<br />
D<br />
❅ ❅<br />
✒❅ E<br />
❅<br />
1t<br />
❅ ❅❘<br />
❅✏ ⃗ ❅ ❅ ⃗<br />
E2 ✟✯<br />
✏✏✏✶ E1<br />
❅<br />
❅ ❅ B<br />
✒ ❅<br />
✟ ✟✟✟✟ ❅ <br />
❅ ε 1<br />
❅ C<br />
E 2t ❅❘ ε❅<br />
2<br />
Wird ferner ein geschlossener Weg ABCD betrachtet, wobei<br />
AB=CD= l <strong>und</strong> l parallel zur Trennfläche liegt, so gilt mit<br />
∮ ⃗Ed ⃗ l = 0 integriert über den geschlossenen Weg, wobei sich<br />
die Wegintegrale über die Seitenstrecken senkrecht zur Trennfläche<br />
aufheben (das elektrostatische Feld hat ein Potential <strong>und</strong><br />
es gilt ∇ × ⃗ E = 0)<br />
E 1t · l − E 2t · l = 0 also E 1t = E 2t bzw.<br />
D 1t<br />
ε 1<br />
= D 2t<br />
ε 2<br />
.<br />
Die Tangentialkomponente von E ⃗ ist an der Trennfläche stetig. Die Tangentialkomponente<br />
von D ⃗ ändert sich sprunghaft.<br />
Diese Eigenschaft führt zum Brechungsgesetz der Feldlinien an der Trennfläche<br />
✚❃ (vgl. das Brechungsgesetz in der Optik). Es ist<br />
α<br />
✻ E1 ⃗<br />
1<br />
ε 1 E 1n<br />
✚ ✚✚✚ tanα 1 = E 1t /E 1n <strong>und</strong> tanα 2 = E 2t /E 2n <strong>und</strong> damit lautet das<br />
✻ ✒ ε 2<br />
tanα 1<br />
α Brechungsgesetz mit E 1t = E 2t = E 2n<br />
= ε 1<br />
.<br />
2<br />
<br />
tanα 2 E 1n ε 2<br />
⃗E 2<br />
c) Plattenkondensator mit einem Teil eines Dielektrikums<br />
Um die Durchschlagfestigkeit eines Plattenkondensators bei konstanter Spannung zu<br />
verbessern, steckt jemand ein Dielektrikum zwischen die Platten, das nur einen Teil<br />
E 2n<br />
E 2t<br />
E 1t<br />
25
2 V =konst.<br />
ε ✻<br />
d ε<br />
❄<br />
✻<br />
ε ◦ d<br />
❄<br />
1<br />
des Plattenabstandes füllt. Es gilt für den Abstand d ε ohne Dielektrikum<br />
E 0 = V<br />
d+d ε<br />
<strong>und</strong> mit Dielektrikum<br />
D 1 = ε ◦ E 1 = D 2 = εε ◦ E 2 ⇒ E 2 = E 1 /ε<br />
V =<br />
∫ 2<br />
1<br />
E ds = E 1 d + 1 (<br />
ε E 1d ε = E 1 d + d )<br />
ε<br />
= E 0 (d + d ε ).<br />
ε<br />
Da ε > 1 folgt E 0 < E 1 d.h. im Luftspalt wird das Feld grösser <strong>und</strong> dieser so “geschützte”<br />
Kondensator schlägt eher durch, wenn mit E 1 die Durchschlagsfeldstärke erreicht wird.<br />
Statt dessen hätte die Dicke des Dielektrikums so gewählt werden müssen, dass d = 0<br />
erreicht wird.<br />
d) Felder einer Kugel oder einer Punktladung im unendlichen Dielektrikum<br />
können wie die ⃗ E-Felder im Vakuum geschrieben werden, nur indem ε ◦ durch εε ◦<br />
ersetzt wird.<br />
⃗ D =<br />
Q⃗r<br />
4πr 3, ⃗ E =<br />
Q⃗r<br />
εε ◦ 4πr 3<br />
Für zwei Punktladungen Q 1 <strong>und</strong> Q 2 gilt F ⃗ = E(⃗r12 ⃗ ) · Q = Q 1 · Q 2 ⃗r 12<br />
.<br />
εε ◦ 4πr12<br />
3<br />
Durch das Dielektrikum wird die Kraft zwischen den zwei Ladungen gegenüber der im<br />
Vakuum um den Faktor 1 erniedrigt.<br />
ε<br />
2.7.3 Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstanten †<br />
Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstanten muss im molekularen Bau<br />
der Materie gesucht werden. Es gibt nichtpolare, symmetrische Moleküle (z.B. CO 2 ) <strong>und</strong><br />
polare, unsymmetrische Moleküle (z.B. H 2 O) bezüglich ihrer Ladung:<br />
❥O<br />
Nichtpolare Moleküle<br />
1<br />
CH<br />
CO 4<br />
2 ✁ ❆<br />
✐C<br />
✁ ❆<br />
✁1<br />
✏ ✏ ❍ 1<br />
❆1<br />
❥C<br />
❥ O<br />
Die Schwerpunkte der positiven <strong>und</strong> negativen Ladungen<br />
fallen zusammen, die symmetrischen Moleküle haben kein<br />
permanentes Dipolmoment. Ein äusseres ⃗ E-Feld verschiebt<br />
die Ladungen <strong>und</strong> induziert damit einen elektrischen Dipol<br />
proportional zum Feld E ⃗ F am Molekül ⃗p e = p m · ⃗E F , wobei p m die molekulare elektrische<br />
Polarisierbarkeit, eine Konstante des Moleküls, ist. E ⃗ F ist nicht elementar berechenbar,<br />
es hängt vom Einfluss der Nachbarmoleküle ab <strong>und</strong> kann durch das innere Feld <strong>und</strong> die<br />
Polarisation ausgedrückt werden E ⃗ F = E ⃗ innen + 1 ⃗<br />
3ε ◦<br />
P für isotrope Substanzen. Für n<br />
Moleküle ist dann<br />
n · ⃗p e = ⃗ P = n · p m ( ⃗ E innen + 1<br />
3ε ◦<br />
⃗ P) ⇒ ⃗ P =<br />
n · p m<br />
1 − n·pm<br />
3ε ◦<br />
⃗ Einnen mit ⃗ D = εε ◦<br />
⃗ E = ε◦ ⃗ E + ⃗ P<br />
<strong>und</strong> ⃗ P = ε◦ (ε − 1) ⃗ E erhält man<br />
n · p m<br />
= ε − 1<br />
3ε ◦ ε + 2<br />
Clausius-Masotti<br />
Formel<br />
Damit besteht ein Zusammenhang zwischen der makroskopischen Dielektrizitätskonstanten<br />
ε <strong>und</strong> der mikroskopischen, molekularen elektrischen Polarisierbarkeit p m . Die induzierten<br />
Dipole tragen mit dem Wert ε zum Wert εε ◦ , der absoluten Dielektrizitätskonstanten<br />
des Materials, bei. ε ist nicht von der Temperatur abhängig.<br />
26
❥H<br />
Polare Moleküle<br />
H 2 O HCl<br />
✘ O ❥ ❳ H ❥ ❥H Cl ❥<br />
P<br />
As·m<br />
HCl<br />
. V/m<br />
10 -3 9<br />
1<br />
CH 4<br />
1/T<br />
1 3 5 . 10 -3 °C -1<br />
Die Schwerpunkte der positiven <strong>und</strong> negativen Ladungen<br />
fallen nicht zusammen. Polare, nichtsymmetrische Moleküle<br />
haben daher ein permanentes Dipolmoment ⃗p = q ⃗ l<br />
mit ⃗ l dem Abstand der beiden Schwerpunkte.<br />
Die zunächst ungeordneten Dipole erhalten im<br />
⃗E-Feld eine Orientierung in der Feldrichtung <strong>und</strong> erzeugen<br />
damit eine Polarisierung des Dielektrikums. Dieser Polarisierung<br />
wirkt die Wärmebewegung mit zunehmender Temperatur<br />
entgegen <strong>und</strong> ε ist von der Temperatur abhängig.<br />
Zusätzlich muss noch der Anteil der induzierten Dipole, wie<br />
bei den nichtpolaren Molekülen, berücksichtigt werden.<br />
Eine genaue Berechnung der Temperaturabhängigkeit ist elementar nicht möglich. Die<br />
Frequenzabhängigkeit ε = ε(ω) ist für die Optik wichtig.<br />
2.8 Die Energie des elektrostatischen Feldes<br />
Wird ein Kondensator aufgeladen, dann muss Arbeit geleistet werden. Wird der<br />
einen Platte die Ladung dQ entnommen <strong>und</strong> der anderen zugeführt, so ist die vom<br />
Integrationsweg unabhängige, zu leistende<br />
V 1<br />
✁ ✁✕ 1<br />
∫<br />
⃗E<br />
1<br />
dQ Arbeit dW = −dQ · ⃗E · d⃗r = dQ(V<br />
❄ ✁<br />
1 − V 2 ) = dQ · V (26)<br />
2<br />
V 2<br />
Die Potentialdifferenz steigt dabei um dV = dQ/C <strong>und</strong> es gilt für die Arbeit<br />
dW = CV dV . Die totale Arbeit, die erforderlich ist, um einen Kondensator von V = 0<br />
auf die Spannung V aufzuladen, ist demnach mit V = Q/C<br />
W =<br />
∫V<br />
0<br />
dW =<br />
∫V<br />
0<br />
2<br />
CV dV = 1 2 CV 2 = 1 Q 2<br />
2 C = 1 V Q. (27)<br />
2<br />
Da beim Aufladen des Kondensators ein elektrisches Feld aufgebaut wird, stellt W offenbar<br />
die Energie dar, die aufgebracht werden muss, um dieses Feld zu erzeugen. Ein elektrisches<br />
Feld besitzt demnach potentielle Energie, die Feldenergie W e , wobei hier gilt<br />
W e = 1 2 C · V 2<br />
Für den einfachen Fall eines ebenen Feldes in einem Plattenkodensator mit einem<br />
Dielektrikum ist C = εε ◦ A/d <strong>und</strong> V = E · d <strong>und</strong> damit die Feldenergie<br />
W e = 1 2 · εε ◦A · d · E 2 = 1 2 εε ◦ · E 2 · τ (τ = A · d Kondensatorvolumen ) ⃗E ✻ ❄<br />
d<br />
❄❄❄❄❄❄<br />
Die Energiedichte w ist die Feldenergie pro Volumenenheit, also mit ⃗ D = εε ◦<br />
⃗ E<br />
A<br />
auch für ein beliebiges Feld<br />
W e<br />
τ<br />
= 1 2 εε ◦E 2 = 1 2 ED = w = 1 2 ⃗ E ⃗ D. (28)<br />
27
In anisotropen Dielektrika müssen ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ D nicht parallel zueinander stehen, ε ist<br />
dann ein Tensor. Die totale Feldenergie eines elektrostatischen Feldes ist demnach<br />
∫<br />
W e =<br />
w dτ = 1 2<br />
∫<br />
⃗E ⃗ D dτ (29)<br />
Beispiel 1: In Luft bei Atmosphärendruck können Felder ohne Durchschlag bis zu<br />
E ≈ 3 · 10 6 V/m erzeugt werden. Die Energiedichte ist dann<br />
w = 1εε 2 ◦E 2 = 1 Cb2 12 V2<br />
8.854 · 10−12 · 9 · 10<br />
2 Nm 2 m = 40 J 2 m . Damit lassen sich in Luft<br />
3<br />
keine grossen Energiebeträge speichern, erst das grosse Volumen eines Gewitters ergibt<br />
insgesamt sehr grosse Energiebeträge.<br />
Beispiel 2: In Molekülen 27 herrscht ein elektrisches Feld von E ≈ 5 · 10 10 V/m <strong>und</strong> damit<br />
eine Energiedichte von ca 10 10 J/m 3 . Diese Energie kann teilweise durch eine Umgruppierung<br />
von Atomen in einem Molekül bei einer chemischen Reaktion <strong>und</strong> damit einer<br />
Änderung der elektrischen Felder freigesetzt werden. So werden z.B. bei der Bildung von<br />
1 cm 3 flüssigem Wasser aus Knallgas 1.6 · 10 10 J/m 3 frei.<br />
2.8.1 Berechnung der Kräfte auf Leiter <strong>und</strong> Dielektrika aus der Feldenergie<br />
Ist die Feldenergie eines Systems von geladenen Leitern <strong>und</strong> Dielektrika bekannt, dann<br />
können daraus die Kräfte berechnet werden. Dazu denke man sich eine kleine virtuelle<br />
Verschiebung des Körpers um die Strecke d⃗r, dann ist die vom Feld geleistete mechanische<br />
Arbeit dW m = ⃗ Fd⃗r. Es müssen jetzt zwei Fälle unterschieden werden:<br />
a) Das Systen ist abgeschlossen <strong>und</strong> alle Ladungen sind konstant, d.h. dQ i = 0, damit<br />
ist auch die Gesamtenergie konstant <strong>und</strong> die Arbeit muss vom Feld aufgebracht werden 28 :<br />
dW e + dW m = 0 d.h. dW m = ⃗ Fd⃗r = −dW e oder F x = −<br />
( ) ∂We<br />
∂x<br />
Q i =konst.<br />
<strong>und</strong> analog für F y , F z . Als Vektorgleichung ⃗ F = −(∇We ) Qi =konst. (30)<br />
b) Das System ist an eine oder mehrere Batterien angeschlossen, welche die Potentiale<br />
V i konstant halten, indem sie Ladungen dQ i <strong>und</strong> damit die Energie dW B nachliefern.<br />
Es gilt dann (siehe Gl. (26)) dW e + dW m = dW B <strong>und</strong> dW B = ∑ i<br />
V i dQ i<br />
für die von der Batterie gelieferte Energie. Mit Gl. (27) W e = 1 V ·Q gilt für die Feldenergie<br />
2<br />
dW e = 1 2<br />
∑<br />
Vi dQ i = 1 2 dW B ⇒ dW m = dW B − dW e = +dW e = ⃗ F · d⃗r<br />
<strong>und</strong> damit F x = +<br />
( ) ∂We<br />
∂x<br />
V i =konst.<br />
analog für die F y , F z Komponenten.<br />
27 Mit dem Bohrschen Radius eines Atoms von 0.5·10 −8 cm =0.5Å kann das Feld des Coulombpotentials<br />
abgeschätzt werden zu E = e<br />
4πε ◦<br />
1<br />
r 2 =<br />
1.6 · 10 −19<br />
4π · 8.85 · 10 −12 ·<br />
1<br />
(0.5 · 10 −10 ) 2 = 5.7 · 1011 V m .<br />
Felder der chemisch relevanten äusseren Valenzelektronen sind um eine Grössenordnung kleiner.<br />
28 Vergleiche die analoge Überlegung in der Mechanik mit F x = − ∂V<br />
∂x aus ⃗ F = −∇V mech. Pot.<br />
28
Als Vektorgleichung gilt damit ⃗ F = (∇We ) Vi =konst.<br />
(31)<br />
Wenn für einen speziellen Fall die Kräfte aus einer gedachten virtuellen Verschiebung<br />
berechnet werden, dann müssen beide Methoden a) <strong>und</strong> b) dasselbe Resultat ergeben.<br />
2.8.2 Beispiele zur Energie des elektrostatischen Feldes<br />
1. Die Thomsonsche Waage<br />
Diese von Lord Kelvin vorgeschlagene Anordnung dient zur direkten Messung des<br />
Potentiales in SI-Einheiten. Gesucht ist die Kraft auf eine Platte eines ebenen geladenen<br />
Plattenkondensators. Die untere Platte ist Teil einer Waage <strong>und</strong> die von der oberen<br />
ausgeübte Kraft wird durch Gewichte kompensiert. Die Kraft kann mit beiden, obigen<br />
x<br />
✻<br />
x<br />
✻<br />
+Q<br />
❄F x<br />
−Q<br />
V<br />
✻<br />
❄<br />
Methoden berechnet werden.<br />
a) Q =konst. Mit Gl. (27) W e = 1 2 Q2 /C <strong>und</strong> C = ε ◦ A/x ist<br />
−F x = ∂W e<br />
∂x = ∂ ( Q 2 )<br />
x<br />
= Q2<br />
∂x 2ε ◦ A 2ε ◦ A<br />
b) V =konst F x = +<br />
❄F x V<br />
C = ε ( )<br />
◦A ∂We<br />
⇒<br />
x ∂x<br />
V<br />
( ) ∂We<br />
, W e = CV 2<br />
∂x<br />
2<br />
V<br />
= ε ◦AV 2<br />
2<br />
⇒ F x = − Q2<br />
2ε ◦ A = −ε ◦AV 2<br />
2x 2<br />
∂ 1 x<br />
∂x = −ε ◦AV 2<br />
2x 2<br />
Mit dieser Methode kann absolut die Spannung gemessen werden.<br />
= ε ◦AV 2<br />
2x<br />
mit<br />
= − Q2<br />
2ε ◦ A = F x.<br />
2. Steighöhe eines flüssigen Dielektrikums im Plattenkondensator<br />
Wird zwischen die Platten eines Kondensators eine Flüssigkeit gebracht, so wird diese<br />
polarisiert <strong>und</strong> durch die Kraft des inhomogenen Randfeldes um x angehoben 29 . Das<br />
homogene Feld im Innern des Kondensators übt keine Kraft auf einen Dipol aus. Im<br />
Gleichgewicht ist die elektrische Kraft F x auf das Dielektrikum gleich dem Gewicht<br />
G = ρgxbd der angehobenen Flüssigkeit. Die Feldenergie im<br />
x<br />
d<br />
Kondensator ist, wenn er in die zwei Bereiche mit <strong>und</strong> ohne<br />
Dielektrikum eingeteilt wird:<br />
dx<br />
x<br />
a<br />
a) alles in Q ausdrücken<br />
b<br />
F x = −<br />
b) alles in V ausdrücken<br />
F x = +<br />
W e = CV 2<br />
( ) ∂We<br />
= − Q2<br />
∂x 2<br />
Q<br />
( ) ∂We<br />
∂x<br />
V<br />
= V 2<br />
2<br />
2<br />
= Q2<br />
2C , mit C = ε ◦b<br />
(xε + (a − x)) <strong>und</strong> V = E · d<br />
d<br />
( )<br />
d 1<br />
= + Q2<br />
dx C 2<br />
ε ◦ b<br />
2<br />
C 2 d (ε − 1) = +V ε ◦ b(ε − 1)<br />
2d<br />
dC<br />
dx = V 2 ε ◦ b<br />
(ε − 1) = G = ρ g xbd. Daraus folgt<br />
2 d } {{ }<br />
χ e<br />
29 Da im homogenen Feld keine Kraft auf den Dipol ausgeübt wird, kann nur das inhomogene Randfeld<br />
als Angriffspunkt der Kraft interpretiert werden; die Energiebetrachtung macht darüber keine Aussage.<br />
29
die angehobene Höhe x = V 2 ε ◦ b(ε − 1)<br />
2dρgbd<br />
= ε ◦E 2 (ε − 1)<br />
2ρg<br />
Mit dieser Methode kann ε bzw. die Suszeptibilität χ e gemessen werden.<br />
⇒<br />
χ e = 2xρgd2<br />
ε ◦ V 2<br />
3. Die potentielle Energie eines elektrische Dipols im Feld<br />
Die potentielle Energie eines Dipols W d mit dem Dipolmoment ⃗ l im homogenen<br />
elektrischen Feld E ⃗ ist gleich der Arbeit, die geleistet werden muss, um den Dipol in<br />
eine bestimmte Lage zu drehen. Für eine Drehung um den Winkel α gegenüber der<br />
-q<br />
E → E → Ausgangslage α = 0 wird die Arbeit W d gegenüber den abstossenden<br />
elektrischen Kräften geleistet:<br />
l<br />
a ϕ<br />
a<br />
α=ϕ−π/2<br />
+q<br />
W d = 2q E a = 2q E l sin α = −q lE cos ϕ = −⃗p · ⃗E<br />
2<br />
Die Energie eines elektrischen Dipols ist W d = −⃗p · ⃗E (32)<br />
<strong>und</strong> mit Gl. (30) die Kraft in einem inhomogenen ⃗ E-Feld<br />
⃗ F = −∇Wd = ∇⃗p · ⃗E.<br />
30
3 Stationäre elektrische Ströme<br />
3.1 Begriffe zur Beschreibung elektrischer Ströme<br />
Verbinden wir zwei Leiter 1 <strong>und</strong> 2 mit verschiedenen Potentialen V 1 <strong>und</strong> V 2 mit einem<br />
dritten Leiter, so fliesst Ladung, d.h. ein elektrischer Strom ([Cb/s]=[A]) von 1 nach<br />
2 (oder umgekehrt), bis nach einiger Zeit das Potential überall den gleichen Wert hat.<br />
Strom ist bewegte Ladung. Während Ladung fliesst, ist dagegen das Potential von<br />
Ort zu Ort verschieden. Die Feldstärke ⃗ E setzt Ladungen mit der Kraft ⃗ F = q ⃗ E in<br />
Bewegung. Die Geschwindigkeit des Ladungsausgleiches hängt von der Leitfähigkeit der<br />
Leiter ab.<br />
3.1.1 Die Spannung in einem Leiter<br />
Fliesst in einem Leiter unter der Wirkung eines elektrischen Feldes ein Strom, so ist die<br />
Spannung V zwischen den zwei Punkten 1 <strong>und</strong> 2 (auch Spannungsabfall genannt) definiert<br />
als Potentialdifferenz V<br />
V 1 V 1 − V 2 = V längs des Leiters<br />
2<br />
E →<br />
1 2<br />
V = V 1 − V 2 =<br />
∫ 2<br />
1<br />
⃗E d⃗r.<br />
Die Einheit der Spannung V ist 1Volt [V]. Fliesst ein Strom<br />
unter der Wirkung eines Feldes ⃗ E, muss diesem auch ein Potential V zugeordnet sein.<br />
3.1.2 Die elektrische Stromdichte in einem Leiter<br />
Zur quantitativen Charakterisierung elektrischer Ströme müssen wohldefinierte Stromgrössen<br />
eingeführt werden. Dazu betrachtet man ein gerichtetes Flächenelement dA ⃗ =<br />
⃗n · dA im Innern des stromdurchflossenen Leiters. Die Ladung dq, die im Zeitintervall<br />
j n ✻<br />
✁ ✁✕ ⃗j t bis t+dt hindurchfliesst, hängt vom Ort <strong>und</strong> der Stellung des Flächenelementes<br />
dA ⃗ ab. Man setzt dq = ⃗j · ⃗n dA dt = j<br />
✁<br />
n dA dt.<br />
✁<br />
⃗n<br />
Der durch diese Beziehung definierte Stromdichtevektor ⃗j oder die<br />
✻✁<br />
Stromdichte, zeigt dabei die Richtung an, in der sich am betreffenden<br />
✁<br />
dA<br />
Ort die positiven Ladungen bewegen. Der Betrag j ist gleich der Ladung,<br />
✁<br />
✁ die pro Sek<strong>und</strong>e durch die Flächeneinheit senkrecht zu ⃗j hindurchströmt.<br />
Die Stromverteilung innerhalb des Leiters wird somit durch das Vektorfeld ⃗j = ⃗j(⃗r,t)<br />
beschrieben. Ist ⃗j unabhängig von der Zeit, also ⃗j = ⃗j(⃗r), dann nennt man den Strom<br />
stationär. Die Einheit von ⃗j ist [1 Cb/m 2 s]=[Ampère/m 2 ]=[A/m 2 ].<br />
Da keine Ladung verloren gehen kann 30 , gilt für die Stromdichte die Kontinuitätsgleichung<br />
<strong>und</strong> damit die Ladungserhaltung:<br />
[j x (x+dx)−j x (x)]dy dz+[j y (y+dy)−j y (y)]dxdz+[j z (z+dz)−j z (z)]dxdy = − ∂ρ dxdy dz.<br />
∂t<br />
Dabei ist ρ die Ladungsdichte an der Stelle ⃗r(x,y,z).<br />
30 In der Quantenelektrodynamik folgt aus der Symmetrieforderung der Eichinvarianz die Ladungserhaltung.<br />
In jedem abgeschlossenen System ist die Ladung streng erhalten: ∑ q i =konst. Ladung kann<br />
nicht vernichtet oder erzeugt werden; es können nur Paare von Teilchen mit entgegengesetzten Ladungen,<br />
die sich zu null aufheben, erzeugt oder vernichtet werden. Z.B. Paarerzeugung γ+Kern → e + +e − +Kern<br />
oder Paarvernichtung e + + e − → γ + γ.<br />
31
✻z<br />
✘ ✘✘<br />
dx<br />
✻ j z(z + dz)<br />
✏ ✏ j y(y + dy)<br />
✏✏✶<br />
✲<br />
j x (x) ✏✏✶ dz jx (x + dx)<br />
jy (y)<br />
✑ ✑ (x,y,z)<br />
dy<br />
✏ ✏✶ y j z (z)<br />
✲x<br />
Der netto ausfliessende Strom (Ladung/Zeit) ist<br />
gleich der Abnahme der Ladung pro Zeit. Daraus<br />
erhält man durch Division mit dxdydz als Differentialgleichung<br />
die Kontinuitätsgleichung<br />
∂j x<br />
∂x + ∂j y<br />
∂y + ∂j z<br />
∂z = −∂ρ ∂t<br />
oder<br />
div⃗j = ∇ ·⃗j = − ∂ρ<br />
∂t<br />
∂<br />
Für stationäre Ströme mit<br />
∂t = 0 gilt ∇ ·⃗j = 0.<br />
Vergleiche hierzu die entsprechende Kontinuitätsgleichung Phys AI Gl. (150) ∇ · ⃗v = 0<br />
in der Hydrodynamik <strong>und</strong> Gl. (9) ∇ · ⃗E = ρ/ε ◦ für das E-Feld. ⃗<br />
3.1.3 Die elektrische Stromstärke<br />
Oft interessiert nicht die Stromverteilung, die durch ⃗j charakterisiert wird, sondern nur<br />
der totale Strom durch einen Leiterquerschnitt A. Ist dA ein Flächenelement von A,<br />
dq<br />
dann ist dq = ⃗j · ⃗n dA dt = j n dA dt bzw.<br />
dt = j n dA.<br />
j n ✻ ⃗j<br />
✁ ✁✁✕<br />
⃗n ✁<br />
✻<br />
<br />
<br />
✁<br />
✁<br />
dA<br />
<br />
A<br />
✁<br />
✁<br />
✁<br />
Die pro Zeiteinheit durch A längs eines Leiters strömende Ladung<br />
ist somit<br />
∫<br />
dq<br />
dt = I =<br />
A<br />
j n dA integriert über die Fläche A.<br />
I nennt man die elektrische Stromstärke.<br />
Sie ist im Gegensatz zu ⃗j eine skalare Grösse <strong>und</strong> ihre Einheit ist [Ampère]= [Cb/s].<br />
Eigenschaften elektrischer Ströme, die im folgenden behandelt werden, sind:<br />
a) Wärmeerzeugung, sie hängt von der Art des Leiters ab,<br />
b) Materialtransport, wie Ionentransport. Ladung ist immer mit Masse verknüpft.<br />
c) Ströme zeigen magnetische Wirkungen.<br />
3.1.4 Der elektrische Widerstand eines Leiters<br />
Ist die Spannung an einem Leiter vorgegeben, dann ist die Stromstärke I abhängig von<br />
der geometrischen Form des Leiters <strong>und</strong> dessen Leitfähigkeit. Man definiert<br />
(33)<br />
R . = V I<br />
den elektrischen Widerstand des individuellen Leiters. (34)<br />
R ist im allgemeinen keine Konstante, sondern eine Funktion von I, sowie anderer physikalischer<br />
Grössen des Leitermaterials (z.B Temperatur, Magnetfeld, Lichteinstrahlung,<br />
Druck). In denjenigen Fällen, in denen R konstant ist, nennt man diesen<br />
einen Ohmschen Widerstand <strong>und</strong> drückt ihn durch das Symbol<br />
V ✻R =konst.<br />
✟ ✟✟✟✟✟ R aus.<br />
✲ I Die Einheit des Widerstandes ist 1 Ohm=1Ω = 1 V A .<br />
32
3.1.5 Elektromotorische Kraft <strong>und</strong> innerer Widerstand<br />
Um in einem Leiter einen stationären Strom aufrecht zu erhalten, muss in diesem Leiter<br />
dauernd ein elektrisches Feld existieren. Am Leiter liegt dann eine Spannung V = ∫ Ed⃗r. ⃗<br />
Da dauernd Wärme erzeugt wird, muss das Feld die dafür nötige Arbeit leisten <strong>und</strong> der<br />
Leiter muss an eine Energiequelle eine Spannungsquelle angeschlossen sein, die die entsprechende<br />
Energie liefert. Spannungsquelle <strong>und</strong> Leiter bilden zusammen einen Sromkreis.<br />
Ein elektrostatisches Feld kann keine Energie leisten, da für eine geschlossene<br />
Kurve ∮ Ed⃗r ⃗ = 0 gilt <strong>und</strong> es damit nicht möglich ist aus einem elektrostatischen Feld<br />
Spannungsquelle<br />
Leiter<br />
längs eines geschlossenen Weges (Stromkreis) Arbeit zu gewinnen.<br />
Die Arbeitsfähigkeit einer Spannungsquelle beruht auf nichtkonservativen<br />
Prozessen [ ∮ ⃗ Ed⃗r ≠ 0], die chemischer, thermischer, mechanischer<br />
oder elektrischer Natur [Kap. 5.1, Gl. (59)] sein können.<br />
Beispiele:<br />
Primärelement: Chemische Energie → Elektrische Energie<br />
Akkumulator: Elektrische Energie → Chemische Energie → Elektrische Energie<br />
Generator: Mechanische Energie → elektrische Energie<br />
Photozelle: Licht → Elektrische Energie<br />
Thermosäule: Wärme → Elektrische Energie<br />
Kernkraftwerk: Kernenergie → Wärme → Elektrische Energie<br />
Zur quantitativen Charakterisierung einer Spannungsquelle werden die folgenden<br />
Grössen definiert:<br />
a) Die elektromotorische Kraft V m ist die Quellenspannung V ◦ an den beiden<br />
Klemmen 1 <strong>und</strong> 2 der Spannungsquelle (beachte: es gibt auch −V m = V ◦ ) , sofern sie<br />
unbelastet ist, also V m = V ◦ =<br />
∫2<br />
1<br />
⃗E(⃗r)d⃗r.<br />
Dabei ist ⃗ E<br />
Spannungsquelle<br />
<br />
1<br />
✎☞<br />
✁❆<br />
✍✌V ◦<br />
das durch die Quelle im Äusseren erzeugte elektrische Feld.<br />
b) Der innere Widerstand R i : Wird eine Spannungsquelle belastet, d.h. liefert sie<br />
einen Strom, der durch einen äusseren Widerstand R fliesst, so wird die Klemmenspannung<br />
V kleiner als V ◦ = V m . Der Strom fliesst auch im Innern der Quelle<br />
<strong>und</strong> es entsteht ein Spannungsabfall R i I, so dass gilt<br />
<br />
❄<br />
✎☞I<br />
R<br />
V = V m − R i I.<br />
i ↑I ✁❆<br />
✍✌ R<br />
V<br />
<br />
R i = R i (I · · ·) ist der innere Widerstand der Spannungsquelle<br />
Bei einem äusseren Kurzschluss wird der Strom durch R i begrenzt. Sind R i <strong>und</strong> V m<br />
konstant, dann ist der Zusammenhang zwischen V <strong>und</strong> I linear. Für eine Spannungsquelle<br />
+ R<br />
wird das Symbol<br />
i<br />
Vm benützt. Die Vorzeichen deuten dabei an, dass bei einer<br />
−<br />
äusseren Belastung ein positiver Strom von + nach − fliesst.<br />
3.1.6 Die Kirchhoff’schen Regeln<br />
Spannungsquellen <strong>und</strong> Widerstände können zu Stromkreisen zusammengeschaltet werden.<br />
Bei vorgegebenen Werten der einzelnen Schaltelemente müssen dann Ströme <strong>und</strong><br />
Spannungen berechnet werden. Dabei gelten die folgenden Kirchhoff’schen Regeln:<br />
2<br />
33
a) für einen Knoten in dem n Leiter zusammentreffen, ist die Summe der zugeführten<br />
Ströme gleich der Summe der weggeführten:<br />
n∑<br />
I k = 0,<br />
k=1<br />
I 1❅❘<br />
❄<br />
❅<br />
❅<br />
✟<br />
I n<br />
❅✟✙<br />
zufliessende Ströme werden positiv abfliessende negativ gerechnet.<br />
b) Für eine Masche, einen einfachen geschlossenen Stromkreis, mit m Spannungsquellen<br />
<strong>und</strong> n Belastungswiderständen ist die Summe aller elektromotorischen Kräfte V m<br />
mit den entsprechenden Vorzeichen gleich der Summe aller Spannungsabfälle:<br />
m∑ n∑<br />
V mj = V i<br />
j=1 i=1<br />
<br />
❇<br />
❇ ❇◆<br />
✲ I k<br />
V 1 V 2<br />
V m1<br />
V i V mj<br />
Die Spannungsabfälle über die inneren Widerstände der<br />
Spannungsquellen müssen mitberücksichtigt werden.<br />
Mit den Kirchhoff’schen Regeln werden als Beispiel die Ersatzwiderstände der Parallelschaltung<br />
<strong>und</strong> der Serienschaltung angegeben:<br />
Parallelschaltung von Widerständen (Ströme addieren)<br />
✲<br />
✲<br />
✻ I<br />
✻I<br />
V<br />
Es ist<br />
I<br />
❄ 1 I<br />
❄ 1 I ❄ n<br />
R = I = ∑ n I i , mit I i = V<br />
i=1<br />
R i<br />
V<br />
⇒<br />
R 1 R 2<br />
· · · · R n<br />
V<br />
R<br />
n∑ 1<br />
I = V = V<br />
i=1<br />
R i R somit 1<br />
R = ∑ n 1<br />
i=1<br />
R i<br />
❄<br />
❄<br />
Serienschaltung von Widerständen (Spannungsabfälle addieren)<br />
✲ I<br />
✻ R 1 R 2 R n<br />
⇒<br />
V<br />
❄<br />
V<br />
✲ I<br />
✻<br />
❄<br />
R<br />
n∑<br />
V = IR = IR 1 + IR 2 + · · · = I R i<br />
i=1<br />
n∑<br />
⇒ R = R i<br />
i=1<br />
3.2 Mechanismus <strong>und</strong> Charakteristik der elektrischen Leitung<br />
Bewegung von elektrischen Ladungsträgern sind elektrische Ströme. Damit Materialien<br />
Leiter sind, müssen sie bewegliche elektrische Ladungsträger enthalten <strong>und</strong> ein angelegtes<br />
elektrisches Feld erzeugt dann den Strom.<br />
Dass allein die Bewegung der Ladungsträger entscheidend ist, zeigen folgende Versuche:<br />
✛<br />
I<br />
♠<br />
✒<br />
Q<br />
3<br />
✲<br />
Werden die Platten eines Kondensators mit einer konstanten<br />
Spannungsquelle verb<strong>und</strong>en, so wird in diesem Stromkreis ein<br />
Strom gemessen, wenn als Ladungsträger eine geladene Kugel<br />
zwischen den Platten bewegt wird; wenn eine Flamme mit Ionen<br />
im Kondensatorraum brennt; wenn eine ionisierende, radioaktive<br />
Quelle in der Nähe der Platten aufgestellt wird.<br />
Es fliesst ein Strom, wenn im Kondensator bewegliche Ladung vorhanden ist. Im folgenden<br />
werden Leitungsmechanismen in verschiedenen Materialien <strong>und</strong> Anordnungen untersucht.<br />
34
3.2.1 Leitung in Metallen †<br />
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ In den Metallen bilden positive Metallionen, die ein oder mehrere Elektronen<br />
als Leitungselektronen abgegeben haben, einen festen Gitter-<br />
⊖<br />
⊕ ⊕ ⊕ ⊕<br />
verband, in dem sich die Leitungselektronen relativ leicht bewegen<br />
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ können. Das Gitter ist nicht starr, sondern die Ionen schwingen thermisch<br />
um ihre Gleichgewichtslage.<br />
⊖<br />
⊕ ⊕ ⊕ ⊕<br />
Vernachlässigt man die Wechselwirkung der Leitungselektronen untereinander <strong>und</strong> mit<br />
den Ionen, dann können sie wie ein ideales Gas im Modell des freien Elektronengases<br />
behandelt werden. Die Leitungselektronen bewegen sich ungeordnet mit Zusammenstössen<br />
im Leiter mit einer √ mittleren thermischen Geschwindigkeit (bei Zimmertemperatur) von<br />
v therm = l/τ = 3kT/m ≈ 10 5 m/s. Legt man ein äusseres elektrisches Feld an, dann<br />
driften sie mit einer mittleren Driftgeschwindigkeit v D in der Richtung des Feldes − ⃗ E.<br />
Es gilt nach dem Aktionsprinzip m dv<br />
dt<br />
= eE <strong>und</strong> damit<br />
eE<br />
m τ = v 2 − v 1 = v D , (35)<br />
mit τ ≈ 10 −12 s der Zeit zwischen zwei Zusammenstössen. ⃗v D ist proportional zu ⃗ E.<br />
Mit dem Hall-Effekt (Kap. 4.2.6) kann die Beweglichkeit b = v D /E = eτ/m (36)<br />
√<br />
3kTm<br />
gemessen werden. Man erhält für die mittlere freie Weglänge l = b<br />
e<br />
Für Silber bei 20 ◦ ist b = 6.4·10 −3 m 2 /Vs, l = 8.3·10 −9 m. Bei einem Feld von E = 1 V/m<br />
erhalten also die Elektronen in Feldrichtung die kleine Geschwindigkeit v D = 6.4 mm/s<br />
<strong>und</strong> sie legen zwischen den Stössen eine Strecke von r<strong>und</strong> 30 Atomabständen zurück mit<br />
einer mittleren Flugzeit von τ = 10 −13 s.<br />
In diesem Elektronengas Modell kann man einen Stromdichtevektor ⃗j = ne⃗v D angeben,<br />
mit n der Zahl der Leitungselektronen pro Volumeneinheit. Mit Gl. (35) gilt<br />
⃗j = ne2 τ<br />
m ⃗ E = σ ⃗ E das Ohmsche Gesetz. (37)<br />
σ [Ω m] −1 ist die elektrische Leitfähigkeit , 1/σ = ρ [Ω m] der spezifische elektrische<br />
Widerstand . Mit den Gleichungen (36) <strong>und</strong> (37) ergibt sich die wichtige Beziehung<br />
Spezifische Widerstände<br />
bei 20 ◦<br />
σ = ne2 τ<br />
= neb (38)<br />
m<br />
Metall ρ [Ωm] σ <strong>und</strong> ρ sind Materialkonstanten, die unabhängig von E ⃗<br />
Ag 1.5 · 10 −8 <strong>und</strong> den Abmessungen des Leiters sind, jedoch über die<br />
Cu 1.6 · 10 −8 Flugzeit τ <strong>und</strong> n von der Temperatur T abhängen. In sehr<br />
Al 2.4 · 10 −8 reinen Metallen mit wenig Fremdatomen gilt<br />
Fe 10 · 10 −8 ρ = 1<br />
Konstantan 50 · 10 −8 σ ∝ T für hohe Temperaturen z.B. 300 K <strong>und</strong><br />
ρ = 1 σ ∝ T 5 für niedrige Temperaturen (Fig. S 36).<br />
Das Ohmsche Gesetz Gl. (37) in der mikroskopischen Form ⃗j = σE ⃗ kann mit der phänomenologischen<br />
Schreibweise Gl. (34) V = I · R verknüpft werden.<br />
A ❄ ✛ V ✲ Für ein homogenes, gerades Leiterstück mit dem konstanten<br />
Querschnitt A, der Länge l <strong>und</strong> der anliegenden Span-<br />
→ E → j<br />
✻✛<br />
l ✲ nung V ist die Stromdichte j = σE = σV/l <strong>und</strong> die<br />
35
Stromstärke I = A j = V σ A/l = V/R also<br />
R = ρ l A = 1 σ<br />
Der Zusammenhang R = V/I = konst. gilt nur für eine konstante Temperatur. Der allgemeinen<br />
Zusammenhang I = I(V ) wird mit der Strom-Spannungscharakteristik<br />
dargestellt.<br />
I<br />
Gluhlampe<br />
"<br />
I<br />
Metall<br />
✻<br />
V<br />
T 2<br />
✏ T 1<br />
✟✏ ✟✟✟✟✟✟✟✟ T ✏✏✏✏✏✏✏ 2 < T 1<br />
✲ V<br />
ρ<br />
Normalleiter<br />
Metall<br />
T C<br />
Supraleiter<br />
T<br />
Je nach den Wärmeableitungen ergeben sich für verschiedenen<br />
Glühlampen unterschiedliche Kurven. In der Gasatmosphäre der<br />
geschlossenen Glühbirne kann die Joulsche Wärme nur schlecht<br />
abgeleitet werden, so dass die Temperatur <strong>und</strong> damit der Widerstand<br />
des Wolframfadens ansteigen, die I −V -Charakteristik ist<br />
gekrümmt.<br />
In reinen Metallen wächst der Widerstand linear mit der Temperatur,<br />
wenn diese genügend hoch ist. Mit R ◦ , dem Widerstand<br />
des Metalles bei 0 ◦ C, gilt R t = R ◦ (1 + β t),<br />
β liegt zwischen 1/200 <strong>und</strong> 1/300 in der Grössenordnung der<br />
Ausdehnungskoeffizienten α = 1/273 der idealen Gase (Elektronengas).<br />
Bei sehr niedrigen Temperaturen T → 0 wird bei<br />
Metallen der Widerstand nicht linear Null, sondern er verläuft<br />
mit ∝ T 5 gegen einen Restwiderstand (Nullpunktsenergie).<br />
Es gibt auch Metalle (Legierungen <strong>und</strong> Verbindungen z.B.<br />
Nb 3 Sn), deren sezifischer Widerstand ρ unterhalb einer Sprungtemperatur<br />
T c auf exakt Null sinkt. Diese Supraleitung wurde<br />
1911 von Kamerlingh-Onnes entdeckt. In supraleitenden Metallen<br />
können Ströme ohne Ohmsche Verluste, d.h. ohne Energiezufuhr<br />
beliebig lange fliessen 31 .<br />
Bei Isolatoren erhöht sich die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur. Z.B. ein normalerweise<br />
isolierender Kochsalzkristall wird bei erhöhter Temperatur leitend, es können<br />
Elektronen eingespritzt werden, welche sich durch den Kristall bewegen.<br />
3.2.2 Halbleiter †<br />
Halbleiter sind Materialien, deren Leitfähigkeit von der guter Metalle bis zu jener guter<br />
Isolatoren reichen kann. Im Gegensatz zu Metallen kann in Halbleitern die Zahl der<br />
Ladungsträger stark variiert werden durch: Temperaturänderungen, Einbau von Fremdatomen<br />
(Dotieren), stöchiometrische Abweichungen, elektrische <strong>und</strong> magnetische Felder.<br />
Meist nimmt die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur zu, da die Zahl der Ladungsträger<br />
wächst [vgl. Gl. (37)].<br />
31 1957 entwickelten John Bardeen, Leon Cooper <strong>und</strong> Bob Schrieffer die BCS-Theorie der Supraleitung.<br />
Sie kann durch die paarweise Wechselwirkung von Elektronen, die dabei Cooper-Paare (Spin=0 Bosonen,<br />
für die das Pauli-Prinzip nicht gilt) bilden, erklärt werden. Cooper-Paare können sich ungehindert durch<br />
das Metall bewegen. “Hochtemperatursupraleitung” wurde 1986 von K.A. Müller <strong>und</strong> J.G. Bednorz in<br />
Zürich bei IBM an Perovskiten entdeckt <strong>und</strong> mit dem Nobelpreis geehrt. Die höchste bisher bekannte<br />
Sprungtemperatur liegt bei 133 K. Der genaue Mechanismus im Hochtemperatursupraleiter ist bisher<br />
noch nicht bekannt.<br />
l<br />
A<br />
36
Bändermodell (Festkörperphysik I, s.u.) beschrieben. Es<br />
Spezifischer Widerstand<br />
gibt Halbleiter mit Eigenleitung, in denen durch Wärmebewegung<br />
oder geeignete Bestrahlung ein Bruchteil der<br />
ρ [Ωm] von Halbleitern<br />
Leiter 10 −8 − 10 −6<br />
Halbleiter 10 −4 − 10 7 Elektronen beweglich wird (Übergang vom Valenzband ins<br />
Isolatoren 10 12 Leitungsband). Dazu ist eine minimale Energie notwendig,<br />
die bei tiefen Temperaturen nicht zur Verfügung steht, der<br />
Das elektrische Verhalten von Halbleitern wird durch das<br />
Halbleiter wird im Gegensatz zum Metall ein Isolator.<br />
Si<br />
Durch kontrollierten Einbau von Fremdatomen entsteht die<br />
❢ ❢ ❢ ❢ Störstellenleitung. Im vierwertigen Silizium oder Germanium<br />
kann fünfwertiges Arsen, Phosphor oder Antimon eingebaut werden<br />
❢ ❢ ❢ ❢<br />
(dotieren). Dieser Einbau stört möglichst wenig, wenn das<br />
❢ ❢<br />
As-Atom auch vier Bindungen zu seinen nächsten Si-Nachbarn<br />
❢ ✈ As+ ❢ eingeht. Dabei gibt es sein Valenzelektron ab, das zum Leitungselektron<br />
⊖ Leitungselektron<br />
wird. Solche Fremdatome heissen deshalb Donatoren<br />
❢ ❢ ❢ ❢ <strong>und</strong> das Material ist ein n-Halbleiter mit negativen Ladungsträgern.<br />
Si<br />
❢ ❢ ❢ ❢<br />
❢ ❢ ❢ ❢<br />
❢ ❢ ❢ ✈ B− ❢<br />
⊕ Defektelektron<br />
❢ ❢ ❢ ❢<br />
Einen p-Halbleiter mit positiven Ladungsträgern erhält man<br />
mit einer Dotierung von Bor, Gallium, Aluminium oder Indium.<br />
Um 4 Bindungen einzugehen muss ein B-Atom ein Elektron<br />
aufnehmen (das Fremdatom ist ein Akzeptor), das einer Si-Si-<br />
Bindung entnommen wird, in der ein Loch (Defektelektron)<br />
entsteht, das wie ein positives Teilchen wirkt. Durch gezieltes<br />
Dotieren können so p- <strong>und</strong> n-Halbleiter hergestellt werden, die<br />
für die Technik von grosser Bedeutung sind.<br />
p- <strong>und</strong> n-Halbleiter haben einen Überschuss des entsprechenden Ladungsträgers, zur<br />
Leitfähigkeit σ tragen daher beide bei <strong>und</strong> mit Gl. (38) gilt dann<br />
σ = σ + + σ − = e (n + b + + n − b − )<br />
n <strong>und</strong> b sind die Konzentrationen <strong>und</strong> Beweglichkeite der jeweiligen Ladungsträgersorte.<br />
Da die positiven Defektelektronen oder “Löcher” in Richtung des ⃗ E-Feldes wandern,<br />
tragen sie im gleichen Sinne zum Gesamtstrom bei wie die Elektronen.<br />
Das Bändermodell der Festkörper<br />
In einem einzelnen Wasserstoffatom (Proton+Elektron) ist das Elekton im niedrigsten<br />
Zustand bei E B (1s) =-13.6 eV <strong>und</strong> im nächst höheren Zustand bei E B (2s, 2p) =-3.4 eV<br />
geb<strong>und</strong>en 32 . Beide Zustände liegen also weit auseinander (Fig. S.37).<br />
eV(r) r<br />
Nähern sich zwei Atome, so überlappen sich die Orbitale (Potentiale)<br />
etwas <strong>und</strong> analog zum gekoppelten Pendel (Kap. ?? Fig. S.??)<br />
2s, 2p<br />
-3.4 eV<br />
E(r)<br />
entsteht aus den vorher energetisch identischen,<br />
entarteten Zuständen durch die<br />
entartet<br />
2s<br />
1s<br />
-13.6 eV<br />
Termschema<br />
des H-Atoms<br />
Zustande " im H 2 - Molekul "<br />
Kopplung ein gemeinsames System mit<br />
∆Ε ∼10 eV<br />
1s jeweils zwei dicht beieinanderliegenden<br />
r Elektronenzuständen sowohl für den besetzten<br />
Gr<strong>und</strong>zustand als auch für den<br />
nicht besetzten angeregten Zustand.<br />
32 Nach quantenmechanischer Rechnung mit der Schrödinger-Gleichung ist E B = mc2<br />
2<br />
37<br />
(Zα) 2<br />
n 2
Bei noch geringerem Abstand wird die Entartung immer weiter aufgehoben <strong>und</strong> die zunächst<br />
um ca 10 eV auseinanderliegenden 1s <strong>und</strong> 2s Zustände nähern sich wie in der<br />
Figur angedeutet einander an.<br />
eV(x)=E pot<br />
Setzt man in einem linearen Modell<br />
Leitungsband N Atome äquidistant aneinander,<br />
∆E dann erhält man eine Reihe von gleichen<br />
Potentialen, die schwach gekop-<br />
Valenzband<br />
x<br />
pelt sind, <strong>und</strong> damit eine N-fache<br />
Aufhebung der Entartung 33 zu einer Bandstruktur in einem Festkörper mit einer angenähert<br />
regelmässigen Struktur. Im tieferen Valenzband sind alle Zustände besetzt <strong>und</strong><br />
eine Leitung ist wegen des Pauli-Prinzips 34 nicht möglich. Das Leitungsband ist leer,<br />
eine Leitung ist nicht möglich, wenn Elektronen aus dem Valenzband die Energiedifferenz<br />
∆E nicht überwinden können, dieser Festkörper ist ein Isolator. Ist die Bandlücke ∆E<br />
klein, dann ist dieser Festkörper bei tiefen Temperaturen ein Isolator. Bei 300 K kann<br />
nur eine Energie von 0.026=1/40 eV aufgenommen werden. Bei sehr hohen Temperaturen<br />
kann durch die thermische Energie die Bandlücke überw<strong>und</strong>en werden <strong>und</strong> es entsteht ein<br />
Eigenhalbleiter. Metalle (gute Leiter), Isolatoren <strong>und</strong> Halbleiter unterscheiden sich damit<br />
E pot<br />
durch die Bandlücke ∆E:<br />
leeres<br />
Leitungsband Metalle: ∆E < 0, beide Bänder<br />
∆E überlappen <strong>und</strong> beliebig viele<br />
gefulltes " Elektronen können aus dem Valenzband<br />
im Leitungsband zur<br />
Valenzband<br />
Leiter<br />
Isolator<br />
Leitung beitragen.<br />
Isolatoren: ∆E > 3 eV, das Leitungsband ist leer, es ist kaum Eigenleitung möglich<br />
(∆E ≈7 eV für Diamant).<br />
Halbleiter: 0 < ∆E < 3 eV, es ist eine schwache Eigenleitung möglich (1.1 eV für Si).<br />
Verunreinigungen (Dotierung als kontrollierte Verunreinigung)<br />
verschieben das Valenz- <strong>und</strong> Leitungsband <strong>und</strong><br />
leeres<br />
E pot Leitungsband<br />
- - - - - Elektronen können damit positive (Donatoren, Löcherleitung) oder negative<br />
(Akzeptoren, Elektronenleitung) Ladungsträger, die<br />
+ + + + + + +<br />
Donatoren<br />
- - - - - - Akzeptoren ∆E<br />
+ + + + + + Locher "<br />
nahe (≈ 0.03 eV) an den Bändern liegen, in das Valenzband,<br />
bzw. Leitungsband liefern <strong>und</strong> damit die Eigenschaft<br />
gefulltes " Valenzband<br />
eines Halbleiters als p- oder n-Leiter erzeugen.<br />
Halbleiterbauelemente<br />
Die Halbleiterdiode<br />
+ Locher "<br />
- Elektronen<br />
- - + - + + +<br />
+<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
+<br />
+<br />
- + - -<br />
- -<br />
+<br />
-<br />
-<br />
-<br />
+<br />
+<br />
n-Halbleiter p-Halbleiter<br />
E pot<br />
Leitungsband<br />
n-Seite<br />
+<br />
-<br />
-<br />
ladungsarmer<br />
Ubergang "<br />
Valenzband<br />
p-Seite<br />
In Halbleiterbauelementen wie Dioden <strong>und</strong> Transistoren sind n- <strong>und</strong> p-Leiter miteinander<br />
verb<strong>und</strong>en, zwischen beiden bildet sich eine Übergangszone aus. Wegen der unterschied-<br />
33 Vgl. Zustände gekoppelter Schwingungen Kap. ??.<br />
34 Nach der Quantenmechanik können Teilchen mit einem Spin=1/2 nicht gleichzeitig denselben Zustand<br />
einnehmen. In der Potentialkette kann sich daher netto keine Ladung bewegen, da alle Zustände<br />
des Valenzbandes besetzt sind.<br />
38
lichen Konzentrationen diff<strong>und</strong>ieren Elektronen in den p-Leiter, Löcher in den n-Leiter<br />
<strong>und</strong> bilden eine Ladungsdoppelschicht, die ähnlich wie beim Kondensator eine Potentialdifferenz<br />
aufbaut.<br />
-<br />
+<br />
n-Seite p-Seite<br />
- - + +<br />
+ - - + - + +<br />
- -<br />
-<br />
+ - + -<br />
+<br />
+<br />
- +<br />
- - + -<br />
+<br />
V<br />
I<br />
Durchlaβrichtung<br />
+<br />
-<br />
n-Seite p-Seite<br />
- + - + -<br />
I<br />
+ +<br />
+<br />
+<br />
- - +<br />
+<br />
+<br />
-<br />
--<br />
-<br />
- +<br />
- + -<br />
+<br />
+<br />
- +<br />
- -<br />
-<br />
+ +<br />
- +<br />
Sperrrichtung<br />
V<br />
Sperrichtung<br />
Durchlaβrichtung<br />
Diese Potentialdifferenz erlaubt nur eine Stromleitung durch diese Diode mit der positiven<br />
Spannung an der p-Seite, wie in der Figur angegeben, mit der entsprechenden Diodencharakteristik.<br />
Erhöht man in Sperrichtung bei einer Diode die Spannung, dann setzt bei der<br />
Durchschlagsspannung durch Stossionisation ein Lawinendurchschlag ein (Zener-Diode<br />
zur Spannungsstabilisierung werden nicht mehr hergestellt).<br />
Die Tunneldiode<br />
V<br />
Leitungsband<br />
gefullt "<br />
leer<br />
Valenzband<br />
Tunneleffekt<br />
ohne Spannung<br />
kleine Spannung<br />
groβe Spannung<br />
Wird bei einer Diode die Dotierung so gross gewählt, dass die<br />
I<br />
Donatoren auf der n-Seite so viele Elektronen liefern, dass der<br />
untere Teil des Leitungsbandes gefüllt ist, <strong>und</strong> die Akzeptoren<br />
auf der p-Seite soviele Elektronen aufnehmen, dass der<br />
obere Teil des Valenzbandes fast leer ist, dann ist der Übergangsbereich<br />
Tunneldiode V<br />
sehr schmal. Elektronen können dann bei einer<br />
kleinen<br />
Spannung durch den verbotenen Bereich tunneln (Tunneldiode). Die daraus resultierende<br />
Diodencharakterestik mit einem steilen Anstieg wird zur Erzeugung schneller Signale<br />
verwendet.<br />
Die Solarzelle Eine Solarzelle hat eine dünne p-Schicht.<br />
einfallendes Licht<br />
Trifft ein Photon mit einer Energie grösser als die Energielücke<br />
(1.1 eV in Si) auf die p-Schicht, kann es ein Elektron<br />
I<br />
R V<br />
p-Halbleiter<br />
n-Halbleiter<br />
aus dem Valenzband in das Leitungsband anheben, es<br />
kann durch die Übergangsschicht wandern <strong>und</strong> wird dann<br />
zur n-Schicht beschleunigt. Es fliesst ein Strom, Lichtenergie<br />
wurde in elektrische Energie umgewandelt.<br />
Germanium- <strong>und</strong> Silizium-Detektoren<br />
Durch Dotierung eines hochreinen Ge- oder Si-Einkristalles auf<br />
ionisierendes Teilchen einer Seite als dünnen n-Leiter <strong>und</strong> der anderen als dünnen p-<br />
+<br />
- +<br />
- +<br />
- +<br />
γ - C Leiter entsteht, entsprechend der Grösse des Einkristalles (bis<br />
+ - 150 ccm), eine dicke, intrinsische Übergangsschicht mit einer hohen<br />
Sperrspannung (500-1000 V), so dass kein Strom fliessen<br />
e -<br />
intr. R kann. Der Leckstrom wird durch eine saubere Oberfläche <strong>und</strong><br />
n V p<br />
Kühlung auf Flüssig-Stickstoff-Temperatur (-196 ◦ C) im Vakuum<br />
extrem reduziert.<br />
Fliegt ein hochenergetisches, geladenes Teilchen durch den Detektor, dann erzeugt es<br />
39
in der intrinsischen Schicht durch Ionisation negative <strong>und</strong> positive Ladungsträger, die<br />
von der angelegten Spannung abgesaugt werden. Die Grösse dieses an der Kapazität C<br />
abgegriffenen Stromimpulses ist proportional zu der Zahl der erzeugten Ionenpaare 35 <strong>und</strong><br />
damit zur abgegebenen Energie. Ein Photon erzeugt durch Photoeffekt ein Elektron in<br />
der intrinsischen Schicht, dessen Energie der Energie des Photons entspricht. Mit diesem<br />
Germanium- oder Silizium-Detektor wird die Energie von geladenen Teilchen oder<br />
von γ-Quanten im Energiebereich 10 keV bis 10 MeV mit hoher Auflösung (≈ 10 −4 )<br />
spektroskopiert.<br />
Der Transistor<br />
Kollektor<br />
Basis<br />
p-Typ<br />
n-Typ<br />
Basis<br />
Kollektor<br />
Kollektor<br />
Basis<br />
n-Typ<br />
p-Typ<br />
Basis<br />
Kollektor<br />
Emitter<br />
p-Typ<br />
Emitter<br />
Emitter<br />
n-Typ<br />
Emitter<br />
pnp-Transistor<br />
npn-Transistor<br />
Der Transistor 36 besteht aus drei Halbleiterschichten, einem Emitter, einem Kollektor<br />
<strong>und</strong> einer dünnen Basis zwischen den beiden, die vom anderen Typ sind 37 . Die Schaltsymbole<br />
für einen pnp- <strong>und</strong> npn-Transistor sind angegeben. I K +i K<br />
V EB<br />
-<br />
+<br />
I B<br />
B<br />
I E<br />
I K<br />
K<br />
E<br />
-<br />
+ V K<br />
pnp-Transistorschaltung<br />
Eingangssignal R B B<br />
vein<br />
~ I B +i B<br />
-<br />
V EB<br />
I<br />
+<br />
E<br />
K<br />
E<br />
R V<br />
-<br />
+ V EK<br />
pnp-Transistorverstarker "<br />
Ausgangssignal v aus<br />
In der Figur ist der E-B-Übergang in Durchlassrichtung <strong>und</strong> der B-K-Übergang in Sperrichtung<br />
geschaltet. Der stark dotierte Emitter emittiert Löcher, die über E-B zur dünnen<br />
Basis <strong>und</strong> bis in den Kollektor fliessen i K . Die in der Basis rekombinierten Löcher erzeugen<br />
einen Ladungsüberschuss, der den Strom verhindert, was durch die Basisspannung V EB<br />
teilweise verhindert wird. Da I K ≈ I E <strong>und</strong> I B ≪ I K gilt, erhält man eine<br />
Stromverstärkung I K = βI B mit β = 10...100.<br />
In der einfachen Transistorverstärkerschaltung (Fig. rechts) wird die Eingangsspannung<br />
v ein entsprechend der Widerstände R V <strong>und</strong> R B sowie des Stromverstärkungsfaktors β mit<br />
der Spannungsverstärkung<br />
v aus<br />
R V<br />
= β verstärkt 38 .<br />
v ein R B + R Bi<br />
Transistoren haben bis auf einige Spezialfälle die Röhrenverstärker vollständig abgelöst.<br />
In der Form der integrierten Schaltung als Chips haben sie drastisch das Anwendungsgebiet<br />
in der Elektronik verändert in Richtung eines minimalen Energieaufwandes<br />
35 Der Energieverlust eines geladenen Teilchens pro erzeugtem Ionenpaar beträgt in Ge <strong>und</strong> Si 2-3 eV,<br />
d.h. viel weniger als 30 eV in Gas. Damit werden in Ge <strong>und</strong> Si mehr Ionenpaare bei gleicher Energie des<br />
Teilchens erzeugt <strong>und</strong> die Auflösung eines Halbleiterdetektors ist wegen der höheren Statistik der Zahl<br />
der Ionenpaare viel besser als in einem Gas- oder NaJ-Detektor.<br />
36 1948 von William Shockley, John Bardeen <strong>und</strong> Walter H. Brattain erf<strong>und</strong>en.<br />
37 Diese Anordnung ist analog zur Funktion der Kathode, des Gitters <strong>und</strong> der Anode einer Röhre.<br />
38 i B = vein<br />
R B+R Bi<br />
, v aus = i K · R V = βi B R V = βR V<br />
v ein<br />
R B+R Bi<br />
, R Bi : Innenwiderst. Basis-Kollektor.<br />
40
(mehr das Problem der Kühlung als des Stromverbrauches), schneller Signalverarbeitung<br />
sowie sehr kleiner, kompakter Bauweise.<br />
3.2.3 Leitung in flüssigen Elektrolyten<br />
Elektrolyte sind Stoffe mit überwiegender Ionenleitung. Feste Elektrolyte sind z.B. AgI,<br />
Alkalisalze, NaCl, KBr,. . . <strong>und</strong> Glas; flüssige Elektrolyte sind Lösungen von Salzen, Säuren<br />
<strong>und</strong> Basen. Eine elektrolytische Dissoziation ist der Zerfall eines Moleküls oder Kristalls<br />
in Ionen in der Lösung. Wegen seines grossen Dipolmomentes hat das Wasser eine starke<br />
dissoziierende Wirkung. Je grösser die Dielektrizitätskonstante ε (z.B. ε(H 2 O) = 81) ist,<br />
desto geringer sind die elektrostatische Kräfte zwischen den Ionen, desto grösser also die<br />
spaltende Wirkung des Lösungsmittels.<br />
❥<br />
✒ I<br />
+ −<br />
Pt Pt<br />
✲ ⃗ E<br />
Wird mit Metallelektroden ein äusseres Feld ⃗ E im Elektrolyten erzeugt,<br />
dann bewegen sich die positiven Ionen (Kationen) zur Kathode <strong>und</strong> die<br />
negativen (Anionen) zur Anode. Die Ladungen der Ionen sind<br />
q + = ν + e <strong>und</strong> q − = −ν − e, wenn ν + <strong>und</strong> ν − die entsprechenden<br />
Wertigkeiten sind. Neben der Kraft q ⃗ E wirkt noch eine viskose Reibungskraft,<br />
die proportional zur Geschwindigkeit v der Ionen ist. Im Gleichgewicht<br />
zwischen beiden Kräften ist ⃗v = b ⃗ E. Die Beweglichkeit b<br />
kann nur bestimmt werden, wenn Annahmen über die Reibungskraft gemacht werden<br />
können. Mit dem Stokes’schen Reibungsgesetz <strong>und</strong> dem Ionenradius r ist<br />
ν eE = 6πη rv <strong>und</strong> somit b = v E = νe<br />
6πηr .<br />
Die Stromdichte setzt sich aus dem Ionenstrom der Kationen <strong>und</strong> der Anionen zusammen<br />
j = j + + j − = e (n + ν + v + + n − ν − v − ). Da die Lösung neutral ist, gilt n + ν + = n − ν −<br />
<strong>und</strong> damit j = n + ν + e (v + + v − ) <strong>und</strong> mit v = bE folgt j = n + ν + e (b + + b − )E = σE<br />
Damit ist die Leitfähigkeit eines Elektrolyten bei konstanter Temperatur <strong>und</strong> nicht zu<br />
hohen Feldstärken σ = j E = n +ν + e (b + + b − )<br />
Aus der Messung von σ wird nur die Summe der Beweglichkeiten bestimmt, das Verhältnis<br />
von b + /b − kann jedoch festgelegt werden, wenn die beim Stromdurchgang auftretende<br />
Konzentrationsänderung an den Elektroden gemessen wird. Aus dieser Analyse stammen<br />
Beweglichkeiten [10 −8 m 2 /Vs]<br />
b +<br />
b −<br />
H + 31.5 F − 4.66<br />
Li + 3.34 Cl − 6.55<br />
Na + 4.35 Br − 6.70<br />
K + 6.46 I − 6.65<br />
Rb + 6.75 SO −−<br />
4 6.8<br />
Cs + 6.8 CrO 4 7.2<br />
Ca ++ 5.1 OH − 15.0<br />
die Werte der Tabelle.<br />
Wenn man von den hohen Werten für H + <strong>und</strong> OH −<br />
absieht, sind die Beweglichkeiten aller Ionen infolge<br />
ihrer Hydration etwa gleich. Ionen können Wassermoleküle<br />
mit ihrem permanenten elektrischen Dipolmoment<br />
binden. Mit dem Stokes’sche Reibungsgesetz<br />
sollte b ∝ νe/r gelten. Kleine Ionen lagern jedoch<br />
Wassermoleküle besser an, so dass ein grösserer Ionenradius<br />
vorgetäuscht wird. Deshalb nimmt in der<br />
Reihe Li + -Na + -Rb + die Beweglichkeit zu, obwohl die<br />
Radien der freien Ionen zunehmen.<br />
Der Strom in Elektrolyten ist mit einem Materietransport verb<strong>und</strong>en. n Ionen der Masse µ<br />
transportieren eine Ladung I = nνe <strong>und</strong> eine Masse nν an eine Elektrode. In t Sek<strong>und</strong>en<br />
41
wird also bei konstanter Stromstärke die Masse m = nµt = I<br />
νe µt<br />
abgeschieden. Mit<br />
µ = Molmasse M folgt m = I M t = I M<br />
[ ] Cb<br />
N ◦ νeN ◦ νF t, F = N ◦e = 96 484.56 .<br />
Mol<br />
F , die Faradayzahl, ist die Ladung eines Mols einwertiger Ionen, aus einem gemessenen<br />
F kann N ◦ bestimmt werden. Elektrolytische Leitung tritt auch bei pseudofesten Körpern<br />
wie Glas ein, erhitztes Glas leitet gut.<br />
3.2.4 Leitung in Gasen<br />
Gase nicht zu hoher Temperatur bestehen aus neutralen Atomen oder Molekülen <strong>und</strong> sind<br />
damit gute Isolatoren. Werden von aussen Ladungsträger in das Gas gebracht, z.B. durch<br />
Photoemission an Elektroden oder wird das Gas durch Strahlung ionisiert, dann wird<br />
es zum Leiter. Ein angelegtes elektrisches Feld erzeugt einen Strom. Da die Ladungen<br />
✛<br />
✓ d ✲<br />
✏ durch äussere Einwirkungen entstanden sind <strong>und</strong> die Entladung<br />
I<br />
✻<br />
✒<br />
I<br />
♠<br />
✒<br />
V<br />
✑<br />
nicht von selbst einsetzt, spricht man von einer unselbständigen<br />
Entladung. Bei genügend hoher Spannung, so dass alle Ionen zu<br />
den Elektroden gelangen, wird der Sättigungsstrom erreicht. Ein<br />
kleiner Teil der primär gebildeten Ionen können durch Rekombination<br />
zu neutralen Molekülen umgewandelt werden.<br />
Bei niedrigem Gasdruck (Luft 0.1 Atm) wird die mittlere freie<br />
Weglänge der Gasatome <strong>und</strong> Ionen grösser <strong>und</strong> die Ionen werden<br />
auf so hohe Energien beschleunigt, dass sie beim inelastischen<br />
Zusammenstoss neutrale Moleküle ionisieren können <strong>und</strong><br />
es entstehen neue Ionen <strong>und</strong> freie Elektronen, die wiederum ionisieren.<br />
Durch diese Stossionisation entsteht eine selbständige<br />
Entladung, bei der der Strom im wesentlichen durch die<br />
✟<br />
✲ V<br />
V Zünd.<br />
Stossionisation aufrecht erhalten wird. Bei niedrigen Drucken spricht man auch von Glimmentladung<br />
mit der skizzierten Strom-Spannungs-Charakteristik.<br />
Damit eine selbständige Entladung einsetzen kann, muss eine minimale Zündspannung V Z<br />
vorhanden sein, die vom Gasdruck p <strong>und</strong> Elektrodenabstand d abhängt. Die von den ionisierenden<br />
Elektronen <strong>und</strong> Ionen zurückgelegte freie Weglänge ¯l ist umgekehrt proportional zu p, d.h.<br />
¯l ∝ 1/p. Man unterscheidet zwei Grenzfälle:<br />
1. Ist ¯l ≪ d, so müssen die Elektronen zwischen zwei Zusammenstössen mit Gasatomen<br />
genügend Energie erhalten, um ionisieren zu können, d.h. eE¯l = e V Z<br />
d<br />
¯l > eVion , mit V ion<br />
der nötigen Spannung zur Ionisation. Die vom Elektron gewonnene Energie eE¯l wird<br />
vollständig ans Gasmolekül abgegeben, also V Z ∝ d/l ∝ pd.<br />
2. Ist ¯l ≫ d <strong>und</strong> V ≥ V ion , so erhalten die Elektronen genügend Energie eV , um ionisieren zu<br />
können. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Gasmolekül zusammenzustossen, ist proportional<br />
zur Dichte der Teilchen <strong>und</strong> dem vorhandenen Volumen zwischen den Elektroden, also<br />
∝ pd. Je kleiner die Wahrscheinlichkeit einer Kollision, um so grösser muss V Z werden:<br />
V Z ∝ 1<br />
pd . V Z(pd) erreicht ein Minimum bei (pd) ◦ (Gesetz von Paschen).<br />
42
V z,min<br />
V z<br />
(pd) o<br />
pd<br />
Wird die Stromdichte einer Entladung so weit erhöht,<br />
dass die Kathode infolge der Wärmeentwicklung Elektronen<br />
emittiert, dann geht die Glimmentladung in den<br />
Lichtbogen über. Die Charakteristik des Lichtbogens ist<br />
fallend. Zunehmendes I ergibt höhere Wärmeentwicklung<br />
<strong>und</strong> damit mehr Ladungsträger (Problem der Stabilisierung<br />
eines Lichtbogens z.B. der Bogenlampe).<br />
Anwendungen der Leitung in Gasen sind: Ionisationskammer, Proportionalzähler, Geigerzähler,<br />
Vieldrahtkammer, Funkenkammer, Hochleistungsschalter usw.<br />
3.2.5 Anwendungen der Gasentladung für Detektoren<br />
Ionisationskammer, Proportionalzähler, Geigerzähler, Funkenkammer<br />
ionisierendes Teilchen<br />
C<br />
- +<br />
- +<br />
- + - +<br />
R<br />
- V +<br />
N g<br />
N p<br />
1<br />
1M<br />
Auslosebereich<br />
"<br />
Proportionalbereich<br />
Plateau<br />
teilweise Rekombination V<br />
Eine Ionisationskammer kann als Plattenkondensator oder als<br />
ein zylindrisches Zählrohr mit einem dünnen, zentrischen Kathodendraht<br />
gebaut werden (s. Fig.). Es wird mit speziell ausgewählten<br />
Gasen (CH 4 , Argon) gefüllt. Von einem geladenen durchfliegenden<br />
Teilchen werden im Gas Ionenpaare gebildet, die von der<br />
angelegten Spannung V zu einer Platte oder zum Draht<br />
abgezogen werden <strong>und</strong> an dem Kondensator C ein<br />
schnelles negatives Signal der Elektronen <strong>und</strong> ein langsames<br />
positives Signal der Ionen erzeugen. Bei zu niedriger<br />
Spannung rekombinieren etliche Ionenpaare. In einem<br />
Plateau werden alle primär gebildeten Ionenpaare<br />
N p gesammelt (N g ).<br />
Bei einer steigenden Spannung setzt am Kathodendraht durch Stossionisation eine Gasverstärkung<br />
ein proportional zu N p (Proportionalbereich), die dann im Auslösebereich in<br />
eine vollständige Gasentladung unabhängig von N p übergeht (Auslösebereich des Geigerzählers).<br />
Der Strom führt zu einem Spannungsabfall über R <strong>und</strong> die Gasentladung bricht<br />
ab. Die bei der Entladung gebildeten langsamen Ionen werden durch Löschgaszusätze geb<strong>und</strong>en,<br />
damit keine ’Nachimpulse’ durch Sek<strong>und</strong>ärelektronen im Detektor auftreten.<br />
Eine Funkenkammer ist ein mit Gas gefüllter Plattenkondensator, mit einer Spannung<br />
knapp unter dem Durchschlag. Ein durchfliegendes geladenes Teilchen erzeugt eine<br />
Ionisationsspur. Mit einem separaten, schnellen Szintillationszähler, in dem das durchlaufende<br />
Teilchen als Trigger nachgewiesen wird, wird die Hochspannung über die Durchschlagsspannung<br />
erhöht <strong>und</strong> es bildet sich ein Funken aus. Der Funken als Ort des Teilchendurchganges<br />
kann optisch oder akustisch registriert werden. Die Funkenkammer ist<br />
langsam (. . . ms), da nach dem Funken alle Ionen abgesaugt werden müssen, bevor die<br />
Kammer wieder empfindlich ist.<br />
Eine Proportionalkammer ist ein mit Gas gefüllter Plattenkondensator<br />
mit gleichmässig angeordneten dünnen (20-50 µ)<br />
Kathodendrähten, die im Proportionalbereich arbeiten <strong>und</strong> keine Stossionisation ausbilden.<br />
Der Ort des Teilchendurchganges wird elektronisch durch den Draht, an dem ein<br />
Signal erzeugt wird, identifiziert. Die Proportionalkammer ist schnell (100ns-1µs), da die<br />
Gasverstärkung sich nur an wenigen Drähten ausbildet. Zwei Kammern mit den Drähten<br />
senkrecht oder unter einem Winkel zueinander ergeben die Ortsinformation mit der Genauigkeit<br />
des Drahtabstandes.<br />
43
Bei einer Driftkammer wird mit einem zusätzlichen Detektor die Driftzeit der Elektronen<br />
zu einem Kathodendraht gemessen <strong>und</strong> damit sehr genau (bis 20µ) der Ort des<br />
Teilchens bestimmt (zukünftige Anwendung für die Tomographie).<br />
3.2.6 Leitung in Vakuumröhren<br />
Die Elektrizitätsleitung in Vakuumröhren ist ein Sonderfall der unselbständigen Entladung<br />
im Hochvakuum. In einem Photomultiplier werden Elektronen mit der Photoemission<br />
durch Licht aus der Kathode herausgelöst <strong>und</strong> erzeugen einen Strom.<br />
I ♠ Röhren mit geheizter Kathode können durch Thermoemission von<br />
✓ ✏ Elektronen Strom leiten. Bei der Thermoemission wächst mit steigender<br />
Temperatur die thermische Energie der Elektronen, so dass<br />
V A<br />
✞ ☎<br />
die rücktreibenden Spiegelkräfte an der Metalloberfläche überw<strong>und</strong>en<br />
werden können, Elektronen verdampfen.<br />
Die Stromdichte der Glühemission ist gegeben durch<br />
I<br />
Sättigung<br />
J = AT 2 e −W/kT<br />
Richardson-Gleichung<br />
V A k: Boltzmann-Konstante, A = 6.02 · 10 5 A/m 2 K 2 ist nach<br />
der Theorie für alle reinen Metalle gleich.<br />
Die Austrittsarbeit der Elektronen W ist eine Materialkonstante, die meist in Volt angegeben<br />
wird (Energie=eV vgl. Tabelle). Bei genügend hoher Anodenspannung V A erreicht<br />
der Anodenstrom I den durch die Richardson-Gleichung gegebenen Sättigungsstrom.<br />
Der Anodenstrom kann durch den Einbau eines Gitters als<br />
Metall Austrittsarbeit<br />
[V]<br />
dritte Elektrode gesteuert werden (Triode). Am für Elektronen<br />
durchlässigen Gitter liegt die Gitterspannung V<br />
Pt 5.36<br />
G bezüglich der<br />
Kathode. Betrag <strong>und</strong> Vorzeichen von V<br />
W 4.53<br />
G bestimmen den Anodenstrom.<br />
Bei einer ausreichenden negativen Gitterspannung<br />
Ba 2.52<br />
V<br />
Cs 1.94 G wird der Anodenstrom I = 0, während bei zunehmender<br />
Gitterspannung I bis zur Sättigung zunimmt.<br />
♠ I<br />
✓ ✏<br />
I<br />
V A<br />
✞ ☎<br />
V G<br />
V A groβ<br />
V A klein<br />
V G<br />
44
4 Magnetostatik<br />
4.1 Die Lorentz-Kraft <strong>und</strong> das ⃗ B-Feld <strong>und</strong> ⃗ H-Feld im Vakuum<br />
Im Kapitel 2 wurde gezeigt, dass ruhende Ladungen elektrische Felder ( ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ D) erzeugen.<br />
Der Ausgangspunkt war das Coulombsche Gesetz, das die elektrostatische Wechselwirkung<br />
zwischen punktförmigen Ladungen beschreibt. Die Erfahrung zeigt uns aber, dass<br />
auch Körper existieren, deren Wechselwirkung weder mechanischer noch elektrostatischer<br />
Natur ist. Zwischen zwei Kompassnadeln wirken z.B. Kräfte, deren Ursachen nicht durch<br />
gravitative oder elektrostatische Kräfte erklärt werden können. Um solche Kraftwirkung<br />
zu beschreiben, ist es notwendig, neue Felder, die magnetischen Felder, zu definieren.<br />
4.1.1 Erfahrungstatsachen <strong>und</strong> F<strong>und</strong>amentalgesetze<br />
1. Bewegte Ladungen, d.h. elektrische Ströme erzeugen magnetischen Felder, denn in<br />
der Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters wird eine Kompassnadel im allgemeinen<br />
abgelenkt.<br />
2. In einem magnetischen Feld erfährt eine bewegte Punktladung eine Kraft ⃗ F, die Lorentzkraft.<br />
⃗ F steht immer senkrecht zur Geschwindigk ⃗v der Ladung. Ihr Betrag ist proportional<br />
zur Ladung q <strong>und</strong> zu v.<br />
⃗F<br />
✻<br />
☎<br />
✟ ✟✟✯ B ⃗<br />
✲ ⃗v<br />
+q<br />
Aufgr<strong>und</strong> dieser Tatsachen kann ein Vektor ⃗ B so bestimmt werden,<br />
dass gilt 39 ⃗ F = konst. · q(⃗v × ⃗ B) (39)<br />
⃗B ist ein magnetisches Feld, genannt magnetische Induktion.<br />
Da die Ladung q schon festgelegt ist, ist ⃗ B in der Gl. (39) eine aus ⃗ F, q <strong>und</strong> ⃗v abgeleitete<br />
Grösse; in SI-Einheiten wird die Konstante konst.=1 gesetzt. Damit ist die Einheit der<br />
magnetischen Induktion 40 [Tesla] =<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
N s Nm s V s<br />
= [T] = = .<br />
m Cb m 2 Cb m 2<br />
Die Einheit von B, ein Tesla, bewirkt eine Kraft von 1 N, wenn ⃗ B <strong>und</strong> ⃗v = 1 m/s der<br />
Ladung q = 1 Cb senkrecht aufeinander stehen.<br />
Das Kraftgesetz lautet also ⃗ F = q · (⃗v × ⃗ B) Lorentzkraft (40)<br />
Oft wird auch die Lorentzkraft mit der Coulombkraft zusammen zur Lorentzkraft des<br />
elektromagnetischen Feldes zusammengefasst ⃗ F = q · ( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B) (41)<br />
Damit haben wir alle Voraussetzungen der Dynamik der elektromagnetischen Wechselwirkung<br />
formuliert.<br />
Da Strom bewegte Ladung ist, erfährt ein Leiter mit einer Stromstärke I in einem<br />
39 Als Merkregel benutzen wir für die Richtung der Kraft die rechte Handregel mit einer positiven<br />
Ladung. Man beachte, dass, wie später in der Teilchenphysik dargelegt wird, die elektromagnetische<br />
Wechselwirkung invariant ist gegenüber Rechts- oder Links-Drehungen (Paritätserhaltung). Da das ⃗ B-<br />
Feld ein Axialvektor ist, muss im Vektorprodukt die rechte Handregel zweimal angewandt werden, um<br />
die Kraft als einen polaren Vektor zu erhalten. Vergleiche Phys AI Fussnote 11 S.9.<br />
40 In SI-Einheiten ist die Lichtgeschwindigkeit in den elektrischen Einheiten enthalten, im cgs-System<br />
tritt sie dagegen in den magnetischen Einheiten auf.<br />
45
⃗F ✻<br />
✟ ✟✯ B ⃗ ✲ ✲ I<br />
d ⃗ l<br />
⃗B-Feld eine Kraft. Ist d ⃗ l ein Leiterelement, so ist diese d ⃗ F = dq (⃗v× ⃗ B),<br />
wobei gilt dq = I dt <strong>und</strong> ⃗v = d⃗ l<br />
dt<br />
, <strong>und</strong> damit<br />
d ⃗ F = I (d ⃗ l × ⃗ B) (42)<br />
3. Nachdem durch den Vektor ⃗ B das magnetische Feld definiert worden ist, können wir<br />
auch die Tatsache, dass es keine magnetischen Punktladungen (Monopole) sondern nur<br />
Dipole gibt, durch eine Gleichung zum Ausdruck bringen. Man kann in der Magnetostatik<br />
auch ein Coulomb’sches Gesetz für die magnetischen Polstärken aufstellen. Also kann auch<br />
der Satz von Gauss Gl. (24) auf das ⃗ B-Feld angewandt werden. Da aber in irgendeinem<br />
Volumen die Summe der Polstärken Null ist, muss der Feldfluss Φ des Feldes durch eine<br />
geschlossene Fläche A verschwinden. Damit lautet dieses F<strong>und</strong>amentalgesetz<br />
dA<br />
B<br />
∮<br />
Φ mag = Φ =<br />
A<br />
⃗B · d ⃗ A = 0 [Vs] = [Weber] = [Wb] (43)<br />
<strong>und</strong> differentiell als 2. Maxwell’sche Gleichung<br />
∂B x<br />
∂x + ∂B y<br />
∂y + ∂B z<br />
∂z = div ⃗ B = ⃗ ∇ · ⃗B = 0 .<br />
Das magnetische Feld ist quellenfrei, d.h. es gibt keine magnetischen Punktladungen (magnetische<br />
Monopole). Die Feldlinien sind geschlossen.<br />
Woher kommen dann die magnetischen Felder? - Wir haben unter 1. gesehen, dass<br />
elektrische Ströme Magnetfelder erzeugen. Damit wollen wir uns jetzt genauer befassen.<br />
4.1.2 Die Gesetze von Biot-Savart <strong>und</strong> Ampère<br />
Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf eine bewegte Ladung aus, <strong>und</strong> da Strom bewegte Ladung<br />
ist, auch auf einen stromdurchflossenen Leiter. Da actio=reactio gilt, muss auch<br />
der stromdurchflossene Leiter auf das Magnetfeld wirken. Ein Magnet wirkt auf einen<br />
anderen Magneten; also muss der stromdurchflossene Leiter (oder eine bewegte Ladung)<br />
auch ein Magnetfeld erzeugen. Weiter überlegt man sich: Wenn ein Strom ein Magnetfeld<br />
erzeugt <strong>und</strong> zwei Magnete untereinander wechselwirken, müssen auch zwei stromdurchflossene<br />
Drähte über ihre erzeugten Magnetfelder aufeinander wirken. Dies legt nahe, dass<br />
atomistisch auch ein Permanentmagnet durch Ströme erklärt werden kann.<br />
Frage: Wie sieht das Magnetfeld eines gegebenen Stromes (resp. einer bewegten Ladung)<br />
aus? - Die Antwort auf diese Frage wurde durch Ampère mit mehreren Experimenten<br />
gegeben:<br />
Das von einem Leiterelement d ⃗ l mit einem Strom I erzeugte Feld d ⃗ B steht senkrecht<br />
zum Leiterelement d ⃗ l <strong>und</strong> senkrecht zum Ortsvektor (⃗r − ⃗r l ) zwischen diesem <strong>und</strong> dem<br />
Ort des ⃗ B-Feldes. Dieser Zusammenhang kann durch das Vektorprodukt d ⃗ l × (⃗r −⃗r l ) beschrieben<br />
werden. Weiter nimmt der Betrag des B-Feldes mit dem Quadrat des Abstandes<br />
ab 41 .<br />
41 Der Fluss durch eine geschlossene Kugelfläche ist konstant.<br />
46
✏ ✏✏✶<br />
✏ I ✞<br />
✏✶ d⃗ l<br />
✲ ✻d B ⃗<br />
❆❑ ⃗r − ⃗r l<br />
❆ ✁ ✁✕ ⃗r l ❆ ✁⃗r<br />
❆❝<br />
✁<br />
Damit ist das vom Strom I im Leiterelement d ⃗ l am Ort ⃗r l erzeugte<br />
Feld d ⃗ B am Ort ⃗r d ⃗ B = konst · I d⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
|⃗r − ⃗r l | 3<br />
Über die Proportionalitätskonstante kann man infolge der Festlegung der ⃗ B-Feldstärke<br />
nicht mehr frei verfügen. Es ist<br />
konst = µ 0<br />
4π = 1 · 10−7 V s<br />
A m ,<br />
Induktionskonstante42 µ 0 = 4π · 10 −7 V s<br />
A m<br />
(exakt).<br />
Somit gilt d ⃗ B = µ 0<br />
4π I d⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
|⃗r − ⃗r l | 3 ,<br />
beziehungsweise B ⃗<br />
µ 0 =<br />
4π<br />
∫Leiter<br />
I d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
|⃗r − ⃗r l | 3<br />
Biot-Savart’sches Gesetz<br />
im Vakuum<br />
Analog zur Elektrostatik ist es wiederum zweckmässig, ein weiteres magnetisches Feld<br />
(im Hinblick auf ein Medium) zu definieren. Man setzt für das Vakuum<br />
⃗ B = µ0 ⃗ H<br />
<strong>und</strong> nennt ⃗ H die magnetische Feldstärke. Das Biot-Savart’sches Gesetz 43 lautet somit<br />
d ⃗ H = I<br />
4π<br />
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
|⃗r − ⃗r l | 3 , resp. ⃗ H =<br />
I<br />
4π<br />
Die Einheit der magnetischen Feldstärke 44 H ist<br />
ϕ<br />
→<br />
r<br />
P<br />
→<br />
dH<br />
∫<br />
[ ] Amp<br />
m .<br />
Leiter<br />
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
|⃗r − ⃗r l | 3 (44)<br />
Wie sieht nun das magnetische Feld eines langen, geraden Leiters 45 mit Strom I aus?<br />
d ⃗ I Wir wenden das Biot-Savart’sche Gesetz an <strong>und</strong> finden<br />
l ϑ<br />
→<br />
l ρ<br />
bei P |dH| ⃗ = I |d ⃗ l × ⃗ρ|<br />
= I dl sin ϑ<br />
, mit<br />
4π ρ 3 4π ρ 2<br />
ρ =<br />
r<br />
r dϑ<br />
, l = −ρ cos ϑ = −r cot ϑ, dl =<br />
sin ϑ sin 2 ϑ<br />
42 oder absolute Permeabilität.<br />
43 Jean-Baptiste Biot 1774-1863<br />
44 Das “wirkliche” Magnetfeld, das auf bewegte Ladungen ein Kraft ausübt, ist die magnetische Induktion<br />
⃗ B. Die magnetische Feldstärke ⃗ H dagegen kann man aus gegebenen (makroskopischen) Strömen<br />
berechnen. Die Situation ist ähnlich wie in der Elektrostatik. Dort ist das elektrische Feld ⃗ E das “wirkliche”,<br />
welches auf Ladungen eine Kraft ausübt. Die dielektrische Verschiebung ⃗ D hingegen kann aus<br />
einer gegebenen (typisch vom Experimentator vorgegebenen) Ladungsdichte ρ berechnet werden. Die<br />
Namensgebung <strong>und</strong> die Beziehungen (im Vakuum) ⃗ B = µ 0<br />
⃗ H <strong>und</strong> ⃗ D = ǫ0 ⃗ E können einen dazu verleiten,<br />
einerseits das ⃗ E- <strong>und</strong> ⃗ H-Feld <strong>und</strong> andrerseits das ⃗ D- <strong>und</strong> ⃗ B-Feld einander zuzuordnen. Man soll das<br />
jedoch auf keinen Fall tun <strong>und</strong> sich merken: ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ B sind die “wirklichen” Felder, ⃗ D <strong>und</strong> ⃗ H dagegen<br />
kann man als Hilfsfelder oft einfacher berechnen.<br />
45 Es muss Zylindergeometrie gelten, d.h. |d ⃗ H| ist unabhängig von ϕ.<br />
47
d<br />
I<br />
I<br />
dϕ<br />
r o<br />
ro<br />
d ⃗ l<br />
d cos<br />
d<br />
ergibt sich dH = I sin ϑ dϑ<br />
4π r<br />
<strong>und</strong> H = I ∫ π<br />
H → 4πr sin ϑ dϑ =<br />
I<br />
0 4π r · 2 = I<br />
2πr .<br />
Die Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise.<br />
H →<br />
H<br />
Mit dem “Umlaufintegral” längs einer Feldlinie ist mit der<br />
Rotationssymmetrie H(ϕ) =konst.<br />
∮ ∫ 2π<br />
⃗H · d ⃗ l = H dϕ r 0 =<br />
0<br />
∫ 2π<br />
0<br />
I<br />
dϕ r 0 = I 1<br />
2π r 0 2π 2π = I<br />
<strong>und</strong> damit H = I/(2π r ◦ ), wie oben berechnet.<br />
Dasselbe Resultat erhält man auch, wenn der Integrationsweg<br />
eine beliebige Kurve ist:<br />
⃗H · d ⃗ l = H dl cosα = H r 0 dϕ =<br />
I r 0 dϕ = I<br />
2π r 0 2π dϕ.<br />
Also gilt für eine beliebige Kurve das Gesetz von Ampère:<br />
∮<br />
⃗H · d ⃗ l =<br />
∑<br />
I<br />
(elektromagnetische Verkettung)<br />
Hierbei stellt ∑ I die Summe aller Ströme dar, die durch den Integrationsweg eingeschlossen<br />
werden. I ist dabei positiv zu rechnen, wenn die Stromrichtung in Bezug auf die<br />
Integrationsrichtung einer Rechtsschraube entspricht.<br />
Das Ampère’sche Gesetz ∮ C ⃗ H · d ⃗ l = ∑ I der Magnetostatik entspricht (in einem<br />
gewissen Sinne) dem Gauss’schen Satz Gl. (7) ∮ A ⃗ E · d ⃗ A = 1 ǫ 0<br />
∑ Q der Elektrostatik.<br />
Es kann in Spezialfällen (z.B. Symmetriebetrachtung wie oben) zur Berechnung von ⃗ H<br />
benutzt werden.<br />
Diese elektromagnetische Verkettung (Verkettung von Magnetfeld <strong>und</strong> bewegter Ladung)<br />
wird zur Definition des Ampère benutzt: Wir wollen die Kraft zwischen zwei geraden<br />
<strong>und</strong> parallelen, stromdurchflossenen Leitern betrachten. Die magnetische Induktion B 1<br />
d<br />
I 1<br />
. dF<br />
I 2<br />
herrührend von I 1 am Ort I 2 ist B 1 = µ 0 I 1<br />
2π d .<br />
Die Kraft dF auf ein Leiterelement dl 2 beträgt nach Gl.(42)<br />
d<br />
d ⃗ l<br />
B 1<br />
dF = I 2 dl 2 B 1 = µ 0 I 1 I 2<br />
2π d dl 2 .<br />
Parallele Ströme ziehen sich an, antiparallele stossen sich ab 46 .<br />
Die gesetzliche Definition des Ampère 47 <strong>und</strong> damit auch des Coulomb beruht auf dieser<br />
Kraftwirkung. Ist nämlich I 1 = I 2 = I, d = 1 m <strong>und</strong> beträgt die Kraft pro Längeneinheit<br />
46 vgl. die Stabilisierung eines Elektronen- oder Ionenstrahls gegen die Coulombabstossung<br />
47 André-Marie Ampère (1775-1836) in Polémieux (Rôhne). Der Vater war Händler <strong>und</strong> Stadtrat in<br />
Lyon, er wurde als Gegner der Republik 1793 unter der Guillotine hingerichtet. Napoléon machte Ampère<br />
zum Professor für Mathematik in Bourg <strong>und</strong> 1809 in Paris. Da er eine Einladung Napoléons vergass,<br />
sagte man ihm Zerstreutheit nach. Nach Oerstedts Entdeckung der Elektrizität <strong>und</strong> <strong>Magnetismus</strong> fand<br />
Ampère nach einer Woche die rechte Handregel <strong>und</strong> es folgten: die einen Leiter umkreisende Kraft,<br />
48
2 · 10 −7 N/m, so setzt man I = 1 Ampère. Die Induktionskonstante µ 0 bekommt damit<br />
den uns bekannten Wert von µ 0 = 4π · 10 −7 N A 2 oder<br />
Vs<br />
Am<br />
j n<br />
dA<br />
j<br />
dr<br />
C<br />
B<br />
Hat man eine Stromverteilung mit der Stromdichte ⃗j <strong>und</strong><br />
ist C wiederum eine geschlossene Kurve, welche die Fläche<br />
A umrandet <strong>und</strong> ist ferner dA ein Flächenelement von A,<br />
so ist ∑ I = ∫ A j n dA. Sei nun d⃗r ein Linienelement von C;<br />
dann lautet das Ampère’sche Gesetz<br />
∮<br />
C<br />
∫<br />
⃗H · d⃗r =<br />
A<br />
∫<br />
j n dA =<br />
A<br />
⃗j · d ⃗ A<br />
H x (y)<br />
dx<br />
x,y,z<br />
1<br />
j z<br />
dy<br />
4<br />
2<br />
3<br />
H y (x)<br />
dx<br />
H x (y+dy)<br />
Wählen wir für C ein Rechteck in der xy-Ebene<br />
mit infinitesimalen Seitenlängen dx <strong>und</strong> dy, so<br />
gilt für diesen differentiellen Weg<br />
⃗H · d⃗r = H x (x,y,z)dx + H y (x + dx,y,z)dy<br />
−<br />
H x (x,y + dy,z)dx − H y (x,y,z)dy<br />
z<br />
x<br />
dy<br />
y<br />
H y (x+dx)<br />
= j z dxdy ,<br />
oder<br />
∂H y<br />
∂x − ∂H x<br />
∂y = j z .<br />
Analog gilt ∂H z<br />
∂y − ∂H y<br />
∂z = j x <strong>und</strong> ∂H x<br />
∂z − ∂H z<br />
∂x = j y ; d.h. rot ⃗ H = ⃗ ∇ × ⃗ H = ⃗j (45)<br />
Die ist die 4. Maxwell’sche Gleichung (vgl. S.85) für stationäre Zustände. Das Magnetfeld<br />
ist also ein Wirbelfeld mit dem elektrischen Strom als Ursache. Existieren elektrische<br />
Ströme, dann sind diese von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben (vgl. Gleichung<br />
(43)). Da also rot ⃗ H = ∇ × ⃗ H ≠ 0, existiert kein magnetisches skalares Potential,<br />
wie im folgenden Kapitel 4.1.3 diskutiert wird; dies im Gegensatz zur Elektrostatik, wo<br />
rot ⃗ E = ∇ × ⃗ E = 0 gilt.<br />
4.1.3 Das Vektor-Potential †<br />
Die Maxwell-Gleichungen (76) stellen eine reine mathematische Struktur der elektromagnetischen<br />
Wechselwirkung dar. ⃗ E, ⃗ B sind miteinander gekoppelt <strong>und</strong> sie sind die beiden Observablen<br />
(physikalisch messbare Grössen) dieser Wechselwirkung. Die Lösungen der Maxwell-Gleichungen<br />
mit entsprechenden Randbedingungen sollten alle physikalischen Phänomene beschreiben, wenn<br />
die Gr<strong>und</strong>gleichungen richtig sind. Dabei beschreiben die Randbedingungen ∂/∂t = 0 die Elektrostatik<br />
<strong>und</strong> Magnetostatik, ∂/∂t ≠ 0 die Elektrodynamik <strong>und</strong> die Erzeugung von elektromagnetischer<br />
Strahlung, sowie ρ = 0, j = 0 das Verhalten im Vakuum (vgl. Kap. ?? sowie <strong>Physik</strong><br />
III <strong>und</strong> theoretische <strong>Physik</strong> Elektrodynamik).<br />
Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen versucht man das ⃗ E-Feld (polarer Vektor beinhaltet<br />
eine Richtung) <strong>und</strong> das ⃗ B-Feld (Axialvektor beinhaltet einen Drehsinn) durch mathematische<br />
Grössen darzustellen, die einfacher zu behandeln sind. Mathematisch können physikalische<br />
Anziehung stromdurchflossener Leiter, Kreisströme als magnetische Dipole, <strong>Magnetismus</strong> als Kreisströme<br />
im Magneten.<br />
49
Grössen durch den Differentialoperator ∇ in der Stufe erhöht oder erniedrigt werden 48 . Diese<br />
Reduktion führte beim ⃗ E-Feld mit Gl. (3) zum skalaren elektrostatischen Potential V (⃗r) <strong>und</strong><br />
mit der 1. Maxwell Gleichung (9) zur Poisson’schen Differentialgleichung (10).<br />
Das Axialvektorfeld ⃗ B als nichtkonservatives Wirbelfeld kann nun nicht durch ein skalares<br />
Potential dargestellt werden 49 . Es kann jedoch eine allgemeine Relation des Operators ∇ benutzt<br />
werden zusammen mit der Quellenfreiheit des ⃗ B-Feldes ∇ · ⃗B = 0 (es gibt keine magnetischen<br />
Monopole).<br />
Für jedes Vektorfeld gilt allgemein ∇ · (∇ × ⃗ A) = 0 = div rot ⃗ A. Damit kann (∇ × ⃗ A) = ⃗ B<br />
gesetzt werden <strong>und</strong> ⃗ B wird durch ein Vektorpotential ⃗ A dargestellt:<br />
⃗B(⃗r, t) = ∇ × ⃗ A(⃗r, t) (46)<br />
Im folgenden ist in der Magnetostatik ∂ ∂t = 0, t wird weggelassen. Das Vektorpotential ⃗ A ist<br />
analog zum skalaren Potential V keine Observable <strong>und</strong> es kann wie zu V eine beliebige vektorielle<br />
Konstante zu ⃗ A addiert werden. Die Beziehung ⃗ B = ∇ × ⃗ A bleibt auch dann erhalten. Es kann<br />
auch der Gradient eines skalaren Potentials ∇ψ addiert werden, da allgemein gilt ∇ × ∇ψ = 0.<br />
Diese Willkürlichkeit wird i.a. durch eine Zusatzbedingung (Eichung 50 ) von ⃗ A festgelegt, z.B.<br />
mit ∇· ⃗A = 0. Es gilt dann mit der Vektorbeziehung [Anhang C.2] ∇×(∇× ⃗ A) = ∇(∇· ⃗A)−∇ 2 ⃗ A<br />
∇ × B ⃗ = µ ◦<br />
⃗j = ∇ × (∇ × A) ⃗ = ∇ (∇ · ⃗A) −∇ 2 A ⃗<br />
} {{ } ⇒ ∇<br />
2 A ⃗ = ∆A ⃗ = −µ◦ ⃗j<br />
= 0<br />
Diese Gleichung ist die zu V analoge Poissongleichung des Vektorpotentials, die für die Komponenten<br />
A x A y A z als skalare Differentialgleichungen ∆A x = −µ ◦ j x usw. geschrieben werden<br />
kann 51 . Mit entsprechenden Randbedingungen können dann Lösungen der Magnetostatik gef<strong>und</strong>en<br />
werden.<br />
4.2 Anwendungen der Gesetze von Lorentz, Ampère <strong>und</strong> Biot-<br />
Savart<br />
Das Ampère’sche Gesetz kann als ∮ C ⃗ H ·d⃗r = ∫ A j n dA(= ∑ I) nur in Spezialfällen besonders<br />
einfacher Geometrie angewandt werden (wenn zum Beispiel ⃗ H entlang dem Integrationsweg<br />
konstant ist). Normalerweise benutze man das Biot-Savart’sche Gesetz oder die<br />
48 Vergleiche die Tensoralgebra. [Skript <strong>Physik</strong> AI Anhang C.2 <strong>und</strong> C.4].<br />
49 Es ist ∇ × E ⃗ = 0 damit E ⃗ = −∇V (⃗r) <strong>und</strong> mit ∇ · ⃗E = ρ/ε ◦ erhält man ∆V (⃗r) = −ρ/ε ◦ . Wegen<br />
∇ × B ⃗ = µ ◦<br />
⃗j ≠ 0 ist dieser Weg für B ⃗ nicht möglich.<br />
50 In der Elektrodynamik ist ∇ · ⃗A+ε ∂V ◦ µ ◦ ∂t<br />
= 0 die Lorentz-Eichung. Hier in der Elektro- <strong>und</strong> Magnetostatik<br />
ist dann ∇ · ⃗A = 0. Aus praktischen mathematischen Gründen werden auch andere Eichungen<br />
benutzt.<br />
51 In der Relativitätstheorie ist es zweckmässig das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum durch<br />
den vierdimensionalen Vektor r µ = (ct,x,y,z) zu beschreiben. Analog ist das Viererpotential<br />
A µ = (V/c,A x ,A y ,A z ). Das E- ⃗ <strong>und</strong> B-Feld ⃗ kann dann mit dem elektromagnetischen Feldtensor<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 −E x −E y −E z<br />
F µν = ⎜ E x 0 −B z B y<br />
dargestellt werden.<br />
⎟<br />
⎝ E y B z 0 −B x<br />
⎠<br />
In SI-Einheiten ersetze<br />
E → √ 4πε<br />
E z −B y B x 0<br />
◦ E <strong>und</strong> B → √ 4π/µ ◦ B.<br />
Der Feldtensor zeigt in der Vereinheitlichung des magnetischen <strong>und</strong> elektrischen Feldes zur elektromagnetischen<br />
Wechselwirkung, dass beide Felder verschiedene ”<br />
Ansichten“ der einzigen elektromagnetischen<br />
Wechselwirkung sind.<br />
50
differentielle Form des Ampère’schen Gesetzes ⃗ ∇ × ⃗ H = ⃗j <strong>und</strong> auch ⃗ ∇ · ⃗B = 0 oder auch<br />
das Vektorpotential mit ∆ ⃗ A = −µ ◦<br />
⃗j. (Vgl. auch die Elektrostatik, in der man eher von<br />
der Poissongleichung als vom Gauss’schen Satz ausgeht.)<br />
4.2.1 Das magnetische Feld eines Kreisstromes<br />
Wir berechnen zunächst das magnetische Feld ⃗ H auf der Achse eines Kreistromes 52<br />
mit Gl.(44) zu<br />
dH ⃗ = I d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
,<br />
4π |⃗r − ⃗r l | 3<br />
dabei ist d ⃗ l ⊥ (⃗r − ⃗r l ). Die Beiträge dH ⃗ der einzelnen Leitungselemente d ⃗ l liegen auf einem<br />
Kreiskegel, dessen Achse die Achse des Kreisstromes ist (z-Richtung). Also liegt<br />
das resultierende dH-Feld ⃗ in der z-Richtung. Es ist<br />
z ϑ →<br />
dH<br />
.<br />
dH z = I dl cos ϑ<br />
4π |⃗r − ⃗r<br />
r → l | ; wobei man aus der Skizze sieht,<br />
2<br />
⃗r − ⃗r l<br />
√<br />
dl ϑ dass gilt |⃗r<br />
.<br />
dϕ<br />
l | = r 0 , |⃗r| = z , |⃗r − ⃗r l | = r0 2 + z 2 ,<br />
r o<br />
⃗r l<br />
r 0<br />
cos ϑ = <strong>und</strong> dl = r 0 dϕ. Eingesetzt ergibt dies<br />
I<br />
√r0 2 + z 2<br />
dH z = I<br />
4π<br />
r 2 0 dϕ<br />
(r 2 0 + z 2 ) 3 2<br />
, also H(z) =<br />
∫ 2π<br />
ϕ=0<br />
dH z =<br />
I r 2 0<br />
2 (r 2 0 + z 2 ) 3 2<br />
Für den Mittelpunkt z = 0 der Stromschleife gilt H(0) = I/(2r 0 ) . Für Punkte auf der<br />
z-Achse, die weit von der Stromschleife entfernt liegen, also für z ≫ r 0 , erhalten wir<br />
H(z) = I r2 0<br />
2z 3 = I π r2 0<br />
2π z 3 = I A<br />
2π z 3 ∝ 1 z 3 , (47)<br />
wobei A = π r0 2 die vom Strom eingeschlossene Fläche darstellt.<br />
Wir vergleichen dieses letzte Resultat mit der entsprechenden Feldstärke eines<br />
elektrischen Dipols mit dem Dipolmoment ⃗p = q ⃗ l. Für Punkte auf der<br />
✻<br />
z Symmetrieachse ist<br />
✉−q<br />
◦<br />
✉+q<br />
✻ ⃗ l ✻ E(z)<br />
E(z) =<br />
q 1<br />
(<br />
4π ǫ 0 (z − l − 1<br />
2 )2 (z + l)2) = q 1 1<br />
4π ǫ<br />
2 0 z 2( (1 − l − 1<br />
2z )2 (1 + l )2) 2z<br />
Für z ≫ l benutzen wir die Näherungen<br />
(1 − l<br />
2z )−2 ≈ 1 + l z , (1 + l<br />
2z )−2 ≈ 1 − l z<br />
<strong>und</strong> finden E(z) = q · l<br />
2π ǫ 0 z 3 =<br />
.<br />
p<br />
2π ǫ 0 z 3 ∝ 1 z 3<br />
Der Vergleich mit Gleichung (47) zeigt, dass eine Stromschleife <strong>und</strong> ein elektrischer Dipol<br />
die gleiche Ortsabhängigkeit der Feldstärken haben. Ausführlichere Rechnungen ergeben<br />
ferner, dass dies nicht nur für Punkte auf der Symmetrieachse, sondern für ganz beliebige<br />
52 Dies ist die klassische Berechnung des magnetischen Dipolfeldes eines in einer Bohr’schen Bahn<br />
geb<strong>und</strong>enen Elektrons, das in der Atomphysik zur Feinstrukturaufspaltung führt, der Wechselwirkung<br />
des magnetischen Moments des Spins des Elektrons mit dem Dipolfeld der Bahn (Spin-Bahn-Kopplung).<br />
51
Punkte des Raumes der Fall ist, wenn deren Abstände gross gegen l bezw. r 0 sind. Eine<br />
Stromschleife besitzt somit ein magnetisches Dipolmoment 53<br />
→<br />
m m<br />
I<br />
⃗m m = I ⃗ A . (48)<br />
Da das Vorzeichen des Magnetfeldes eines magnetisches Dipols von der Stromrichtung in<br />
der Stromschleife abhängt, kann man das Diplomoment m m auch als Vektor schreiben.<br />
⃗m m steht senkrecht auf der Kreisstromfläche, seine positive Richtung ist durch die Rechte-<br />
Hand-Regel bestimmt.<br />
Das Nah-Feld eines elektrischen Dipols <strong>und</strong> eines magnetischen Dipols sehen folgendermassen<br />
aus:<br />
Auch ein langes, permanent magnetisiertes<br />
elektrisches Dipolfeld magnetisches Dipolfeld<br />
Stahlstäbchen (z.B. eine Kom-<br />
passnadel) erzeugt in grossen Distanzen<br />
- +<br />
ein H-Feld, ⃗ das äquivalent demje-<br />
nigen eines geeignet gewählten Kreisstromes<br />
ist. Ein solches Stäbchen besitzt<br />
also auch ein magnetisches Dipolmoment.<br />
4.2.2 Das Magnetfeld einer langen Spule (Solenoid)<br />
deren N Windungen dicht nebeneinander liegen <strong>und</strong> deren Länge l gross gegenüber dem<br />
Durchmesser ist. Dann beobachtet man, dass das Feld ausserhalb der Spule sehr schwach<br />
ist im Verhältnis zum Feld im Innern.<br />
A<br />
Für den eingezeichneten, geschlossenen Weg ABCD gilt<br />
B<br />
D<br />
C<br />
∮ ∫B<br />
⃗H · d⃗r =<br />
⃗H · d⃗r +<br />
∫ C<br />
⃗H · d⃗r +<br />
∫ D<br />
⃗H · d⃗r +<br />
∫ A<br />
⃗H · d⃗r =<br />
A<br />
B<br />
C<br />
D<br />
= 0 + 0 + Hl CD + 0 = Hl CD = nI = N l l CD I<br />
Nach dem Ampère’schen Gesetz ist dieses Integral gleich dem durch das Rechteck fliessenden<br />
Strom, das heisst, wenn n = N l l CD die Anzahl Windungen auf der Strecke l CD<br />
ist, dann ist nI der gesamte Strom durch das Rechteck ABCD, <strong>und</strong> somit gilt für das<br />
Feld im Innern einer langen Spule<br />
H = N l I . (49)<br />
Dieses Feld ist unter Vernachlässigung der Randeffekte homogen, es ist nicht vom Ort<br />
abhängig.<br />
4.2.3 Magnetischer Dipol im homogenen Magnetfeld (oder Messung des Erdfeldes<br />
mit einer Kompassnadel)<br />
Wir wollen die Bewegungsgleichung eines magnetischen Dipols, z.B. einer Kompassnadel,<br />
in einem homogenen Magnetfeld herleiten. Auf Gr<strong>und</strong> der Ähnlichkeit zwischen elektri-<br />
53 Der Ausdruck “magnetisches Dipolmoment” ist etwas irreführend, da es sich ja nicht um magnetische<br />
Pole handelt, sondern um eine elektrische Stromschleife, deren Magnetfeldlinien bei grossem Abstand den<br />
gleichen Verlauf zeigen wie die Feldlinien des elektrischen Dipols.<br />
52
schen <strong>und</strong> magnetischen Dipolen denken wir uns die Kompassnadel durch zwei magnetische<br />
“Ladungen” (Polstärken) +p <strong>und</strong> −p ersetzt, welche den Abstand l haben.<br />
B +F +p<br />
Das Dipolmoment ist also ⃗m m = p ⃗ l, wobei ⃗ l von −p nach +p<br />
weist (wie beim elektrischen Dipol). Die resultierende Kraft<br />
eines homogenen Feldes ⃗ B ist Null, das Feld übt aber ein Drehmoment<br />
aus. Bezüglich des Schwerpunktes gilt (Drallsatz)<br />
-p<br />
I s<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 = M = −F · l · sin ϕ = −Bp · l · sin ϕ = −Bm m sin ϕ .<br />
In Vektorform kann das Drehmoment als M ⃗ = ⃗m m × B ⃗ geschrieben<br />
werden. Für kleine Auslenkungen ϕ gilt<br />
-F<br />
√<br />
d 2 ϕ<br />
B<br />
I s<br />
dt = −B m mm<br />
2 m ϕ mit der Lösung ϕ(t) = ϕ 0 cos(ω 0 t − δ) , wobei ω 0 = .<br />
I s<br />
Diese Schwingung kann man dazu benutzen, das Erdmagnetfeld B E zu messen.<br />
I<br />
√<br />
B BE<br />
S<br />
m m<br />
Man misst zuerst die Kreisfrequenz ω 0 = (50)<br />
I s<br />
B E<br />
der Kompassnadel im Erdmagnetfeld B E . Dann überlagert man<br />
N<br />
dem Erdfeld B E das Feld B S = µ 0 I eines Solenoids in der<br />
l<br />
Weise, dass beide Feldstärkevektoren parallel stehen. Jetzt lautet<br />
die Bewegungsgleichung für die Kompassnadel<br />
I s<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 = −(B E + µ 0<br />
N<br />
l I)m m sin ϕ . Für kleine Auslenkungen<br />
√<br />
ist die Bewegung harmonisch mit der Kreisfrequenz ω =<br />
(B N<br />
E + µ 0 I)m l m<br />
. (51)<br />
I s<br />
Aus (50) <strong>und</strong> (51) folgt<br />
( ) ω 2 N<br />
B E + µ 0 I =<br />
l<br />
, also B E = µ 0 N I l<br />
ω 0 B E ( ω ω 0<br />
) 2 − 1 = µ 0 N I l<br />
( T 0<br />
T<br />
) 2 − 1 .<br />
Man misst dabei die Schwingungsdauern T, T 0 <strong>und</strong> für das Zusatzfeld N, l <strong>und</strong> I.<br />
4.2.4 Bestimmung der Masse eines Elektrons<br />
Wenn die Elementarladung e bekannt ist <strong>und</strong> das Verhältnis e/m der Ladung zur Masse<br />
m gemessen wird, kann man daraus m bestimmen. Bewegen sich Elektronen (Ladung −e)<br />
in einem Magnetfeld, so wirkt die Lorentzkraft ⃗ F = −e ⃗v × ⃗ B .<br />
Ist ⃗ B homogen <strong>und</strong> senkrecht auf ⃗v, so bleibt ⃗v ⊥ ⃗ B <strong>und</strong> es ist F = | ⃗ F | = e v B,<br />
53
Elektronenrohre<br />
"<br />
wobei F ⃗ immer senkrecht zu ⃗v steht. Die Bahnkurve ist deshalb<br />
Heizung<br />
- +<br />
V<br />
- x<br />
F<br />
B<br />
v<br />
x<br />
ein Kreis (Radius ρ)<br />
m v 2<br />
ρ<br />
= e v B , also<br />
e<br />
m = v<br />
ρ B . (52)<br />
Werden die Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung V<br />
auf die Geschwindigkeit v gebracht, so ist<br />
√<br />
m<br />
2e V<br />
2 v2 = eV , also v =<br />
m . (53)<br />
Setzt man Gl. (53) in (52) ein, so folgt ( e m )2 = 2e V<br />
m ρ 2 B , also e<br />
2 m = 2 V<br />
ρ 2 B . 2<br />
Ist x die Ablenkung des Elektronenstrahls auf dem Leuchtschirm einer Kathodenstrahlröhre<br />
<strong>und</strong> l der Abstand des Leuchtschirms vom Eintrittsloch, so gilt<br />
(ρ−x) 2 +l 2 = ρ 2 <strong>und</strong> l 2 = x(2ρ−x) bzw. ρ = l2 + x 2<br />
2x<br />
d.h.<br />
e<br />
m =<br />
8 x 2 V<br />
B 2 (l 2 + x 2 ) 2 .<br />
Experimentelle Werte [Phys. Rev. D 50(1994)1233]:<br />
e/m = 1.758 805(5) · 10 11 C/kg, m = 9.109 389 7(54) · 10 −31 kg<br />
Analog erhält man für die Masse eines Protons m P = 1.672 623 1(10) · 10 −27 kg .<br />
Die Gleichung (52) kann auch mit dem Impuls p = mv des Teilchen in MeV/c<br />
(1eV= 1.6 · 10 −19 J) als Merkformel der Teilchenphysiker ausgedrückt werden:<br />
3 ist die aufger<strong>und</strong>ete Zahl der Lichtgeschwindigkeit c.<br />
p · c [MeV] = 3 · B [T] · ρ [cm] (54)<br />
4.2.5 Das Wien-Filter (elektrostatischer Sparator)<br />
Ein geladenes Teilchen (Ladung q) wird mit der Gschwindigkeit ⃗v durch ein gekreuztes<br />
⃗E- <strong>und</strong> B-Feld ⃗ geschickt, so dass sich die Ablenkungen durch das E- ⃗ <strong>und</strong> B-Feld ⃗ gerade<br />
kompensieren, d.h. Teilchen mit der gleichen Geschwindigkeit können gefiltert werden.<br />
Beachte: Die Ablenkung in einem Magnetfeld mit F m = q|(⃗v × B| ⃗ = mv 2 /ρ bestimmt<br />
mit dem Krümmungsradius ρ den Impuls mv = qρB eines Teilchens. Die Ablenkung x<br />
in einem elektrischen Feld mit F e = q| E| ⃗ senkrecht zu v längs l bestimmt die kinetische<br />
1<br />
Energie<br />
2 mv2 = 1<br />
4x qEl2 eines Teilchens.<br />
4.2.6 Der Halleffekt<br />
b − > b + I ⃗E<br />
✚ ❄<br />
✻<br />
−<br />
✛E ⃗ +<br />
− H +<br />
❄<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−✛ ⃗ ✻⃗v −<br />
F L + l<br />
−<br />
+<br />
<br />
−<br />
+<br />
<br />
−<br />
+<br />
❄<br />
−<br />
❄⃗v +<br />
⃗B<br />
+<br />
✠<br />
✓<br />
✛ a ✲✓✴ ✓✼✓ d<br />
❥<br />
✒ V H<br />
Wird ein stromdurchflossenes Metall in ein Magnetfeld ⃗ B gebracht,<br />
so dass ⃗ B senkrecht zur Stromrichtung steht, so bewirkt<br />
die Lorentzkraft F = q v B auf die Leitungselektronen eine<br />
seitliche Verschiebung der Elektronen. Die + <strong>und</strong> − Ladungen<br />
werden bei konventioneller Richtung des Stromes I durch die<br />
Lorentzkraft auf dieselbe Seite des leitenden Metalles abgelenkt.<br />
Beachtet man nur die Elektronen, dann entsteht senkrecht zur<br />
ursprünglichen Elektronenbahn (<strong>und</strong> damit zur Richtung des angelegten<br />
äusseren ⃗ E-Feldes) ein elektrisches Feld E Hall , das so<br />
lange anwächst, bis sich ein Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft<br />
<strong>und</strong> der Kraft des Hall-Feldes E H (analog zur Bedingung<br />
54
des Wien’schen Filters Kap.4.2.5) einstellt: q E H = q v B <strong>und</strong> E H = vB.<br />
Senkrecht zum Strom I kann zwischen den gegenüberliegenden, geladenen Flächen des<br />
Metalles die Hallspannung V H gemessen werden: V H = E H a = v − B a.<br />
Mit der Beweglichkeit b − <strong>und</strong> der Geschwindigkeit ⃗v − = −b −<br />
⃗ E sowie | ⃗ E| =<br />
V<br />
l = IR l<br />
= I<br />
σA<br />
ist<br />
V H = −b − I B<br />
σ · d<br />
<strong>und</strong> für beide Ladungen<br />
V H = b + − b −<br />
σ<br />
· I B d = c · IB d ,<br />
es gibt nur eine Hall-Spannung, wenn b − ≠ b + ist. Die Hall-Konstante c = (b + − b − )/σ<br />
Hall-Konstante [ ]<br />
m kann positive <strong>und</strong> negative Werte annehmen <strong>und</strong> damit zu<br />
2<br />
As<br />
positiven <strong>und</strong> negativen Hall-Spannungen führen. Der Wert<br />
c(Cu)= −5.3 · 10 −11<br />
für Wismut ist abnorm gross. Da V<br />
c(Bi)= −5.0 · 10 −7<br />
H ∝ B/σ ist, können<br />
mit dem Hall-Effekt Magnetfelder oder die Leitfähigkeit σ<br />
c(Cd)= +6.0 · 10 −11 gemessen werden.<br />
1980 entdeckten Klaus von Klitzing 54 , G. Dorda <strong>und</strong> M. Pepper, dass in dünnen praktisch<br />
zweidimensionalen Silizium-MOSFET’s bei hohen Magnetfeldern (≈ 20 T) <strong>und</strong> tiefen<br />
Temperaturen (≈ 1 K) der Hall-Widerstand R H = V H /I = c · B/d als Funktion der<br />
angelegten Spannung (Gatespannung) charakteristische Stufen aufweist, die mit der zweidimensionalen<br />
räumlichen Quantisierung der Elektronendichte erklärt werden können.<br />
Der reziproke Widerstand 1/R H folgt mit 1/B in Stufen genau bei ganzen Zahlen von<br />
h/(e 2 R H ). Mit diesem Quanten-Hall-Effekt konnte mit hoher Genauigkeit die Kombination<br />
der Naturkonstanten h/e 2 oder auch die Feinstrukturkonstante α gemessen werden.<br />
4.2.7 Bewegung eines geladenen Teilchens im Solenoidfeld<br />
x<br />
B → y<br />
x<br />
Einhullende " sin z/2 Die allgemeine Bahnkurve eines geladenen<br />
Quelle=Bild Quelle v z =konst Bild<br />
B →<br />
z<br />
Teilchens in einem homogenen Magnetfeld<br />
ist eine Schraubenlinie (vgl. Praktikumsversuch<br />
e/m). Es ist einfach zu zeigen,<br />
dass ein Solenoidfeld in erster Ordnung<br />
(v z =konst) wie eine Linse für geladene<br />
Teilchen fokussierend wirkt (Fig.).<br />
Mit der Geschwindigkeit des Teilchens ⃗v = (v x ,v y ,v z ), v z =konst <strong>und</strong> v x ,v y ≪ v z variabel,<br />
v ⊥ = √ vx 2 + vx<br />
2 in der x-y-Ebene ist<br />
qv ⊥ B = mv2 ⊥<br />
R<br />
⇒ v ⊥<br />
R = ω C = qB m die Zyklotronfrequenz, T C = 2πR<br />
v ⊥<br />
= 2πm<br />
(qB)<br />
die Umlaufzeit unabhängig von v ⊥ <strong>und</strong> R. Damit werden alle Teilchen in der x-y-Ebene<br />
nach der konstanten Zeit T C im Ursprung dem Bildpunkt bei z = v z T C fokussiert 55 .<br />
Laufende Energieverluste des Teilchens durch Ionisation <strong>und</strong> Anregung im Gas oder<br />
Materie ändern die Schraubenlinie in eine Spirale (siehe Blasenkammeraufnahmen).<br />
54 Klaus von Klitzing Nobelpreis 1985, z.B. <strong>Physik</strong>alische Blätter 41(1985)357 <strong>und</strong> 401.<br />
MOSFET: Metal Oxide Semiconductor Field-Effect Transistor<br />
55 Zur Fokussierung geladener Teilchenstrahlen werden vor allem magnetische Quadrupol- <strong>und</strong> Sextupollinsen<br />
für hochenergetische Teilchen (z.B. PSI, CERN) <strong>und</strong> in der Elektronenmikroskopie [H.Rose et<br />
al. Phys.Blätter 54(1998)411] benutzt.<br />
55
4.3 Gedanken zum ⃗ E- <strong>und</strong> ⃗ B-Feld †<br />
Die Lorentzkraft F ⃗ L = q·(⃗v× B) ⃗ ist proportional zur Geschwindigkeit, die jedoch vom gewählten<br />
Inertialsystem abhängt. Man kann ein Inertialsystem wählen, in dem die Ladung in Ruhe ist. Die<br />
Lorentzkraft verschwindet dann. Es müssen jedoch die physikalischen Gesetze unabhängig vom<br />
Inertialsystem sein. Dieses Problem kann man nach Feynman 56 mit einem Gedankenexperiment<br />
lösen.<br />
Wir betrachten eine Ladung −q, die sich mit der Geschwindigkeit ⃗v ◦ neben einem ungeladenen<br />
Draht (ρ − = ρ + ) bewegt. Im Draht fliesst ein Strom I. Wir nehmen an, die Elektronen im<br />
Draht bewegen sich ebenfalls mit ⃗v ◦ <strong>und</strong> die positiven Ladungen sind in Ruhe.<br />
Laborsystem:<br />
Im Laborsystem ist die Kraft auf −q:<br />
ρ<br />
Leiter +<br />
v + = 0<br />
✛<br />
−q<br />
❡ v✲<br />
◦<br />
✻r<br />
ρ −<br />
✲<br />
v − = v ◦<br />
l<br />
✛<br />
Strom I = ρ − A v ◦ , <strong>und</strong> die Lorentzkraft F L = q v 2 ◦ µ ◦<br />
ρ − A<br />
Bewegtes System:<br />
−q ❡<br />
✻r<br />
✲<br />
I<br />
F L = | ⃗ F L | = q v ◦ B = q v ◦ µ ◦<br />
I<br />
2π r .<br />
Da die positiven <strong>und</strong> negativen Ladungsdichten<br />
gleich sind |ρ + | = |ρ − |, gibt es keine Coulombkraft.<br />
Mit dem Drahtquerschnitt A ist der<br />
2π r = q ρ + A<br />
v2 ◦ µ ◦<br />
2π r .<br />
Im Ruhesystem der Ladung −q gibt es keine<br />
Lorentzkraft, sondern nur elektrische Kräfte.<br />
Die Elektronen <strong>und</strong> die Ladung −q sind in Ruhe.<br />
Die positiven Ladungen bewegen sich mit<br />
⃗v ′ + = −⃗v ◦ nach links.<br />
✛ ρ<br />
Leiter<br />
′ v ′ + ρ ′ − ✛<br />
+ = −v ◦ v − ′ I<br />
= 0<br />
✛ l ′<br />
✲<br />
Wenn −q angezogen werden soll, dann müsste jetzt der Draht geladen sein, um eine Coulombkraft<br />
auszuüben. Die spezielle Relativitätstheorie besagt, dass einem Beobachter die<br />
√<br />
Längsrichtung<br />
eines bewegten Massstabes verkürzt erscheint (= Längenkontraktion): l = l ◦ 1 − v 2 ◦ /c 2 ,<br />
wobei l ◦ = wahre Länge (für einen zum Massstab ruhenden Beobachter) <strong>und</strong> c die Lichtgeschwindigkeit<br />
ist. Damit ändern sich auch die Ladungsdichten:<br />
ρ =<br />
ρ ◦<br />
√<br />
1 − v 2 ◦ /c 2 , ρ′ + =<br />
ρ<br />
√<br />
+<br />
√ <strong>und</strong> ρ ′<br />
1 − v 2 ◦ /c 2 − = ρ − 1 − v◦/c 2 2 (= −ρ +<br />
√1 − v◦/c 2 2 )<br />
Die positiven Ladungen rücken zusammen <strong>und</strong> die Elektronen auseinander. Damit erscheint der<br />
Draht dem bewegten Beobachter als positiv geladen. Die Ladungsdichte ist:<br />
ρ ′ = ρ ′ + − ρ ′ − =<br />
ρ +<br />
√<br />
1 − v 2 ◦ /c − ρ 2 +<br />
√1 − v◦/c 2 2 v<br />
= ρ<br />
◦/c 2 2<br />
+ √<br />
1 − v 2 ◦ /c . 2<br />
Der Draht ist im bewegten System (positiv) geladen <strong>und</strong> zieht die Ladung −q mit der<br />
Coulombkraft Gl. (6) | ⃗ F ′ C| =<br />
q<br />
2π ǫ 0 r<br />
A ρ + v 2 ◦/c 2<br />
√<br />
1 − v 2 ◦ /c 2<br />
an. Da µ ◦ ǫ ◦ = 1/c 2 erhält man ausser der Wurzel dasselbe Resultat wie oben. Auch die Wurzel<br />
verschwindet, wenn man die Kraft richtig transformiert. Für v ◦ ≪ c sind die beiden Gleichungen<br />
gleich.<br />
Die Lorentzkraft ist in diesem Gedankenexperiment ein Effekt der Relativbewegung in einem<br />
Inertialsystem. Magnetische Kräfte können somit durch eine Transformation auf elektrische<br />
56 Lectures Bd I,13-6, Richard Feynman, Nobelpreis 1965, einer der ganz grossen theoretischen <strong>Physik</strong>er,<br />
löste neben vielen theoretischen Problemen wie Feynman Graphen das Problem des flüssigen Heliums <strong>und</strong><br />
das der Sicherheitsschranken im Manhatten Project in Los Alamos “Surely You’re Joking Mr. Feynman”<br />
56
Kräfte zurückgeführt werden. Die elektrischen <strong>und</strong> magnetischen Felder sind Komponenten eines<br />
Phänomens – der elektro-magnetischen Wechselwirkung – von verschiedenen Standpunkten<br />
aus betrachtet (vgl. <strong>Physik</strong> III).<br />
4.4 Permeable Medien<br />
In bisherigen Beispielen berechneten wir mit Hilfe des Ampère’schen Gesetzes aus einem<br />
gegebenen Strom das Magnetfeld ( ⃗ H- oder ⃗ B-Feld) im Vakuum. Was geschieht, wenn wir<br />
den Raum mit Materie ausfüllen? Ähnlich wie ein elektrisches Feld durch die Anwesenheit<br />
polarisierbarer Materie beeinflusst wird, so wird auch ein magnetisches Feld durch<br />
Materie verändert. Im allgemeinen ist Materie magnetisch polarisierbar, man nennt sie<br />
permeabel.<br />
4.4.1 Erfahrungstatsachen<br />
Wird ein stromdurchflossener Leiter in ein unendlich ausgedehntes, permeables Medium<br />
gebracht, so ändert sich die ursprüngliche (d.h. die im Vakuum verhanden gewesene)<br />
magnetische Induktion ⃗ B V ak. . In einem permeablen Medium ist<br />
⃗B perm. = µ ⃗ B V ak. = µ µ 0<br />
⃗ H .<br />
µ ist eine Materialgrösse, die Permeabilität des Mediums. ⃗ H erhält man gemäss Biot-<br />
Savart’schem Gesetz (Gleichung (44)) aus dem Strom I im Leiter:<br />
⃗H = I<br />
4π<br />
∫<br />
Leiter<br />
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )<br />
|⃗r − ⃗r l | 3 .<br />
Es gibt Materialen mit 0 < µ < 1. Solche Materialien nennt man diamagnetisch.<br />
Beispiele sind Cu, Bi, He, Xe, Ne, H 2 , N 2 , H 2 O, bei ihnen ist also das B-Feld im Medium<br />
kleiner als dasjenige im Vakuum.<br />
Wenn konst= µ > 1 ist, so nennt man das Material paramagnetisch. Beispiele<br />
sind O 2 , FeCl 3 , CuSO 4 , Al. Bei solchen Materialien ist das B-Feld im Medium grösser als<br />
dasjenige im Vakuum.<br />
Bei gewissen Materialien schliesslich ist ebenfalls µ > 1, aber µ ist eine nicht-eindeutige<br />
Funktion des H-Feldes. Solche Materialien nennt man Ferromagnetika. Beispiele sind<br />
Eisen, Nickel, Kobalt (vgl. Kap. 4.4.3).<br />
4.4.2 Magnetisierung <strong>und</strong> magnetische Suszeptibilität †<br />
Die atomare Erklärung der Permeabilität ist analog zum Fall der Dielektrika, wobei hier<br />
anstelle von Ladungen Kreisströme <strong>und</strong> anstelle von elektrischen magnetische Dipolmomente<br />
Gl.(48) auftreten. Molekulare Kreiströme werden von Elektronen erzeugt, die in den<br />
Atomen um den positiven Kern “kreisen”. Ferner haben Elektronen einen “Spin”, einen<br />
Eigendrehimpuls, den man sich als Drehung um die eigene Achse vorstellen kann; damit<br />
haben sie als geladenen Teilchen auch ein magnetisches Dipolmoment 57 . Wiederum haben<br />
wir es mit einem winzigen Strom zu tun. Beide Arten von elementaren Strömen erzeugen<br />
57 Diese klassische Vorstellung ist falsch, da ein “punktförmiges” sich drehendes Elektron keinen Kreisstrom<br />
darstellen kann; das magnetische Moment des Elektrons ist nur quantenmechanisch verständlich.<br />
57
auf Gr<strong>und</strong> unserer Betrachtungen im Kap. 4.2.1 ein magnetisches Moment ⃗m m . Alle einzelnen<br />
Atome mit einer ungeraden Zahl von Elektronen, wie z.B. 11 Na oder 83 Bi, haben<br />
damit ein permanentes magnetisches Dipolmoment. In einem Molekül oder Festkörper<br />
kompensieren sich jedoch die magnetischen Momente der Valenzelektronen benachbarter<br />
Atome. Dies sind, zusammen mit Atomen, die abgeschlossene Schalen <strong>und</strong> kein permanentes<br />
magnetisches Dipolmoment haben, die diamagnetischen Stoffe. Atome mit nicht<br />
abgeschlossenen inneren Schalen, wie die Übergangselemente Cr–Ni, Pt oder die seltenen<br />
Erden, behalten dagegen im Festkörper ihr permanentes magnetisches Dipolmoment. Dies<br />
sind die paramagnetischen Materialien.<br />
In beiden Materialien erzeugt ein äusseres Magnetfeld durch Induktion (siehe Kapitel<br />
5.1) einen kleinen zuätzlichen Strom (Stromschleife), dessen Magnetfeld dem äusseren<br />
Feld entgegengesetzt ist, was zu einer Abnahme des Feldes führt. Bei Diamagneten tritt<br />
dieser Fall rein zu Tage. Bei Paramagneten dagegen geschieht folgendes: Ohne äusseres<br />
Magnetfeld ist die Verteilung der atomaren magnetischen Dipolmomente infolge der<br />
Wärmebewegung der Atome völlig ungeordnet. Die Vektorsumme ∑ i ⃗m mi der einzelnen<br />
Momente verschwindet. Wird ein äusseres Feld angelegt, so übt es ein Drehmoment auf<br />
die atomaren Momente aus (vgl. Kapitel 4.2.3), so dass diese ausgerichtet werden. Da<br />
dem Ausrichten die thermische Bewegung entgegen wirkt, ist die Permeabilität paramagnetischer<br />
Stoffe temperaturabhängig. Bei ganz tiefen Temperaturen sieht man den<br />
überlagerten diamagnetischen Effekt. 58<br />
Ob wir nun ein Material haben, dessen Moleküle permanente magnetische Dipolmomente<br />
haben, oder ein Material, in dem Kreisströme mit den dazugehörigen Dipolmomenten<br />
induziert werden, so entsteht in beiden Fällen eine makroskopische Magnetisierung ⃗ M,<br />
die wir als die mittlere Vektorsumme der Dipolmomente pro Volumeneinheit definieren:<br />
⃗M = n ⃗m m<br />
A<br />
m. m . . . . n. .<br />
Dabei ist n die Zahl der Dipolmomente pro Volumeneinheit. Da gemäss Gleichung (48)<br />
⃗m m die Einheiten A·m 2 hat, wird also die Magnetisierung ⃗ M in A/m gemessen, das heisst<br />
in den gleichen Einheiten wie das ⃗ H-Feld. Damit wird deutlich, dass die Magnetisierung<br />
das von den Molekularströmen erzeugte Magnetfeld (H-Feld) ist.<br />
Kennt man also das Magnetfeld ⃗ H in einem permeablen Medium, so muss man, um die<br />
wirklich vorhandene magnetische Induktion ⃗ B zu erhalten, zum ⃗ H-Feld die im Medium<br />
erzeugte Magnetisierung ⃗ M dazu addieren:<br />
⃗B = µ 0 · ( ⃗ H + ⃗ M) . (55)<br />
Eine resultierende Magnetisierung M ⃗ kommt nur zustande, wenn durch eine Induktion<br />
eines äusseren Feldes die Elementarmagnete ausgerichtet werden. Also liegt es nahe, eine<br />
magnetische Suszeptibilität χ m durch die Gleichung<br />
⃗M = χ m<br />
⃗ H (56)<br />
einzuführen 59 . χ m ist eine vom Material abhängige, dimensionslose Zahl 60 .<br />
58 Vorsicht: Diamagnetismus <strong>und</strong> Paramagnetismus sind quantenmechanische Phänomene, die wir hier<br />
mit klassischer Mechanik nur unzulänglich erklären können.<br />
59 Dieser Gleichung entspricht im elektrischen Falle die Gleichung ⃗ P = χ e ǫ 0<br />
⃗ E =<br />
χ e<br />
ǫ<br />
⃗ D.<br />
60 Bei Kristallen kann es allerdings vorkommen, dass ⃗ M nicht mehr parallel zu ⃗ H steht. χ m ist dann<br />
ein Tensor (dh. eine 3×3-Matrix).<br />
58
Schliesslich verknüpfen wir die Gleichungen (55) <strong>und</strong> (56) <strong>und</strong> erhalten<br />
⃗B = µ 0 · ( ⃗ H + χ m<br />
⃗ H) = µ0 · (1 + χ m ) ⃗ H .<br />
Setzt man die Permeabilität µ = 1 + χ m , so erhält man ⃗ B = µ0 µ ⃗ H , was wir<br />
oben als Erfahrungstatsache hingestellt hatten.<br />
4.4.3 Die magnetischen Substanzen<br />
Diamagnetische Stoffe<br />
diamagnetische<br />
Stoffe χ m<br />
H 2 , gasförmig -2.3 ·10 −9<br />
H 2 , flüssig -1.8 ·10 −6<br />
H 2 O, gasförmig -0.98 ·10 −9<br />
H 2 O, flüssig -8 ·10 −6<br />
Benzol -8 ·10 −6<br />
Wismut, fest -168 ·10 −6<br />
Gold -29 ·10 −6<br />
Kupfer -10 ·10 −6<br />
Für diese ist µ < 1, das heisst χ m < 0,<br />
sie haben kein permanentes Dipolmoment.<br />
Die induzierten Kreisströme erzeugen eine<br />
Magnetisierung, die dem äusseren ⃗ H-<br />
Feld entgegengesetzt steht. Dieser Effekt<br />
tritt in allen Substanzen auf. Da er jedoch<br />
schwach ist, wird er bei Para- <strong>und</strong> Ferromagneten<br />
überdeckt.<br />
χ m hängt nicht von der Temperatur ab.<br />
Paramagnetische Stoffe<br />
paramagnetische<br />
Stoffe<br />
χ m<br />
O 2 , gasförmig 1.9 ·10 −6<br />
O 2 , flüssig 3400 ·10 −6<br />
Luft 0.37 ·10 −6<br />
FeCl 3 , fest 3758 ·10 −6<br />
CuSO 4 , fest 388 ·10 −6<br />
Chrom 324 ·10 −6<br />
Aluminium 20 ·10 −6<br />
Zinn<br />
2 ·10 −6<br />
Für diese ist µ > 1, also χ m > 0. Diese<br />
Materialien haben ein permanentes magnetisches<br />
Dipolmoment. Die Suszeptibilität<br />
nimmt mit der Temperatur ab χ m ∝ 1 : T<br />
Mit den Boltzmann-Verteilungen für die Einstellung<br />
des Dipolmomentes ⃗m ↑↑ B ⃗ <strong>und</strong> ⃗m ↑↓ B ⃗<br />
ist die Magnetisierung<br />
M = m m<br />
n<br />
3<br />
(<br />
e mmB/kT − e −mmB/kT ) ≃ m 2 m 2nB<br />
3kT<br />
Ferromagnetische Stoffe Bei ihnen ist µ nicht mehr konstant. In sogenannten “magnetisch<br />
weichen” Stoffen ist µ eine Funktion des Magnetfeldes:<br />
B = µ 0 µ(H) H .<br />
In magnetisch harten Stoffen (Permanentmagnete) kann die Magnetisierung unabhängig<br />
von H sein, also auch ohne äusseres Magnetfeld existieren. Ferromagnete zeigen also<br />
eine Ordnung, die durch eine sehr starke Wechselwirkung zwischen den permanenten<br />
Dipolmomenten dieser Substanzen zustande kommt.<br />
Das ferromagnetische Material ist nicht einheitlich magnetisiert, sonden besteht aus<br />
Weiss’schen Domänen 61 , in denen alle atomaren Dipolmomente vollkommen geordnet<br />
61 P. Weiss, 1907. Die Strukturen der Weiss’schen Domänen können mit verschiedenen Methoden sichtbar<br />
gemacht werden:<br />
Magnetpulver (Teilchen von 10 −5 − 10 −6 cm in Suspension) richtet sich im thermischen Gleichgewicht<br />
auf der polierten <strong>und</strong> ausgeglühten Oberfläche aus.<br />
Beim magnetooptischen Kerr-Effekt wird die Polarisationsrichtung des reflektierten Lichtes gedreht<br />
<strong>und</strong> damit werden Weiss’sche Bezirke im Analysator sichtbar.<br />
Der Faraday-Effekt dreht die Polarisationsrichtung bei Durchstrahlung im Magnetfeld [Kap.??].<br />
59
sind. Jeder dieser Bezirke hat eine wohldefinierte Magnetisierung M. ⃗ Die Magnetisierungsvektoren<br />
der einzelnen Domänen sind nicht notwendigerweise parallel, die gesamte<br />
Magnetisierung der Probe kann also bei Abwesenheit eines äusseren Feldes Null sein. In<br />
einem äusseren Feld wird die Magnetisierung dieser Bezirke geordnet. Beim Einschalten<br />
eines äusseren Feldes wird sie sprunghaft ausgerichtet (mit Induktion Gl.(60) hörbarer<br />
Barkhausen-Effekt). Beim Ausschalten des äusseren Magnetfeldes bleibt im allgemeinen<br />
eine Restmagnetisierung M R (Remanenz) übrig. Erst durch Anlegen eines Gegenfeldes,<br />
des sogenannten Koerzitivfeldes H C , kann die Magnetisierung zu Null gebracht werden.<br />
Dieses Zurückbleiben der Magnetisierung gegenüber der Feldstärke nennt man Hysterese<br />
(“Nachwirkung”). Bei grossem H wird Sättigung erreicht B ≈ µ ◦ H.<br />
Die Hysteresisschleife B = µµ ◦ H kann mit einem Oszillographen gemessen werden:<br />
B(H)<br />
Remanenz<br />
M R µ=µ(H) A<br />
B≈µ o H<br />
Sattigung<br />
"<br />
µοµΗ<br />
H<br />
H C<br />
Hysteresisschleife<br />
N 1 , l 1 N 2<br />
VH<br />
I o sinωt<br />
R1<br />
H<br />
R2<br />
C<br />
VV<br />
horizontal Ablenkung<br />
V H ∝ I(t) ∝ H(t) = I(t)N 1 /l 1<br />
vertikal Ablenkung<br />
V V ∝ B(H) = ∫ dB<br />
dt dt<br />
integriert mit dem Kondensator<br />
C mit der Integrationszeit<br />
τ = R 2 C ≈ 1s.<br />
1<br />
0<br />
M S (T)/M S (0)<br />
T C<br />
T [K]<br />
1/χ m<br />
5⋅10 3<br />
ferromagnetische<br />
Stoffe µ max<br />
Nickel 2500<br />
Kobalt 200<br />
Eisen 680<br />
Permalloy 10 5<br />
(78% Ni, 21.5%Fe)<br />
Stoff T C [ ◦ C]<br />
Fe 770<br />
Co 1115<br />
Ni 354<br />
Gd 20<br />
MnAs 45<br />
EuO -196<br />
Oberhalb der Curie-Temperatur T C verschwindet der Ferromagnetismus <strong>und</strong> geht in den<br />
Paramagnetismus mit T ∝ 1/χ m über.<br />
4.4.4 Die Energie eines magnetische Dipols im ⃗ B-Feld<br />
Dia- <strong>und</strong> paramagnetische Stoffe können durch die auf sie ausgeübte Kraftwirkungen<br />
in inhomogenen magnetischen Feldern unterschieden werden. Mit Gl. (32) hatte wir die<br />
potentielle Energie W d = −⃗p · ⃗E eines elektrischen Dipols im elektrischen Feld dargestellt.<br />
die entsprechende Formel für einen magnetischen Dipol ⃗m m eines Elektrons im Atom<br />
lautet<br />
W m = −⃗m m · ⃗B potentielle Energie eines<br />
magnetischen Dipols<br />
Ein magnetisierter Stoff wird sich im Magnetfeld so orientieren, dass seine potentielle<br />
Energie minimal wird.<br />
Bei diamagnetischen Stoffen ohne ein permanentes sondern nur mit einem induziertes<br />
magnetisches Dipolmoment ist ⃗m m ↑↓ ⃗ B, das heisst W m = m m B. W m ist also minimal,<br />
wenn B minimal ist. Das bedeutet, dass eine diamagnetische Kugel aus dem Feld herausgestossen<br />
wird. Diamagnetismus ist temperaturunabhängig.<br />
Bei einer paramagnetischen Substanz ist mit einem permanenten magnetischen Dipolmoment<br />
⃗m m ↑↑ ⃗ B, das heisst W m = −m m B. Deshalb ist W m minimal, wenn B maximal<br />
ist. Eine paramagnetische Kugel wird also an den Ort grösster Feldstärke gezogen. Die<br />
60
thermische Bewegung wirkt gegen die Paralleleinstellung des Dipolmomentes im B-Feld,<br />
die Magnetisierung ist daher temperaturabhängig mit einem schwachen diamagnetischen<br />
Effekt.<br />
Aus demselben Gr<strong>und</strong> richtet sich eine<br />
paramagnetische Nadel parallel zum Feld<br />
aus, eine diamagnetische Nadel dagegen<br />
senkrecht zum Feld.<br />
paramagnetische Nadel diamagnetische Nadel<br />
4.4.5 Vergleich von Medien im elektrischen <strong>und</strong> magnetischen Feld<br />
Dielektrische Medien<br />
Permeable Medien<br />
⃗D = ǫ ◦E ⃗ + P ⃗<br />
⃗P: el. Dipolmoment/Vol<br />
Polarisierung<br />
⃗P = χ e ǫ ◦E<br />
⃗<br />
⃗D = ǫǫ ◦E<br />
⃗<br />
B ⃗ = µ◦H ⃗ + µ◦M<br />
⃗<br />
M: ⃗ mag. Dipolmoment/Vol<br />
Magnetisierung<br />
M ⃗ = χmH<br />
⃗<br />
B ⃗ = µµ◦H<br />
⃗<br />
a) nichtpolare Moleküle a) Diamagnetismus<br />
⃗E induziert elektrischen Dipol H ⃗ erzeugte atomaren Kreisstrom<br />
+q ❥+ ✻∆<br />
−q - ❥ ⃗ l ⃗p = q∆ ⃗ l<br />
✲i<br />
♠ ⃗m m = iA ⃗ magnetischer Dipol<br />
b) polare Moleküle b) Paramagnetismus<br />
⃗E richtet atomare el. Dipole im Feld aus H ⃗ richtet atomare mag. Dipole im Feld aus<br />
temperaturabhängig<br />
temperaturabhängig<br />
c) Ferroelektrika c) Ferromagnetika<br />
⃗D, E ⃗ kein linearer Zusammenhang B, ⃗ H ⃗ kein linearer Zusammenhang<br />
Energiedichte w = 1 2 ⃗ E ⃗ D = 1 2 ǫǫ ◦E 2 w = 1 2 ⃗ H ⃗ B = 1 2 µµ ◦H 2 siehe Kap. 5.2.10<br />
Energie des Dipols im Feld W = −⃗p ⃗ E W = −⃗m m<br />
⃗ B<br />
4.4.6 ⃗ B- <strong>und</strong> ⃗ H-Felder an Grenzflächen<br />
An Grenzflächen permeabler Medien gelten ähnliche Gesetze für das Verhalten von B- ⃗<br />
<strong>und</strong> H-Feldern ⃗ wie für elektrische Felder.<br />
µ H 1<br />
1t<br />
∮<br />
Wenn keine Ströme fliessen, ist C H ⃗ · d⃗r = 0 .<br />
µ 2 Auf die gezeichnete Kurve angewandt ist (analog Kap. 2.7.2)<br />
H 2t<br />
B 1n<br />
µ 1<br />
µ 2<br />
B 2n<br />
H 1t = H 2t , das heisst B 1t<br />
µ 1<br />
= B 2t<br />
µ 2<br />
. Aus<br />
folgt B 1n = B 2n , das heisst H 1n µ 1 = H 2n µ 2 .<br />
∮<br />
A<br />
⃗B · d ⃗ A = 0<br />
4.4.7 Elektromagnete <strong>und</strong> Permanentmagnete<br />
Elektromagnete<br />
61
D<br />
I<br />
r<br />
Wir gehen schrittweise vor.<br />
1. Eine Spule mit der Länge l, dem Durchmesser D <strong>und</strong> der Windungszahl<br />
N befinde sich im Vakuum <strong>und</strong> werde zu einem Torus vom Radius r<br />
geformt. Das Magnetfeld ist dabei nur im Innern der Spule eingeschlossen<br />
verschieden von Null. Für D ≪ r gilt nach Gl.(49)<br />
I H = N l I ; d.h. B = µ 0<br />
N<br />
l I .<br />
2. Wird die torusförmige Spule vollständig mit einem Kern aus weichem<br />
Eisen gefüllt, so ist<br />
I<br />
d<br />
H = N l I ; B = µ µ 0<br />
N<br />
l I .<br />
3. Wird der Luftspalt der Breite d aus dem Eisenkern herausgeschnitten,<br />
so folgt nach dem Ampère’schen Gesetz mit der Näherung, dass H i (das<br />
Feld im Innern) über den ganzen Torus konstant ist (keine Streufelder):<br />
H i (l − d) + H 0 d ≈ N I . Da die Normalkomponente des ⃗ B-Feldes stetig<br />
ist [Kap.4.4.6], gilt B i = B 0 , also<br />
µ µ 0 H i = µ 0 H 0 , das heisst H i = H 0<br />
µ . Eingesetzt ergibt dies: H 0<br />
µ (l − d) + H 0 d = N I .<br />
Die Feldstärken im Luftspalt sind somit H 0 =<br />
µ N I<br />
l + d(µ − 1)<br />
<strong>und</strong> B 0 = µ µ 0 N I<br />
l + d (µ − 1) .<br />
Ist µ genügend gross, so dass dµ ≫ l, so gilt näherungsweise B 0 ≈ µ 0 N<br />
I .<br />
d<br />
Die äussere Spule trägt praktisch nur zum Feld im Luftspalt bei <strong>und</strong> verstärkt damit das<br />
Feld ohne Eisenkern um den Faktor l/d.<br />
Permanentmagnete<br />
∮<br />
M<br />
Da keine Ströme fliessen, ist ⃗H · d⃗r = 0 . (57)<br />
d<br />
M R<br />
H i<br />
H 0<br />
H<br />
1. In einem geschlossenen Torus ist also H i = 0 <strong>und</strong><br />
die Magnetisierung besteht nur aus der Remanenzmagnetisierung<br />
M R .<br />
2. Hat der Torus einen Luftspalt der Grösse d, so folgt<br />
aus Gl. (57) H i (l − d) + H 0 d = 0 . (58)<br />
Man beachte: Für d ≪ l müssen H i <strong>und</strong> H 0 verschiedene Vorzeichen<br />
haben. Andrerseits gilt an der Grenzfläche (Kap.4.4.6)<br />
B 0 = µ 0 H 0 = B i = µ 0 (H i + M i ) .<br />
B<br />
B i<br />
0<br />
Zusammen mit Gl. (58) wird dann<br />
C<br />
d<br />
µ 0 (H i + M i (H i )) = −µ 0 H i<br />
l − d<br />
d<br />
.<br />
62
M<br />
M i<br />
Also wird M i = − l d H i <strong>und</strong> tanα = − M i<br />
H i<br />
= l d ,<br />
H i<br />
α<br />
H<br />
<strong>und</strong> somit B 0 = µ 0 (H i + M i ) = −µ 0 H i ( l d − 1) .<br />
H i ist negativ, es wirkt also entmagnetisierend.<br />
63
5 Elektrodynamik<br />
In den vorhergehenden Kapiteln haben wir elektrische <strong>und</strong> magnetische Felder mehr oder<br />
weniger getrennt behandelt. Insbesondere waren diese Felder zeitlich konstant. Dass jedoch<br />
eine Verknüpfung beider Felder besteht, haben wir schon gesehen. Ein elektrischer Strom,<br />
der seinerseits durch ein elektrisches Feld erzeugt wird, erzeugt ein magnetisches Feld. Es<br />
erhebt sich sofort die Frage, ob die Umkehrung dieses Sachverhaltes auch gilt, das heisst,<br />
ob ein Magnetfeld unter Umständen auch ein elektrisches Feld erzeugen kann. Diese Frage<br />
wird in Kap. 5.1 <strong>und</strong> 5.2 behandelt.<br />
Ferner werden wir uns in Kap. 5.3 fragen müssen, welche neuen Erscheinungen sich<br />
ergeben, wenn elektrische <strong>und</strong> magnetische Felder zeitlich variabel sind.<br />
Probleme dieser Art untersuchte zuerst Faraday 62 (1831). Diese Untersuchungen wurden<br />
vollendet mit der Theorie des Elektromagnetismus durch Maxwell (1873), in welcher<br />
magnetische <strong>und</strong> elektrische Felder miteinander verflochten sind. Die vollständigen Maxwell’schen<br />
Gleichungen werden im Kapitel 5.4 besprochen.<br />
5.1 Das Faraday’sche Induktionsgesetz<br />
5.1.1 Gr<strong>und</strong>versuche<br />
Wir diskutieren zwei Gr<strong>und</strong>versuche.<br />
1. Man betrachte eine rechteckige, geschlossene Leiterschleife der Fläche A = l x, wobei<br />
l die Länge einer beweglichen Seite sein soll. Befindet sich diese Schleife in einem<br />
homogenen, zeitlich konstanten ⃗ B-Feld, das senkrecht zur Ebene der Schleife steht, <strong>und</strong><br />
⃗B ✻✄ <br />
✁ R<br />
✁ ✁ ✁ ✁<br />
✁<br />
✁✕✁<br />
✁✁<br />
✲⃗v<br />
l<br />
✁<br />
✁<br />
✁☛<br />
✁<br />
⃗F<br />
✁ ✲dl ✁✁✁☛<br />
✁❡✁<br />
◦ ✲ x<br />
wird die bewegliche Seite l mit der Geschwindigkeit ⃗v (⃗v ⊥ ⃗ B)<br />
verschoben, so erfährt eine Ladung q in diesem Leiterstück eine<br />
Lorentzkraft tangential zur beweglichen Seite [vgl. Hall-Effekt<br />
Kap.4.2.6]:<br />
⃗F = q (⃗v × ⃗ B) .<br />
Ein auf diesem Leiter mitbewegter Beobachter schreibt die Ursache dieser Kraft, da für<br />
ihn q in Ruhe ist, einem induzierten elektrischen Feld zu mit der Kraft<br />
⃗F = q ⃗ E ind <strong>und</strong> aus einem Vergleich ⃗ Eind = ⃗v × ⃗ B (elementarer Generator).<br />
Bildet man nun das Linienintegral von ⃗ E ind längs der geschlossenen Schleife, wobei die<br />
Integrationsrichtung zusammen mit der ⃗ B-Richtung eine Rechtsschraube ergibt, so gilt<br />
∮<br />
⃗Eind · d ⃗ ∫ l<br />
l = − E ind dl = −E ind l = −v l B .<br />
0<br />
Das Linienintegral ist nicht mehr Null. Das Feld ⃗ E ind ist also ein nicht-konservatives Feld,<br />
d.h. ⃗ E ind ≠ ∇V ind kann nicht durch den Gradienten eines skalaren Potentials dargestellt<br />
werden.<br />
62 Faraday (1791-1867) wurde in England als eines von 10 Kindern eines Schmids geboren. Er machte<br />
eine Lehre als Buchbinder. Dabei las er jeweils die zu bindenden Bücher. Später bat er darum, als Gehilfe<br />
im Labor für Elektrochemie bei Davy arbeiten zu können. 1833 wurde er Professor. In der Chemie<br />
enteckte er das Benzol (1825) <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>gesetze der Elektrochemie. Seine Verdienste in der <strong>Physik</strong> sind:<br />
Faraday’sche Konstante, Induktionsgesetz, in der Optik die Faraday’sche Drehung der Polarisationsebene<br />
von Licht, unipolarer Generator.<br />
64
Das Produkt vl kann durch die Änderung der Fläche A = lx ausgedrückt werden.<br />
dA<br />
Es ist<br />
dt = l dx<br />
dt = l v .<br />
∮<br />
Also wird ⃗Eind · d ⃗ l = −v l B = − dA<br />
dt B = − d (A B) = −dΦ<br />
dt dt .<br />
∫ ∫<br />
Dabei ist die Grösse Φ = B n dA = ⃗B·d A ⃗ der Feldfluss von B ⃗ durch die Fläche A.<br />
A<br />
A<br />
Da in unserem Fall ⃗ B konstant ist <strong>und</strong> senkrecht auf A steht, folgt Φ = A B.<br />
Obwohl das ⃗ E ind -Feld ein nicht-konservatives Feld ist, hält es wie das ⃗ E-Feld einen<br />
Strom aufrecht <strong>und</strong> es hat das Linienintegral ∮ ⃗ Eind · d ⃗ l die Bedeutung einer elektromotorischen<br />
Kraft (EMK), die wir mit V m,ind bezeichnen 63 . Es gilt<br />
∮<br />
.<br />
V m,ind = ⃗Eind · d ⃗ l = − dΦ<br />
dt . (59)<br />
Die induzierte EMK ihrerseits erzeugt in der Leiterschleife (Widerstand R) einen Strom<br />
R<br />
I ind = + V m,ind<br />
R<br />
= − 1 R<br />
dΦ<br />
dt .<br />
Das Ergebnis von Gleichung (59) ist aus der Argumentation der Lorentzkraft abgeleitet,<br />
das heisst es ist kein neues unabhängiges Gesetz. Es stellt sich nun die Frage, was passiert,<br />
wenn die Fläche A konstant bleibt <strong>und</strong> das Magnetfeld ⃗ B variiert wird? - Diese Frage<br />
wurde von Faraday untersucht <strong>und</strong> stellt unseren zweiten Gr<strong>und</strong>versuch dar.<br />
2. Bei der gleichen Anordnung wie oben wird nun die Leiterschleife festgehalten <strong>und</strong><br />
dafür das Magnetfeld zeitlich variiert, so dass eine Flussänderung in A auftritt. Dann<br />
wird ebenfalls ein Strom induziert, für den man experimentell wieder das Resultat<br />
I ind = − 1 dΦ<br />
dΦ<br />
. findet, allerdings ist jetzt<br />
R dt dt = A dB<br />
dt .<br />
Dieses Ergebnis können wir nicht mit den gleichen Argumenten herleiten wie im ersten<br />
Gr<strong>und</strong>versuch! Es ist also ein neues Gesetz. Es war Faradays Entdeckung, dass die EMK<br />
wieder durch die Flussänderung gegeben ist, egal ob der Fluss Φ über dA/dt oder dB/dt<br />
geändert wird.<br />
Allgemein ist die Kraft auf eine Ladung F ⃗ = q ( E+⃗v× ⃗ B); ⃗ es gibt keine spezielle Kraft<br />
infolge der B-Änderung. ⃗ Nach Faradays Beobachtung muss eine Beziehung zwischen dem<br />
⃗E-Feld <strong>und</strong> der Änderung des B-Feldes ⃗ bestehen: ein zeitlich variables Magnetfeld erzeugt<br />
ein elektrisches Feld. Dieses E-Feld ⃗ ist nicht-konservativ.<br />
5.1.2 Das Induktionsgesetz<br />
Gestützt auf weiteres Tatsachenmaterial lassen sich die aus den beiden Gr<strong>und</strong>versuchen<br />
→<br />
B n<br />
gef<strong>und</strong>enen Ergebnisse verallgemeinern. Ist B(⃗r,t) ⃗ ein beliebiges<br />
Magnetfeld <strong>und</strong> wird eine geschlossene Kurve C betrach-<br />
B →<br />
A<br />
tet, welche die Fläche A umrandet, so ist der Fluss von B ⃗<br />
dA →<br />
∫ ∫<br />
C<br />
→<br />
E ind<br />
dr →<br />
durch A definiert als Feldfluss Φ . =<br />
A<br />
B n dA =<br />
A<br />
⃗B · d ⃗ A .<br />
63 V m,ind hat zwar die Dimension eines skalaren Potentials, es ist aber keines!<br />
65
Zwischen dem längs C induzierten elektrischen Feld ⃗ E ind , resp. der induzierten EMK, <strong>und</strong><br />
der zeitlichen Änderung des Flusses besteht der quantitative Zusammenhang<br />
V m,ind<br />
. =<br />
∮<br />
⃗Eind · d⃗r = − dΦ<br />
dt<br />
Faradaysches<br />
Induktionsgesetz<br />
(60)<br />
Zu beachten ist, dass sich der Fluss auf ganz beliebige Art ändern kann: entweder durch<br />
zeitliche Änderung von ⃗ B bei fester Kurve C, oder Form- <strong>und</strong> Lageänderung der Kurve<br />
C bei konstantem ⃗ B, oder beides zusammen. Ferner ist die Flussänderung unabhängig<br />
von der speziellen Form der Fläche (bei vorgegebener Berandung C), da der Fluss eines<br />
⃗B-Feldes durch eine geschlossene Fläche auch dann verschwindet, wenn ⃗ B eine Funktion<br />
der Zeit ist.<br />
Leiter<br />
Wird in die Kurve C ein geschlossener Leiter mit Widerstand R gelegt, so entsteht ein<br />
I ind<br />
→<br />
B n<br />
R<br />
dA →<br />
B →<br />
→ dr →<br />
E ind<br />
induzierter Strom I ind = − 1 R<br />
dΦ<br />
dt = V m,ind<br />
R .<br />
Der induzierte Strom hat eine Richtung, so dass das durch<br />
ihn erzeugte, zusätzliche B-Feld die Änderung des Feldflusses<br />
zu hemmen sucht. Dies ist die Lenz’sche Regel 64 .<br />
Sie folgt aus dem Gesetz der Erhaltung der Energie. Denn der induzierte Strom stellt<br />
einen Energievorrat dar, der aus der mechanischen Energie gewonnen werden muss, die<br />
zur Änderung von Φ notwendig ist.<br />
Das Faraday’sche Induktionsgesetz lässt sich auch in differentieller Form schreiben<br />
[vgl. Gl. (45)]. Dazu wendet man es auf eine rechteckige, geschlossene Kurve C mit den<br />
z<br />
x<br />
→<br />
E x (y)<br />
y<br />
→<br />
xyz<br />
dy<br />
E y (x+dx)<br />
→<br />
B z →<br />
E y (x)<br />
dx<br />
→<br />
E x (y+dy)<br />
Seitenlängen dx <strong>und</strong> dy an. Ist ⃗ B zeitlich variable, so gilt<br />
(E y (x + dx) − E y (x))dy + (E x (y) − E x (y + dy))dx<br />
= − ∂B z<br />
∂t<br />
dxdy . Also gilt<br />
∂E<br />
y<br />
∂x − ∂E x<br />
∂y = −∂B z<br />
∂t<br />
.<br />
Und analog erhält man<br />
∂E z<br />
∂y − ∂E y<br />
∂z = −∂B x<br />
∂t<br />
<strong>und</strong><br />
∂E x<br />
∂z − ∂E z<br />
∂x = −∂B y<br />
∂t<br />
,<br />
zusammengefasst also<br />
rot ⃗ E = ⃗ ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B<br />
∂t<br />
Faraday’sches Gesetz<br />
=3. Maxwell Gl.<br />
Das induzierte Feld ist ein Wirbelfeld, es besitzt kein skalares Potential.<br />
Die differentielle Form des Faraday’schen Induktions-Gesetzes stammt von Maxwell.<br />
Sie besagt: “Zeitlich veränderliche ⃗ B-Felder erzeugen ⃗ E-Felder”. Umgekehrt kann man aus<br />
der differentiellen Form des Faradayschen Gesetzes mittels des Satzes von Gauss [Gl. (24)]<br />
wieder das Faradaysche Gesetz in Integralform herleiten, allerdings muss die Kurve C im<br />
Raum fest sein. Also erhalten wir aus dem differentiellen Gesetz das Integralgesetz im Falle<br />
nicht beweglicher Leiter. Anderseits konnten wir für bewegliche Leiter das Integralgesetz<br />
aus der Lorentzkraft herleiten.<br />
Somit haben wir folgende Situation: Das Faradaysche Gesetz in Integralform unterscheidet<br />
nicht, ob die Flussänderung durch bewegte Leiter, veränderliches ⃗ B-Feld oder<br />
64 Lenz, 1834<br />
(61)<br />
66
eides zusammen hervorgerufen wird. Zur Erklärung des induzierten Feldes E ind brauchen<br />
wir jedoch entweder die Lorentz-Kraft Gl. (40)<br />
⃗E ind = ⃗v × ⃗ B oder das differentielle Gesetz rot ⃗ E ind = ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B<br />
∂t .<br />
Betrachtet man hingegen das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform Gl. (60) als<br />
das f<strong>und</strong>amentale Gesetz, können daraus die Beziehung für die Lorentzkraft <strong>und</strong> das<br />
differentielle Faradaysche Gesetz hergeleitet werden.<br />
Wir können zusammenfassend sagen: Die Kraft auf eine Ladung q ist immer durch<br />
⃗F = q ( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B)<br />
gegeben, wobei ⃗ E sowohl von elektrischen Ladungen als auch von veränderlichen Magnetfeldern<br />
entsprechend dem Faraday’schen Gesetz Gl. (61) erzeugt werden kann.<br />
Abschliessend sei bemerkt, dass das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform nur<br />
angewandt werden darf, wenn das Material des Leiters gleich bleibt. Wenn der Weg, den<br />
die Ströme nehmen, sich im Material bewegt, versagt das Integralgesetz.<br />
5.2 Anwendungen des Induktionsgesetzes<br />
5.2.1 Der elementare Motor<br />
Diese “Maschine” ist die “Umkehrung” des Generators, infolge der Induktion bewegt sich<br />
ein Leiter. Wir schliessen eine rechteckige Leiterschleife mit der Fläche A = l x <strong>und</strong> dem<br />
Widerstand R an eine Batterie mit der EMK V m an. Die eine<br />
Seite l ist beweglich. Ist B ein homogenes Magnetfeld, das senkrecht<br />
zur Leiteroberfläche A steht, so besagt die 2. Kirchhoffsche<br />
Regel: V m + V m,ind = I R . Dabei ist<br />
⃗B ✻<br />
✄ <br />
V<br />
✁ ✁ m ✁ ✁ ✁ ✁<br />
✁✕✁<br />
✁<br />
l<br />
✁✕ ✲ d⃗ l<br />
✁ ✁ ✁ ✁✁dF<br />
⃗ ✁❡✁<br />
R ✁✁✁☛<br />
❜ ✲ x<br />
V m,ind = − dΦ<br />
dt<br />
Mit der Lorentz-Kraft Gl.(42) auf den beweglichen Leiter l F =<br />
= −B l<br />
dx<br />
dt , also V m − B l dx<br />
dt = I R . (62)<br />
∫ l<br />
0<br />
dF =<br />
∫ l<br />
0<br />
IB dl = IlB<br />
ist die Bewegungsgleichung für die translatorische Bewegung m d2 x<br />
dt 2 = I l B ,<br />
mit m der Masse des beweglichen Leiterstückes. I wird mit Gleichung (62) ersetzt:<br />
Daraus erhält man<br />
m d2 x<br />
dt 2 = l B 1 R (V m − B l dx<br />
dt ) .<br />
d 2 x<br />
dt 2 + l2 B 2<br />
R m · dx<br />
dt = V m l B<br />
R m , resp. dv<br />
dt + l2 B 2<br />
R m v = V m l B<br />
R m .<br />
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v = dx des beweglichen<br />
Leiters l. Mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 erhält man als<br />
dt<br />
Lösung<br />
[siehe Anhang C.1 Dgl. Nr.3, 4] v(t) = v ∞ (1 − e −t/τ ) , (63)<br />
67
v(t) wobei v ∞ = V m<br />
l B <strong>und</strong> τ = R m<br />
l 2 B 2 .<br />
Beim stationären Gleiten mit der Geschwindigkeit v ∞<br />
t<br />
ergibt sich aus Gleichung (62): I = 1 R (V m − B l V m<br />
l B ) = 0 .<br />
Die EMK der Batterie wird durch die induzierte EMK gerade kompensiert. Gleitet die<br />
Seite l nicht reibungslos, so wird ebenfalls eine konstante Endgeschwindigkeit erreicht.<br />
Der entsprechende Strom verschwindet jedoch nicht, da die Batterie mechanische Arbeit<br />
leisten muss.<br />
5.2.2 Wechselspannungsgeneratoren<br />
Mit diesen Maschinen kann grosstechnisch elektrische Energie aus mechanischer Energie<br />
erzeugt werden. Das Prinzip besteht darin, dass ein Leiter in einem Magnetfeld bewegt<br />
wird. Eine flache Spule mit N Windungen der Fläche A werde um eine Achse senkrecht<br />
zu einem homogenen Magentfeld mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω gedreht.<br />
V m, ind<br />
Der magnetische Feldfluss ist Φ = B n A N = B cos φ A N ,<br />
wobei φ = ω t also Φ = B A N cos ωt . Dann wird<br />
B<br />
n<br />
V m,ind = − dΦ<br />
dt = B A N ω sin ωt = V ◦ sin ωt .<br />
Es wird eine Wechselspannung induziert.<br />
Beispiel: Velodynamo, Lichtmaschine, Generator.<br />
5.2.3 Das Betatron †<br />
Das Betatron ist ein Elektronenbeschleuniger, mit dem Elektronen auf eine kinetische<br />
Energie von bis zu 300 MeV beschleunigt werden können. Es wird in der Medizin <strong>und</strong><br />
der Materialuntersuchung zur Erzeugung von harten Röntgenstrahlen (Sie entstehen beim<br />
Abbremsen der Elektronen in einem Stück Materie) sowie in der Kernphysik angewendet.<br />
Ein zeitlich veränderliches B-Feld B z (r,t) erzeugt ein beschleunigendes E ind -Feld E ϕ .<br />
Mit dem Fluss Φ = ¯Bπρ 2 ist<br />
B( )<br />
E<br />
z<br />
B= dB<br />
dt<br />
E ind = E ϕ = V m,ind<br />
2πρ = − 1 dΦ<br />
2πρ dt = − 1 ¯B<br />
πρ2d<br />
2πρ dt = −ρ d ¯B<br />
2 dt .<br />
Die Elektronen werden in einem B-Feld auf einer Bahn mit<br />
e - r<br />
konstantem Radius ρ gehalten. Das über die Kreisfläche<br />
v<br />
gemittelte Feld ist: ¯B =<br />
1 ∫ ρ<br />
πρ 2 0 B z(r,t)2πr 2 dr.<br />
Die Bewegungsgleichung für ein Elektron ist: F = dp<br />
dt = −e E ϕ = e ρ d ¯B<br />
2 dt . (64)<br />
Diese Gleichung ist auch relativistisch korrekt. Für die Kreisbahn bei ρ=konst <strong>und</strong> B(ρ)<br />
mit p = mv ist evB(ρ) = m ρ v2 ⇒ dp<br />
dt = eρdB(ρ) dt<br />
(65)<br />
68
Magnet<br />
Gl. (64) <strong>und</strong> (65) ergeben die<br />
B<br />
Wideröe’sche 65 Betatron-Bedingung: B(ρ) = 1 2 ¯B<br />
Röhre<br />
Das Führungsfeld B(ρ) muss während der Beschleunigung,<br />
bei der ρ konstant bleibt, immer halb so<br />
gross sein wie das über die Kreisfläche gemittelte<br />
Magnet<br />
Feld ¯B. Die maximale Energie ist mit p =<br />
eρB max (ρ)<br />
<strong>und</strong> B max (ρ) dem maximalen Führungsfeld 66 :<br />
E tot =<br />
√<br />
√<br />
mc 2 + p 2 c 2 = E kin + mc 2 ⇒ E kin = mc 2 + (c e ρ B max (R)) 2 − mc 2 ,<br />
z.B. für Elektronen ist: mc 2 = 511 keV, ρ = 1 m, B max (ρ) = 1 T → E kin = 300 MeV.<br />
Ein wirklich funktionierendes Betatron muss noch einige weitere Bedingungen erfüllen 67 .<br />
1. Eine azimutale Fokussierung, damit die beschleunigten<br />
Teilchen nicht auf einer Schraubenbahn sofort in die Polschuhe<br />
laufen, wird durch eine Abnahme des B z (r)-Feldes<br />
mit dem Radius r erreicht. Eine kleine horizontale Komponente<br />
B r (ρ, ∆z) ausserhalb z = 0 führt dann zu einer<br />
z-Komponente der Lorentz-Kraft <strong>und</strong> damit zu einer azimutalen<br />
Fokussierung.<br />
2. Eine radiale Fokussierung wird erreicht, indem das B-Feld<br />
schwächer mit r abfällt als die Zentrifugalkraft.<br />
3. Im Betatron werden i.a. nur Elektronen beschleunigt, da<br />
diese wegen der kleinen Masse hohe Geschwindigkeiten besitzen.<br />
Wegen der Energieverluste durch Synchrotronstahlung<br />
ist jedoch die maximale Energie auf ca 300 MeV begrenzt.<br />
z<br />
Polschuh<br />
B z (r,t)<br />
Sollbahn<br />
Polschuh<br />
F(r)<br />
Lorenzkraft<br />
Sollkreis ρ<br />
Deshalb sind heute fast alle Betatrons von Linearbeschleunigern abgelöst worden.<br />
5.2.4 Die Unipolarmaschine<br />
B r ( , z)<br />
F L<br />
B z ( )<br />
Eine dicker Metallzylinder rotiert um seine Symmetrieachse, parallel zur<br />
Achse liegt ein B-Feld. ⃗ Auf eine freies Elektron, das im Abstand r von<br />
der Drehachse in der Metallscheibe mitbewegt wird, wirkt, da q < 0, eine<br />
nach aussen gerichtete Lorentzkraft | F ⃗ | = q |⃗v × B| ⃗ = q ω r B . Die<br />
zugehörige Feldstärke E ⃗ ind , also die Kraft auf die positive Einheitsladung,<br />
ist dann nach innen gerichtet <strong>und</strong> hat den Wert Eind ⃗ = −ω r B ⃗r . B<br />
r<br />
Die resultierende EMK wird dann V m,ind =<br />
∫ ρ<br />
0<br />
⃗E d⃗r = −ω B<br />
∫ ρ<br />
0<br />
B z ( )<br />
B r ( ,- z)<br />
Zentrifugalkraft<br />
rucktreibende<br />
"<br />
Kraft<br />
B<br />
r<br />
V m,ind<br />
+ -<br />
⃗r d⃗r = − 1 2 ω B ρ2 ,<br />
65 Rolf Wideröe 11.7.1902 Christiania (N) - 1996 Nussbaumen (CH) entwickelte 1924 das Betatronkonzept,<br />
erster Bau einer Elektronenschleuder 1940. Er hatte viele Patente.<br />
66 Dies ist die relativistische Energie-Impulsbeziehung mit m der Ruhmasse des Teilchens (Phys III).<br />
67 Im Betatron kann nur ein Elektronenpaket bis zur maximalen Energie beschleunigt werden. Zum<br />
nächsten Beschleunigungszyklus wird das B-Feld heruntergefahren. Typische Daten: 50 Hz Wiederholfrequenz,<br />
30 eV/Umlauf, E tot = 30 MeV, Ī = 10−7 A.<br />
69
F<br />
r<br />
B<br />
r<br />
also eine negative Gleichspannung. Der negative Pol der Maschine ist die<br />
Zylinderoberfläche. Da man den Zylinder vor einem Pol eines Stabmagneten<br />
rotieren lassen kann, wurde der Name “Unipolarmaschine” geprägt, sie<br />
wurde 1831 von Faraday als erster Gleichspannungsgenerator gebaut.<br />
Die Unipolarmaschine ist ein Beispiel, in dem die Integralform des Faradayschen Gesetzes<br />
versagt. Zwischen Achse <strong>und</strong> Zylinderoberfläche wird eine EMK induziert, obwohl der<br />
Stromkreis räumlich konstant bleibt; aber die Ladungsträger der Metallscheibe bewegen<br />
sich im ⃗ B-Feld. Die erzeugte Spannung ist gering <strong>und</strong> damit schwierig zu messen.<br />
5.2.5 Widerstandsdämpfung beim Galvanometer †<br />
Mit einem Galvanometer werden Ströme <strong>und</strong> Spannungen gemessen. Eine flache Spule mit<br />
N Windungen der Fläche A = a 2 wird an einem dünnen Faden so aufgehängt, dass sie<br />
Torsionsschwingungen ausführen kann. Dabei bewegen sich die senkrechten Seitenteile der<br />
Spule in einem schmalen Luftspalt, in welchem ein radial gerichtetes Magnetfeld herrscht.<br />
Dieses übt auf den mit I durchflossenen Leiter eine<br />
Skala<br />
Lorentzkraft aus, die zu einer Drehung der Spule um<br />
α ◦ = INa 2 B/k proportional zum Strom I führt 68 . Die<br />
dabei auftretende Drehschwingung um die neue Ruhelage<br />
α ◦ wird durch den bei der Drehung induzierten Strom<br />
I<br />
F<br />
B I ind , auf den eine Lorentzkraft F wirkt, gedämpft. I ind<br />
fliesst durch die Spule <strong>und</strong> den äusseren Widerstand R.<br />
Es ist<br />
mit Gl. (42) F = |I ind | N a B .<br />
R<br />
Das rücktreibende Drehmoment der Aufhängung sei<br />
−kα. Dann lautet die Bewegungsgleichung der Spule<br />
d 2 α<br />
I ◦ = −kα − F a cos α ,<br />
dt2 I ◦ =Trägheitsmoment um die Aufhängung.<br />
Mit dem Induktionsgesetz ist I ind = − 1 dφ<br />
R dt = − 1 d<br />
(ANB sin α) = −ANB<br />
R dt R<br />
Für kleine Auslenkungen, d.h. |α| ≪ 1, lautet dann die Bewegungsgleichung<br />
cos αdα<br />
dt .<br />
α ο<br />
α(τ)<br />
t<br />
d 2 α<br />
I ◦<br />
dt + N2 A 2 B 2<br />
2 R<br />
dα<br />
dt + k α = 0 .<br />
Mit der Lösung für schwache Dämpfung [Anhang C.1<br />
Dgl. 3] α(t) = A e −λt cos(ωt − δ) mit<br />
λ = N2 A 2 B 2<br />
2 I ◦ R <strong>und</strong> ω = √<br />
k<br />
I ◦<br />
− ( N2 A 2 B 2<br />
2 I ◦ R )2 .<br />
Die Dämpfungskonstante λ kann mit dem äusseren Widerstand R reguliert werden, i.a.<br />
wird eine kritische Dämpfung gewählt (vgl. Versuch Phys AI). Für grosse Werte von<br />
68 F = 2NIaB, Drehmoment M = Fa/2 = kα ◦ im Gleichgewicht mit dem rückstellenden Drehmoment<br />
kα ◦<br />
70
R ist die Dämpfung sehr schwach. ω = √ k<br />
I ◦<br />
ist die Kreisfrequenz des ungedämpften<br />
Galvanometers.<br />
5.2.6 Magnetfeldmessung mit einer Flipspule<br />
B o<br />
Eine flache Spule mit N Windungen der Fläche A in<br />
einem Magnetfeld ⃗ B ◦ ⊥ A wird in der Zeit τ aus dem<br />
Magnetfeld herausgezogen. Der induzierte Strom ist<br />
B=0<br />
G<br />
R<br />
V m,ind<br />
R<br />
= I ind = − 1 R<br />
dΦ<br />
dt , mit Φ = N A B n .<br />
Wird mit einem Oszillographen oder einem ballistischen Galvanometer der Strom I ind<br />
vom Anfang bis zum Ende des Herausziehens aufintegriert, so gilt<br />
∫ τ<br />
0<br />
I ind = − 1 R<br />
∫ τ<br />
0<br />
dΦ<br />
dt = − 1 R (Φ(τ) − Φ(0)) = − 1 R (0 − N AB n) = N A<br />
R B n = N A<br />
R B .<br />
<strong>und</strong> es kann das Magnetfeld B gemessen werden. Statt die Spule aus dem Magnetfeld<br />
herauszuziehen, kann sie auch um z.B. 90 ◦ gedreht werden.<br />
5.2.7 Wirbelströme<br />
Wirbelströme treten in massiven Leitern infolge der Induktion auf. Wird eine Metallscheibe<br />
in einem homogenen Magnetfeld translatorisch bewegt, so ist der Fluss durch eine<br />
beliebige Leiterfläche konstant. Es treten somit keine Induktionsströme auf. Ist jedoch<br />
das Feld inhomogen, so sind die Lorentzkräfte auf die Elektronen unterschiedlich gross,<br />
so dass sich ein geschlossener Strom <strong>und</strong> damit ein induziertes magnetisches Feld bilden<br />
kann. Stärke <strong>und</strong> Geometrie dieser Wirbelströme hängen empfindlich von der Form des<br />
F AB<br />
A<br />
B<br />
I<br />
B<br />
B<br />
F AB > F CD<br />
C<br />
F CD<br />
D<br />
v<br />
v<br />
Metalles ab. Nach der Lenz’schen Regel hemmen die<br />
Ströme die erzeugende Bewegung. Die Bremsung ist<br />
sehr stark in Leitern wie Al, Ag, Cu mit einer hohen<br />
Leitfähigkeit [vgl. Kap. 5.2.5]. Ein Supraleiter mit<br />
R ≡ 0 schwebt in einem inhomogenen Magnetfeld<br />
(Meissner-Ochsenfeld-Effekt), das äussere Feld wird<br />
vollständig im Innern des Leiters durch das induzierte<br />
Feld kompensiert.<br />
Werden in der Metallscheibe Schlitze angebracht, so werden zwischen den Schlitzen nur<br />
kleinere Ströme induziert 69 , <strong>und</strong> die Bremsung wird geringer. In der Technik wird die<br />
bremsende Wirkung in der Wirbelstrombremse ausgenutzt.<br />
5.2.8 Gegenseitige Induktion zweier Leiter<br />
Betrachtet man zwei Leiterkreise ❤ 1 <strong>und</strong> ❤ 2 , wobei in ❤ 2 mit Hilfe einer EMK ein<br />
zeitabhängiger Strom I 2 (t) aufrecht erhalten wird, der ein Feld ⃗ B 2 (t) erzeugt, so gilt<br />
nach dem Biot-Savartschen Gesetz<br />
⃗ B2 (t) = µ µ ◦<br />
4π I 2(t)<br />
∫<br />
Leiter (2)<br />
d ⃗ l 2 × ⃗r<br />
r 3 = ⃗ f I 2 (t) .<br />
69 Um z.B. bei einem Transformator (vgl. Kap.5.3.5) Wirbelströme <strong>und</strong> damit Verluste zu minimalisieren,<br />
werden Trafobleche (lamelliertes Eisen) oder bei Hochfrequenz Ferritkerne benutzt.<br />
71
I 2 (t)<br />
EMK<br />
~<br />
d 2<br />
2<br />
r<br />
1<br />
A 1<br />
B 2 (t)<br />
Alle nur von der geometrischen Anordnung abhängigen<br />
Grössen stecken im konstanten axialen Vektor f. ⃗<br />
Der Fluss von B ⃗ 2 durch eine von Leiter 1 ❤ berandete<br />
Fläche A 1 ist<br />
Φ(t) =<br />
∫<br />
B 2,n dA = I 2 (t)<br />
A 1<br />
∫<br />
f n dA = I 2 (t) · L 12 .<br />
A 1<br />
Dabei wurde gesetzt<br />
∫<br />
A 1<br />
f n dA = L 12 = µ µ ◦<br />
4π<br />
∫A 1<br />
∫<br />
Leiter (2)<br />
d ⃗ l 2 × ⃗r<br />
r 3 d ⃗ A .<br />
Den Geometriefaktor L 12 nennt man den Koeffizienten der gegenseitigen Induktion. Wird<br />
der Strom I 2 variiert, so ändert sich der Fluss Φ mit der Zeit <strong>und</strong> in ❤ 1 wird eine EMK<br />
induziert, die nach dem Induktionsgesetz den Wert hat<br />
V m,ind<br />
❤ 1 = − dI 2<br />
dt<br />
∫<br />
A 1<br />
f n dA oder<br />
V m,ind<br />
❤ 1 = −L 12<br />
dI 2<br />
dt .<br />
Analog erhält man, wenn die Rollen von ❤ 1 <strong>und</strong> ❤ 2 vertauscht werden, auch in ❤ 2 eine<br />
induzierte EMK, wenn sich der Strom in ❤ 1 ändert.<br />
V m,ind<br />
❤ 2 = −L 21<br />
dI 1<br />
dt .<br />
Dabei ist L 21 = L 12 , da in den Ausdrücken für L 12 <strong>und</strong> L 21 die beiden Leiterkreise<br />
vollkommen symmetrisch vorkommen.<br />
Die Einheit von L 12 ist<br />
5.2.9 Selbstinduktion<br />
1<br />
Volt Sek<strong>und</strong>e<br />
Ampère<br />
= 1 Henry = 1 H .<br />
Ein Strom I kann natürlich im eigenen Kreis eine EMK induzieren, weil sein Magnetfeld<br />
den eigenen Kreis durchsetzt. Fliesst in einem geschlossenen Leiterkreis ein zeitlich<br />
variabler Strom I(t), so ist dessen Magnetfeld<br />
B(t) ⃗<br />
µ µ ◦ =<br />
4π<br />
∫Leiter<br />
I(t) d ⃗ l × ⃗r<br />
.<br />
r 3<br />
I(t)<br />
B(t)<br />
Der Fluss durch eine Fläche A, die vom Leiter selbst umrandet<br />
wird, beträgt<br />
Φ =<br />
∫<br />
⃗B · d ⃗ A = LI(t) , L =<br />
µ µ ◦<br />
4π I(t) ∫<br />
∫<br />
A Leiter<br />
d ⃗ l × ⃗r<br />
dA<br />
r ⃗ 3<br />
Der Geometriefaktor L heisst Koeffizient der Selbstinduktion. Die vom Strom induzierte<br />
EMK ist dann<br />
V m,ind = −L dI<br />
dt<br />
. Die Einheit von L ist ebenfalls 1 Henry. (66)<br />
Ihr Symbol bei elektrischen Schaltungen ist: ∼∼∼∼∼ <br />
L Die induzierte EMK<br />
wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz’sche Regel), da beim Einschalten ein Magnetfeld<br />
aufgebaut wird.<br />
72
Als Beispiel berechnen wir die Selbstinduktion einer langen Spule mit N Windungen<br />
der Fläche A <strong>und</strong> der Länge l (oder eine entsprechende Toroidspule), die sich in einem<br />
Material der Permeabilität µ befindet. Im Innern der Spule ist [vgl. Gl. (49)]<br />
V m,ind = −L dI<br />
dt = −dΦ dt<br />
B = µ µ ◦ H = µ µ ◦<br />
N<br />
l<br />
= −A N<br />
dB<br />
dt = −µ µ ◦<br />
I . Nach dem Induktionsgesetz ist<br />
A N 2<br />
5.2.10 Energiedichte des magnetischen Feldes<br />
l<br />
dI<br />
dt , also L = µ µ ◦ A N 2<br />
. (67)<br />
l<br />
Analog zum elektrischen Feld besitzt auch das Magnetfeld Energie. Mit dem Induktionsgesetz<br />
wird die Energiedichte des magnetischen Feldes für einen Spezialfall berechnet.<br />
Zunächst betrachten wir einen allgemeinen Leiterkreis, in welchem der Strom im<br />
✻<br />
Zeitintervall dt von I auf I + dI erhöht wird.<br />
I<br />
<br />
✻ ❄dI<br />
Dabei wird eine EMK<br />
V m,ind = −L dI<br />
dt<br />
✲ induziert, gegen die von aussen eine zusätzliche Arbeit<br />
t<br />
✲ dt✛<br />
dW = −V m,ind I dt = L I dI<br />
geleistet werden muss. Um den gleichen Betrag nimmt die Energie W m des Magnetfeldes<br />
zu: dW m = dW = L I dI . Die Integration ergibt mit I(t = 0) = 0<br />
W∫<br />
m<br />
0<br />
dW m =<br />
∫ I<br />
0<br />
LI dI = W m = 1 2 L I2 .<br />
die Energie des<br />
magnetischen Feldes<br />
Um die Energiedichte zu bestimmen, wählen wir eine lange Spule oder einen Toroiden,<br />
mit Gl. (49)<br />
B = µ µ ◦<br />
N<br />
l<br />
die Energiedichte der Spule<br />
I , <strong>und</strong> Gl. (67) L =<br />
µ µ◦ A N2<br />
l<br />
w m = W m<br />
A l = µ µ ◦ N 2<br />
2 l 2 I 2 = 1 2<br />
ist dann<br />
B 2<br />
µ µ ◦<br />
= 1 2 ⃗ H · ⃗B .<br />
Wie für das elektrische Feld lässt sich zeigen, dass dieses Ergebnis allgemein gültig ist.<br />
Somit gilt w m = 1 2 ⃗ H ·<br />
⃗B<br />
die Energiedichte des<br />
magnetischen Feldes<br />
formal analog zum elektrischen Fall. Dort war w el = 1 2 ⃗ D · ⃗E, bzw. W el = 1 2 C V 2 für den<br />
Kondensator.<br />
5.2.11 Analogie der Selbstinduktion zur Masse der Mechanik<br />
Mechanik<br />
<strong>Magnetismus</strong><br />
F Kraft −V m,ind induzierte Spannung<br />
v Geschwindigkeit I Strom<br />
x Ortsänderung q Ladung<br />
mv Impuls LI<br />
1<br />
2 mv2 1<br />
kinetische Energie<br />
2 LI2 magnetische Feldenergie<br />
m träge Masse L Trägheit des Magnetfeldes<br />
F = m dv<br />
−V m,ind = L dI<br />
dt<br />
dt<br />
Beachte: Gleiche mathematische Gleichungen haben die gleichen Lösungen.<br />
73
5.3 Quasistationäre Ströme<br />
Es werden Stromkreise betrachtet, die Widerstände (R), Spulen (L) <strong>und</strong> Kondensatoren<br />
(C), sowie elektromotorische Kräfte 70 enthalten. Die Ströme sollen sich so langsam<br />
verändern, dass keine Energie durch Strahlung verloren geht. 71<br />
Die Spannungsabfälle, bzw. elektromotorischen Kräfte über die drei Schaltelemente<br />
sind mit ihren Schaltbildern gegeben durch<br />
V R = I R am Widerstand R R<br />
V C = Q C<br />
V m,ind = −L dI<br />
dt<br />
am Kondensator C<br />
von der Selbstinduktion L.<br />
C<br />
∼∼∼∼∼ <br />
Ferner ist für Umrechnungen I = dQ<br />
∫ t<br />
dt , resp. Q(t) = I(t) dt + Q(t = 0) .<br />
0<br />
Betrachten wir einen einfachen Stromkreis, so gilt nach der 2. Kirchhoffschen Regel<br />
<br />
∑<br />
∼∼∼∼<br />
✎☞<br />
Vm,ind = ∑ V<br />
L<br />
i d.h. V m − L dI<br />
dt = R I + Q C<br />
V m<br />
✍✌ C<br />
R<br />
oder auch V m = L dI<br />
dt + R I + Q C .<br />
Setzen wir I = dQ<br />
dt<br />
ein, so erhalten wir für Q:<br />
L<br />
L d2 Q<br />
dt 2 + R dQ<br />
dt + Q C = V m(t) (68)<br />
oder dQ = I <strong>und</strong> differenzieren für I: L d2 I<br />
dt<br />
dt + R dI<br />
2 dt + I C = dV m(t)<br />
. (69)<br />
dt<br />
Die Lösungen siehe im Anhang C.1 Dgl. 7. <strong>und</strong> 8. Verglichen mit der Mechanik stellt der<br />
Term dVm eine Anregung dar, I dI<br />
eine Rückstellkraft <strong>und</strong> R eine Dämpfung.<br />
dt<br />
C dt<br />
Mit V m =konst. <strong>und</strong> damit dVm = 0 beschreibt Gl. (69) eine gedämpfte Schwingung, die<br />
dt<br />
Energie pendelt zwischen W m <strong>und</strong> W e mit der Ohm’schen Dämpfung (Joule’sche Wärme)<br />
I 2 R [vgl. Gl. (71)]. Mit V m = V ◦ cos ωt existiert eine erzwungene Schwingung [siehe S. 80].<br />
5.3.1 Stromkreise mit konstanter EMK<br />
Sonderfälle ergeben sich, wenn entweder die Kapazitäten C oder die Selbstinduktion L so<br />
klein sind, dass eine gegenüber der anderen vernachlässigt werden kann.<br />
1) L = 0, C ≠ 0<br />
Gleichung (68) reduziert sich auf R dQ<br />
dt + Q C = V m , V m ist konstant (70)<br />
mit der Lösung [Anhang C.1 Dgl. 4.] Q(t) = Q ◦ e −t/(RC) + V m C .<br />
70 z.B. Batterien, Gleichstrom- oder Wechselstromgeneratoren<br />
71 Wir werden später [Kap. 5.4.1] sehen, dass nicht nur (gemäss Induktionsgesetz) veränderliche Magnetfelder<br />
elektrische Felder erzeugen, sondern dass auch umgekehrt veränderliche elektrische Felder Magnetfelder<br />
hervorrufen können. Diese veränderlichen Felder können sich im Raum ausbreiten, das betreffende<br />
System sendet “elektromagnetische Wellen” aus. Die Abstrahlung hängt jedoch stark von der Frequenz<br />
der Wechselfelder ab. Bei Frequenzen bis etwa 1000 Hertz ist der Energieverlust infolge Strahlung vernachlässigbar.<br />
Wir beschränken uns deshalb hier auf solche “langsam veränderliche” Felder <strong>und</strong> Ströme.<br />
74
Wir untersuchen zwei verschiedene Anfangsbedingungen.<br />
<br />
S<br />
R ✲ ❅<br />
I<br />
<br />
V m V C <br />
<br />
S ′ C<br />
R<br />
a)Aufladen eines Kondensators: Zur Zeit t = 0 sei der Kondensator<br />
ungeladen (d.h. Q(t = 0) = 0) <strong>und</strong> der Schalter bei S werde<br />
geschlossen: Der Kondensator C wird aufgeladen. Es ist<br />
Q(t = 0) = Q ◦ + V m C = 0 =⇒ Q ◦ = −V m C .<br />
V c<br />
V m<br />
Somit wächst die Ladung gemäss<br />
Q(t) = V m C (1 − e −t/(RC) ) .<br />
τ c<br />
t<br />
Daraus erhalten wir V C (t) = Q C = V m (1 − e −t/(RC) )<br />
V m<br />
R<br />
1Vm<br />
e R<br />
I<br />
<strong>und</strong><br />
I(t) = dQ<br />
dt = V m<br />
R e−t/(RC) .<br />
Man nennt τ C = RC die Zeitkonstante (e-tel Wertszeit)<br />
τ c t dieses RC-Kreises. Nach einer Zeit t ≫ τ C ist der Kondensator<br />
aufgeladen <strong>und</strong> trägt die Ladung V m C.<br />
b) Entladen eines Kondensators: Der Schalter S ′ werde zur Zeit t = 0 geschlossen.<br />
V V c (t)<br />
Es ist V m = 0 <strong>und</strong><br />
o Q(t = 0) = Q ◦ = C V m .<br />
τ c<br />
Die Lösung ist Q(t) = Q ◦ e −t/(RC) .<br />
Damit ist V C (t) = Q ❜<br />
◦<br />
C e−t/(RC) = V ◦ e −t/(RC) ❜<br />
V C<br />
RC - Signal<br />
I(t)<br />
t<br />
C R gross<br />
τ c<br />
t<br />
❜<br />
I(t) = dQ<br />
dt = − Q ◦<br />
RC e−t/(RC) = V ◦<br />
R e−t/(RC) .<br />
-V o<br />
R<br />
In der Signaltechnik spielt das RC-Glied eine wichtige Rolle.<br />
Bei Kippschwingungen z.B. tritt kombiniert Laden <strong>und</strong> Entladen auf:<br />
R ◗ Wird ein Kondensator mit parallel geschalteter Gasentladungsstrecke<br />
(Glimmlampe) über einen Widerstand aufgeladen, so zündet<br />
✗✔ ✄ <br />
V <br />
m<br />
C die Glimmlampe für V<br />
✖✕<br />
C = V Z <strong>und</strong> sie löscht bei V C = V L . Ladungs<strong>und</strong><br />
Entladungsphasen lösen sich periodisch ab.<br />
Der Kondensator wird mit der grossen Zeitkonstanten<br />
τ C = RC aufgeladen <strong>und</strong> mit einer viel kleineren<br />
V c<br />
V Z<br />
Zeitkonstanten entladen, weil der innere Widerstand<br />
V L t<br />
der Glimmlampe viel kleiner als R ist. Ist V Z ≪ V m ,<br />
2) keine Kapazität, d.h. V C = 0 = Q C<br />
erhält man ungefähr eine Sägezahnschwingung.<br />
Die 2. Kirchhoffsche Regel ergibt nach Gleichung (68) L dI<br />
dt + R I = V m .<br />
Diese Differentialgleichung hat dieselbe Form wie Gl. (70) mit der Lösung<br />
I(t) = I ◦ e −(R/L)t + V m /R mit R = R Ω + R L , (R L Widerstand der Spule).<br />
75<br />
R<br />
❜<br />
t
S ✘<br />
S ′<br />
V m<br />
R Ω<br />
R L<br />
≀ ≀≀ L<br />
✻<br />
V L<br />
❄<br />
Wir betrachten wieder die Ein- <strong>und</strong> Ausschaltvorgänge:<br />
a)Einschalten: Zur Zeit t = 0 sei I(t = 0) = 0 <strong>und</strong> der Schalter<br />
werde geschlossen (Position S). Dann ist<br />
I(t = 0) = I ◦ + V m<br />
R = 0 =⇒<br />
I ◦ = − V m<br />
R .<br />
I<br />
V m<br />
Somit ist I(t) = V m<br />
R τ L<br />
R (1 − e−(R/L)t ) .<br />
t<br />
Die Zeitkonstante dieses Vorganges ist τ L = L/R .<br />
Der Spannungsabfall an der Spule ist dann<br />
V m<br />
V m<br />
R L<br />
R<br />
V L<br />
τ L<br />
t<br />
V L = V m − I R Ω = V m (1 − R Ω<br />
R + R Ω<br />
R e−t/τ L<br />
) .<br />
Aus R = R Ω + R L folgt<br />
Also wird<br />
1 − R Ω<br />
R = R L<br />
R , R Ω<br />
R = 1 − R L<br />
R .<br />
V L = V m ( R L<br />
R + (1 − R L<br />
R )e−t/τ L<br />
) .<br />
Ausschalten: Der Schalter werde bei t = 0 nach S ′ geschlossen. Nun ist I(t = 0) = V m /R<br />
(d.h. der vorher fliessende stationäre Strom) <strong>und</strong> V m = 0 für t > 0. Also ist<br />
I(t) = V m<br />
R e−t/τ L<br />
<strong>und</strong> V L (t) = −R Ω I = −V m<br />
R Ω<br />
R e−t/τ L<br />
.<br />
V m<br />
R<br />
I<br />
+V m<br />
R L<br />
R<br />
V L<br />
V m<br />
t<br />
V m<br />
L<br />
t=0<br />
t<br />
-V m<br />
R Ω<br />
R t=0<br />
10⋅L<br />
Ist L <strong>und</strong> damit<br />
τ L gross (Spule<br />
R<br />
mit Eisenkern), dann fällt beim Ausschalten die hohe Spannung −V Ω m R<br />
nur langsam ab<br />
<strong>und</strong> die in der Spule gespeicherte magnetische Feldenergie entlädt sich teilweise mit einem<br />
Abreissfunken oder eine Lampe über dem Schalter leuchtet auf.<br />
5.3.2 Die konventionelle Spulenzündung beim Auto †<br />
Bei der konventionellen Zündung des Ottomotors wird der starke Abreissfunke beim Öffnen<br />
des Unterbrecherkontaktes des Stromkreises Batterie <strong>und</strong> Zündspule zur Zündung der<br />
Zündkerze ausgenutzt.<br />
Durch den Strom I 1 der Batterie mit V B = 12 V wird in der Primärwicklung der<br />
Zündspule Zs eine Energie W = 1 2 L 1I 2 1 (L 1 ≈ mH, R 1 ≈ Ω) gespeichert.<br />
76
+<br />
−<br />
R V<br />
<br />
≀ Start 1 ≀<br />
≀≀ 100<br />
≀ Zs<br />
V B<br />
C<br />
U<br />
❇<br />
<br />
Zk<br />
Beim Öffnen des Zündunterbrecherkontaktes U steigt die<br />
Spannung an der Primärspule <strong>und</strong> um ca 100fach übersetzt<br />
der Sek<strong>und</strong>ärspule <strong>und</strong> damit an der Zündkerze auf über 1000<br />
V bis zur Zündung an <strong>und</strong> sinkt dann auf die Brennspannung<br />
von 400 V ab. Der Zündkondensator C unterdrückt zu starke<br />
Funkenbildung am Unterbrecherkontakt <strong>und</strong> lädt sich beim<br />
Öffnen des Zündunterbrecherkontaktes auf. Bricht der Funke wieder ab, dann schwingt<br />
die restliche Energie in dem Sek<strong>und</strong>ärkreis der Zündspule über seinen Ohm’schen Widerstand<br />
aus. Der Vorwiderstand R V wird nur beim Start zur Anhebung der Startspannung<br />
kurzgeschlossen. Im nicht gezeichneten Zündverteiler wird die Zündung auf die einzelnen<br />
Zylinder umgeschaltet.<br />
Weitere praktische Anwendungen der Induktion sind z.B. die Induktionskochplatte<br />
oder die Induktionslampe, die eine beträchtliche Energie im Haushalt einsparen können.<br />
5.3.3 Der Thomsonsche Schwingkreis<br />
a) Freie Schwingungen eines LC-Kreises (Thomsonscher Schwingkreis)<br />
Beim Thomsonschen Schwingkreis sind L ≠ 0, C ≠ 0, V m = 0. Damit überhaupt ein<br />
Strom fliesst, muss z. B. der Kondensator zur Zeit t = 0 aufgeladen sein: Q C (t = 0) = Q ◦ .<br />
∼∼∼∼ Der Strom in diesem Kreis wird durch Gl. (69) mit V m = 0 bestimmt:<br />
R<br />
L<br />
C<br />
L d2 I<br />
dt 2 + R dI<br />
dt + I C = 0 . (71)<br />
Formal ist diese Differentialgleichung [Anhang C.1 Dgl. 7.] identisch mit der Bewegungsgleichung<br />
für den linearen gedämpften Oszillator der Mechanik <strong>und</strong> Gl. (71) hat auch<br />
I<br />
L<br />
I o (ω)<br />
I o (ω o )<br />
die gleiche Lösung I(t) = I ◦ e −t/τ cos(ω ′ t + δ)<br />
t<br />
√<br />
mit ω ′ = ω<br />
2π<br />
◦ 2 − 1<br />
τ , 1<br />
2<br />
ω<br />
τ = R 2L <strong>und</strong> ω2 ◦ = 1<br />
R<br />
W e<br />
R<br />
W m<br />
ω o<br />
C<br />
L C<br />
der Thomson-Formel . ω ◦ ist die Kreisfrequenz der ungedämpften<br />
Schwingung, welche bei verschwindendem Widerstand R auftritt.<br />
1/τ bestimmt den Grad der Dämpfung. Die Schwingung besteht<br />
aus einem Hin- <strong>und</strong> Her-Pendeln der elektrischen Energie im Kondensator<br />
W e <strong>und</strong> der magnetischen Energie in der Spule W m . Durch<br />
die im Widerstand R entstehende Joule’sche Wärme I 2 R wird der<br />
Schwingung ständig Energie entzogen, bis sie schliesslich ausstirbt.<br />
ω◦ 2 = 1 ist der kritische Grenzfall <strong>und</strong> 1 > ω 2 der exponentielle<br />
τ 2 τ 2<br />
Kriechfall. Der Gütefaktor dieses Schwingkreises ist<br />
kleines Q<br />
grosses Q<br />
ω<br />
[vgl. Mechanik Kap. 7.3] Q = τω ◦<br />
2 = 1 √<br />
L<br />
R C .<br />
In einem supraleitenden Schwingkreis wäre R → 0<br />
<strong>und</strong> damit Q → ∞.<br />
77
) Erzeugung ungedämpfter Schwingungen<br />
Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muss in jeder Schwingungsperiode die in Wärme<br />
umgewandelte Energie wieder ersetzt werden, z.B. durch Elemente mit “negativem” Widerstand<br />
oder durch eine Rückkopplung.<br />
a) Durch Elemente mit “negativem” Widerstand<br />
Beispiele solcher Elemente: Lichtbogen, Dynatron, Tunneldiode (vgl. S.39).<br />
✻V B<br />
Ein Lichtbogen entsteht, wenn an zwei Kohleelektroden<br />
eine Gleichspannung angelegt wird. Der Strom<br />
◗ ◗◗◗◗◗ stat. Kennlinie<br />
dynam. Kennlinie kommt hauptsächlich durch Elektronenemissionen<br />
✟✟✟ I = ✟ (Vm − V B )/R V ) der glühenden Kohle zustande. Durch Stossionisation<br />
wächst der Strom an, so dass der Widerstand<br />
✲<br />
I ◦ + I I B<br />
dV B /dI B negativ wird. Der Lichtbogen ist instabil.<br />
Die statische Strom-Spannungs-Charakteristik zeigt eine fallende Kennlinie. Der Strom<br />
muss stabilisiert werden, indem ein genügend grosser Widerstand R V vor den Lichtbogen<br />
geschaltet wird. Die Drosselspule D sorgt dafür, dass der Speisestrom I ◦ konstant gehalten<br />
wird <strong>und</strong> Wechselströme nicht über die Spannungsquelle abfliessen.<br />
Der Strom durch den Bogen ist also I<br />
B<br />
B = I ◦ + I, <strong>und</strong><br />
es ist dI B = dI. Für den Kreis ABCD gilt nach der 2.<br />
Kirchhoffschen Regel:<br />
+<br />
−<br />
∼∼∼ ✲<br />
A R ∼∼∼ <br />
D I ◦<br />
L<br />
✄+<br />
<br />
V m ❄✄ V I ✻<br />
− B<br />
C<br />
R V<br />
I B<br />
D<br />
C<br />
dV B<br />
dt<br />
+ L d2 I<br />
dt 2 + R dI<br />
dt + I C = 0 . (72)<br />
Es entsteht eine ungedämpfte Schwingung, wenn sich die Terme mit V B <strong>und</strong> R<br />
kompensieren, also gilt<br />
dV B<br />
dt<br />
= −R dI<br />
dt = −R dI B<br />
dt .<br />
Der Widerstand R = − dV B<br />
dI B<br />
entspricht einer fallenden Kennline <strong>und</strong> Gleichung (72)<br />
reduziert sich auf<br />
L d2 I<br />
dt 2 + I C = 0 ,<br />
deren Lösung ist eine ungedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz ω ◦ =<br />
√<br />
1<br />
LC .<br />
1M<br />
R G<br />
I A<br />
V G<br />
L G<br />
+ -<br />
-<br />
R'<br />
L<br />
+<br />
E o<br />
V A<br />
I<br />
C<br />
b) Durch Rückkopplung mit Transistoren oder Elektronenröhren<br />
hier als Elektronenröhrengenerator.<br />
Nach Kap. 3.2.6 kann man den Anodenstrom I A mit<br />
der Gitterspannung V G steuern. Wählt man eine Gitter-<br />
Wechselspannung, so überlagert sich dem Anodenstrom<br />
ein Wechselstrom, der im angeschlossenenSchwingkreis<br />
eine Schwingung induzieren kann.<br />
78
I<br />
V A<br />
I A<br />
t<br />
t<br />
t<br />
Man kann jedoch durch geeignete Rückkopplung<br />
(A. Meissner, 1913) erreichen, dass der Schwingkreis<br />
die Energiezufuhr selber steuert, auf die Gitter-<br />
Wechselspannung kann dann verzichtet werden. Eine<br />
im Schwingkreis einmal angeregte Schwingung induziert<br />
über die Spule L G eine Gitter-Wechselspannung, welche<br />
I A so steuert, dass im richtigen Takt dem Schwingkreis<br />
Energie nachgeliefet wird. Obwohl heute Transistoren<br />
die Elektronenröhren weitgehend verdrängt haben, werden<br />
letztere für hohe Leistungen noch immer benutzt.<br />
5.3.4 Harmonische Wechselströme<br />
Die Stromkreisanalyse wird vereinfacht, wenn man komplexe Spannungen <strong>und</strong> Ströme<br />
einführt. Wie bei der Behandlung mechanischer Schwingkreise sind nur die Realteile (bzw.<br />
Imaginärteile) dieser komplexen Ausdrücke die physikalisch messbaren Grössen. Statt der<br />
reellen EMK V m = V ◦ cos ωt schreiben wir also V m = V ◦ e iωt .<br />
1) Ohmscher Widerstand<br />
Es ist V m = V ◦ e iωt = V R = I R ,<br />
♠∼ V ◦ e iωt R<br />
also I = V ◦<br />
R eiωt .<br />
Strom I <strong>und</strong> Spannung V R haben das gleiche Argument<br />
in der Exponentialfunktion, sie sind also in Phase.<br />
2) Selbstinduktion<br />
Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V ◦ e iωt = L dI<br />
♠∼ V ◦ e iωt L ≀≀<br />
dt ,<br />
∫<br />
≀<br />
also I = dI = V ∫<br />
◦<br />
e iωt dt = V ◦ 1<br />
L L iω eiωt .<br />
✲<br />
I ✻ Führen wir die Abkürzung Z L = iωL ein,<br />
♠∼ V Z<br />
❄ so wird I = V m<br />
= V ◦ e iωt<br />
.<br />
Z L Z L<br />
Z L nennen wir den Wechselstromwiderstand oder Impedanz der Selbstinduktion. Mit<br />
Hilfe des Impedanzbegriffes gestattet die komplexe Schreibweise eine besonders einfache<br />
Darstellung der Strom-Spannungs-Beziehungen. Z tritt bei Wechselströmen an die Stelle<br />
von R. Wollen wir den messbaren Strom erhalten, so müssen wir den Realteil bilden.<br />
V m<br />
I(t)<br />
t<br />
V m<br />
I(t) R{I(t)} = R{ V ◦<br />
iωL (cosωt + i sin ωt)} = V ◦<br />
ωL<br />
sin ωt .<br />
3) Kondensator<br />
t<br />
Der Strom hinkt um π/2 hinter der Spannung nach,<br />
d.h. das Maximum von I folgt zeitlich nach jenem der<br />
Spannung.<br />
V m<br />
∼♠<br />
C<br />
Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V ◦ e iωt = V C = Q C ,<br />
<strong>und</strong> mit<br />
I = dQ<br />
dt<br />
ist iω V ◦ e iωt = I C<br />
79
V m<br />
I(t)<br />
t<br />
also I(t) = iω C V ◦ e iωt <strong>und</strong> mit der<br />
Impedanz des Kondensators Z C = 1<br />
iω C<br />
wird I = V m<br />
= V ◦ e iωt<br />
.<br />
Z C Z C<br />
Die reelle Lösung lautet R{I(t)} = R{iωC(cosωt + i sin ωt)} = −ωC V ◦ sin ωt .<br />
Der Strom eilt der Spannung um π/2 voraus.<br />
4) Serienresonanzkreis<br />
Alle drei Impedanzen sind in Serie hintereinander geschaltet. Mit dem Kirchhoff’schen<br />
Gesetz ist V ◦ e iωt = I (R + Z C + Z L ) . Die komplexen Impedanzen dürfen addiert<br />
werden wie die Ohmschen Widerstände <strong>und</strong> damit ist<br />
V ◦ e iωt<br />
∼♠<br />
R<br />
C<br />
≀ <br />
L<br />
≀<br />
I(t) =<br />
V ◦ e iωt<br />
R + Z C + Z L<br />
.<br />
Mit den Impedanzen darf in komplexer Schreibweise wie<br />
mit Ohmschen Widerständen gerechnet werden.<br />
Für den Realteil erhalten wir<br />
{<br />
V ◦<br />
R{I(t)} = R<br />
R + iωL + 1<br />
iωC<br />
e iωt }<br />
= R<br />
{<br />
V◦ (R − i(ωL − 1<br />
}<br />
))(cosωt + i sin ωt)<br />
ωC<br />
(R + i(ωL − 1<br />
1<br />
))(R − i(ωL − )) ωC ωC<br />
= V ◦ (R cos ωt + (ωL − 1 ) sin ωt)<br />
ωC<br />
R 2 + (ωL − 1 =<br />
ωC )2<br />
mit (vgl. Anhang C.1.1) tanδ = ωL − 1<br />
ωC<br />
R<br />
V ◦<br />
√<br />
R2 + (ωL − 1<br />
ωC )2 cos(ωt − δ) = I ◦ cos(ωt − δ) ,<br />
<strong>und</strong> I ◦ =<br />
V ◦<br />
√<br />
R2 + (ωL − 1<br />
ωC )2 (73)<br />
Die Stromamplitude I ◦ hängt in ähnlicher Weise von ω ab wie die Amplitude der stationären,<br />
erzwungenen Schwingung eines linearen, harmonischen Oszillators [Mechanik<br />
Kap. 7.4]. Auch die Wechselstromamplitude I ◦ (ω) zeigt Resonanz.<br />
I ◦ erreicht seinen maximalen Wert<br />
δ<br />
I o max<br />
I o max<br />
2<br />
0<br />
I o<br />
ω ο<br />
∆ω1/2<br />
+π/2<br />
0<br />
−π/2<br />
ω<br />
I ◦ = I 0,max = V ◦<br />
R ,<br />
wenn ωL = 1<br />
ωC , d.h. ω2 = ω◦ 2 = 1<br />
LC .<br />
Die Resonanzfrequenz ist also gerade durch die<br />
Thomson-Bedingung beim ungedämpften LC-<br />
Schwingkreis gegeben. An dieser Stelle ist<br />
δ = 0, d.h. Strom <strong>und</strong> Spannung sind in Phase. Die Breite der Resonanzkurve wird wie<br />
in der Mechanik durch die Dämpfung, d.h. durch R bestimmt. Der genaue Vergleich von<br />
Gleichung (73) mit der Amplitude der erzwungenen mechanischen Schwingung zeigt, dass<br />
R/L der mechanischen Grösse β/m entspricht. Somit können wir auch die in der Mechanik<br />
80
[Kap. 7.4] hergeleitete Formel für die Halbwertsbreite der Resonanzkurve bei schwacher<br />
Dämpfung übernehmen. Die “gesamte Breite bei halber Höhe” (FWHM = Full Width at<br />
Half Maximum) ist mit Gl. (73)<br />
1<br />
4R = 1<br />
2 R 2 + (ω ′ L − 1/ω ′ C) , <strong>und</strong> 2 ω′ = ω ◦ + ∆ω für ∆ω ≪ ω ◦ ⇒ ∆ω 1/2 ≈ √ 3 R . L<br />
Anwendung: Mit dieser Resonanz eines Schwingkreises wird bei Radio- oder TV-<br />
Empfängern selektiv eine Sendefrequenz herausgefiltert.<br />
5) Parallelschaltung Die Rechnung läuft analog zum vorherigen Beispiel. Es sei nur<br />
R Ω<br />
≀ noch erwähnt, dass bei der Parallelschaltung von Impedanzen<br />
1<br />
♠∼ C R L<br />
wie bei der von Ohm’schen Widerständen gilt = ∑ 1<br />
.<br />
≀<br />
Z tot i<br />
Z i Als 2. Dämpfung wirkt der Ohm’sche Widerstand R Ω der Spule.<br />
5.3.5 Transformatoren<br />
I p I s der Skizze getrennt gezeichnet), wobei an Spule 1 eine Wechselspannung<br />
Wir betrachten zwei eng übereinander gewickelte Spulen (in<br />
angelegt sei. L 12 sei der Koeffizient der gegensei-<br />
~ L R<br />
V o e i t 2<br />
tigen Induktion. Sein Vorzeichen hängt vom Wicklungssinn<br />
der beiden Spulen ab. Der Widerstand der Spule 1 wird ver-<br />
L 1<br />
L 12<br />
nachlässigt. Dann gilt gemäss Kirchhoff<br />
für Spule 1: V ◦ e iωt dI s<br />
± L 12<br />
dt = L dI p<br />
dI p<br />
1 <strong>und</strong> für Spule 2: ± L 12<br />
dt<br />
dt = L 2<br />
Diese zwei gekoppelten Differentialgleichungen können mit dem Ansatz 72<br />
I p (t) = I p◦ e iωt <strong>und</strong> I s (t) = I s◦ e iωt gelöst werden.<br />
dI s<br />
dt + I s R .<br />
Dabei sollen die beiden Amplituden I p◦ <strong>und</strong> I s◦ komplex sein, d.h. zwischen ihnen kann<br />
eine Phase bestehen. Einsetzen in die Differentialgleichungen ergibt:<br />
V ◦ = L 1 I p◦ iω ∓ L 12 I s◦ iω <strong>und</strong> 0 = L 2 I s◦ iω ∓ L 12 I p◦ iω + I s◦ R .<br />
Daraus berechnet man<br />
I s◦ = ±<br />
V ◦<br />
R L 1<br />
L 12<br />
+ iω( L 1L 2 −L 2 12<br />
L 12<br />
)<br />
<strong>und</strong> I p◦ =<br />
V ◦ (R + iωL 2 )<br />
iωRL 1 − ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) . (74)<br />
Für einen idealen Transformator mit Eisenkern gilt:<br />
1. Alle Feldlinien verlaufen im Eisenkern (keine Sättigung oder Streufeld).<br />
2. Es gibt keine Wirbelstromverluste im Eisenkern (z.B. lamellierter Eisenkern).<br />
3. Der Primärkreis (Spule 1) hat keinen Ohmsche Widerstand.<br />
N<br />
Nach Gl. (67) ist dann L 1 = µµ<br />
1A<br />
2 N<br />
◦ <strong>und</strong> L 2 = µµ<br />
2A<br />
2<br />
◦ .<br />
l<br />
l<br />
L 12 erhält man aus folgender Überlegung. Spule 1 induziert in Spule 2 eine EMK<br />
dI p<br />
V m,2 = −L 12<br />
dt = −N dΦ 1<br />
2<br />
dt<br />
d<br />
= −N 2<br />
dt (AB d<br />
1) = −N 2<br />
dt (Aµµ N 1<br />
◦<br />
l I N 1 N 2 A<br />
p) = −µµ ◦<br />
l<br />
dI p<br />
dt .<br />
72 Die Lösung ist nicht vollständig, es interessiert jedoch nur die harmonische partikuläre Lösung.<br />
Als andere Methode kann man die 2. Differentialgleichung in die 1. einsetzen <strong>und</strong> erhält dann eine<br />
Differentialgleichung 1. Ordnung (vgl. auch Fussnote 76 zur Lösung gekoppelter Dgl’s).<br />
81
N 1 N 2 A √<br />
Mit L 1 , L 2 ist: L 12 = µµ ◦ = L 1 L 2 <strong>und</strong> L 12 < √ L 1 L 2 bei nicht idealer<br />
l<br />
Kopplung. Aus Gl. (74) erhält man dann mit L 2 12 = L 1 L 2 , L 1 /L 2 = N1/N 2 2<br />
2<br />
I s◦<br />
= ± V ◦<br />
R L = ± V ◦ N 2<br />
1<br />
L 12<br />
R N 1<br />
I p◦ = V ◦ (R + iωL 2 )<br />
iω R L 1<br />
= V ◦ (−iR + ωL 2 )<br />
ω R L 1<br />
Strom <strong>und</strong> Spannung in ±Phase (Wickelsinn)<br />
= V ◦<br />
L 1<br />
( L 2<br />
R − i 1 ω ) .<br />
Falls R ≪ ωL 2 , so ist<br />
I p◦ ≈ V ◦ N2<br />
2<br />
R N1<br />
2<br />
Strom <strong>und</strong> Spannung sind in Phase.<br />
Also wird das Verhältnis der Stromamplituden:<br />
Das entsprechende Verhältnis der Spannungen ist<br />
I p◦<br />
I s◦<br />
≈ ± N 2<br />
N 1<br />
.<br />
V ◦ e iωt<br />
I s R =<br />
V ◦<br />
I s◦ )R = ±V ◦<br />
R<br />
R N 1<br />
V ◦ N 2<br />
= ± N 1<br />
N 2<br />
,<br />
also<br />
V p◦<br />
V s◦<br />
≈ ± N 1<br />
N 2<br />
.<br />
Mit dem Transformator können also z.B. hohe Spannungen, mit denen Elektrizität vom<br />
Erzeugungsort zum Verbraucher transportiert wird, auf niedrige Spannungen am Verbraucherort<br />
umgespannt (transformiert) werden. Zwei Spezialfälle sind<br />
V ◦ L 12 iω<br />
a) Kurzschluss R = 0 ⇒ I s◦ = −<br />
ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) → ∞, I V ◦ L 2 iω<br />
p◦ = −<br />
ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) → ∞.<br />
b) keine Last R = ∞ ⇒ I s◦ = 0, I p◦ = V ◦<br />
keine Leistung bei π/2 Phase.<br />
iωL 1<br />
c) Eine Phasenverschiebung kann durch eine C,L-Kombination kompensiert werden.<br />
5.3.6 Arbeitsleistung eines Wechselstromes<br />
Wird ein harmonischer Oszillator an ein Netzwerk mit einer komplexen Impedanz<br />
angeschlossen, so sind Strom <strong>und</strong> Spannung im allgemeinen<br />
V(t)<br />
I(t) nicht in Phase. Ist V = V ◦ cosωt <strong>und</strong> I = I ◦ cos(ωt + ϕ),<br />
so ist die momentane Leistung 73<br />
−ϕ<br />
t<br />
P = IV = I ◦ V ◦ · cos(ωt + ϕ) cos ωt .<br />
Die im Zeitintervall dt vom Generator geleistete Arbeit ist<br />
dW = IV dt = I ◦ V ◦ cosωt · cos(ωt + ϕ)dt = I ◦V ◦<br />
[cos(2ωt + ϕ) + cosϕ]dt.<br />
2<br />
Die über eine Periode gemittelte Leistung ¯P des Generators ist mit T = 2π/ω<br />
IV<br />
+ +<br />
– –<br />
t<br />
¯P = 1 T<br />
∫T<br />
0<br />
also<br />
dW = 1 T<br />
∫T<br />
0<br />
I ◦ V ◦<br />
[cos(2ωt + ϕ) + cosϕ]dt<br />
2<br />
¯P =<br />
I ◦ V ◦<br />
2 cos ϕ = V effI eff cos ϕ<br />
73 Hier darf nicht komplex gerechnet werden da R{I · V } ≠ R{I} · R{V } = P ist.<br />
82
mit V eff = V ◦<br />
√<br />
2<br />
; I eff = I ◦<br />
√<br />
2<br />
= 0.707I ◦ . I eff ist die Stromstärke, die ein Gleichstrom haben<br />
müsste, um dieselbe Leistung abzugeben wie der betreffende Wechselstrom. Der Effektivwert<br />
unseres Elektrizitätsnetzes ist 230 V. Hitzdrahtinstrumente oder Elektrometer,<br />
deren Anzeigen von der Stromrichtung unabhängig sind, geben Effektivwerte an.<br />
I2<br />
o I 2 (t)<br />
Bei Ohm’schen Widerständen ist ϕ = 0 <strong>und</strong> deshalb<br />
¯P = I eff V eff = 1 2 I ◦V ◦<br />
I eff<br />
2<br />
I o<br />
Bei Selbstinduktionnen oder Kapazitäten ist ϕ = ±π/2,<br />
also ¯P = 0. Dies sind wattlose Schaltelemente. Die in jeder<br />
t<br />
Halbperiode zum Aufbau des Feldes im Kondensator oder<br />
I(t) der Spule notwendige Energie wird in der nächsten<br />
Halbperiode wiedergewonnen. Deshalb nennt man ¯P die Wirkleistung <strong>und</strong> I eff V eff die<br />
Scheinleistung 74 .<br />
5.4 Maxwell’scher Verschiebungsstrom <strong>und</strong> Gleichungen<br />
5.4.1 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom<br />
Das Faradaysche Induktionsgesetz zeigt, dass zeitlich variable Magnetfelder elektrische<br />
Felder induzieren. Es stellt sich die Frage, ob umgekehrt auch zeitlich variable elektrische<br />
Felder Magnetfelder erzeugen können. Diese Frage ist eng mit jener verknüpft, ob<br />
alle Ströme geschlossen sind. Das Ampère’sche Gesetz ∮ ⃗ H d⃗s = I kann nur dann allgemeingültig<br />
sein, wenn der Strom nirgends unterbrochen wird. Stationäre Ströme sind<br />
geschlossen. Bei einem nichtstationären Wechselstrom über einen Kondensator endet der<br />
Leitungsstrom jedoch an den Kondensatorplatten. Maxwell führte deshalb den<br />
Verschiebungsstrom ein:<br />
Der Strom I = dQ in einem Leiter erzeugt ein Magnetfeld H, ⃗ dt<br />
~ H→ A einen Schlauch magnetischer Feldlinien um den Leiter. In einer<br />
Anordnung mit Wechselstrom <strong>und</strong> einem Plattenkondensator<br />
E →<br />
gilt dies für den Leiter von <strong>und</strong> zum Kondensator.<br />
H → A D<br />
I<br />
Maxwells Verallgemeinerung: Das H-Feld ⃗ umfasst auch das sich<br />
ändernde E-Feld ⃗ im Kondensator.<br />
Der fliessende Strom ist hier nur durch das sich zeitlich ändernde elektrische Feld dem<br />
Verschiebungsstrom gegeben. Damit wird der Strombegriff erweitert. Es gibt nur geschlossene<br />
Ströme: im Leiter den Leitungsstrom <strong>und</strong> im Kondensator den Verschiebungsstrom.<br />
Damit wird das Ampére’sche Gesetz formuliert mit einer Kontur C D um den Draht:<br />
∮ ∫<br />
H ⃗ d⃗r = ⃗j dA ⃗ = I<br />
A D<br />
C D<br />
A D ist die von C D umschlossene Fläche. Um den Kondensator mit der Kontur C <strong>und</strong> der<br />
∮<br />
Fläche A gilt ⃗H d⃗r = I <strong>und</strong> I = dQ<br />
dt = ∂ ∫<br />
σ dA = ∂ ∫<br />
D n dA<br />
∂t ∂t<br />
C<br />
74 Eine eventuelle Blindenergie wird beim Elektrizitätstarif berücksichtigt: “Wird der Leistungsfaktor<br />
cos ϕ = 0.92 während den Hochbelastungsst<strong>und</strong>en unterschritten, so ist für jede mehr bezogene Blindkilowattst<strong>und</strong>e<br />
2.5 Rp/kW zu bezahlen” Gemeinde Zollikon 21.3.1973.<br />
83<br />
A<br />
A
mit σ der Flächenladungsdichte auf einer Kondensatorplatte. Da aus dem allgemeinen<br />
Gaussschen Satz gilt Q = ∫ D n dA <strong>und</strong> D n = Q/A = σ für den Plattenkondensator, folgt:<br />
∮<br />
C<br />
∫<br />
⃗H d⃗r =<br />
A<br />
∂D n<br />
∂t dA + ∫<br />
A<br />
j n dA sowie differentiell ∇ × ⃗ H = ⃗j + ∂ ⃗ D<br />
∂t<br />
(75)<br />
Dies ist die Integral- <strong>und</strong> Differentialform der 4. Maxwell’schen Gleichung . Sie ist<br />
eine neue Stromdefinition. Jede zeitliche Änderung eines ⃗ D-Feldes stellt einen Strom dar,<br />
der sich durch seine magnetische Wirkung äussert, die wiederum gleich jener durch die<br />
Leitungsströme ist.<br />
Es gibt auch einen theoretischen Gr<strong>und</strong>, den Verschiebungsstrom einzuführen.<br />
Die Vektoroperation ∇ · (∇ × ⃗ H) = 0<br />
ist nach (Anhang C.2) für ein beliebiges Vektorfeld gültig. Wäre ∇ × H ⃗ = ⃗j vollständig,<br />
so würde folgen ∇ ·⃗j = 0 <strong>und</strong> die elektrische Stromdichte aus einer Fläche heraus wäre<br />
immer null, im Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung ∇ · ⃗j = − ∂ρ . Der Widerspruch<br />
∂t<br />
kann beseitigt werden, wenn nach Gl. (75) zu ⃗j noch der Term ∂D/∂t ⃗ addiert wird. Es<br />
gilt dann mit ∇ · ⃗D = ρ sowie vertauschen von ∇ <strong>und</strong> ∂ ∂t<br />
∇ · (∇ × ⃗ H) = ∇ ·⃗j + ∇ · ∂ ⃗ D<br />
∂t = ∇ ·⃗j + ∂ρ<br />
∂t = −∂ρ ∂t + ∂ρ<br />
∂t = 0<br />
Ein direkter Nachweis des Verschiebungsstromes ist schwierig, da in elektrischen Feldern<br />
mit langen Feldlinien keine Verschiebungsströme hinreichender Grösse erzeugt werden<br />
können. Mit Hochfrequenzfeldern treten Probleme auf, da dann der offene Kondensator<br />
als eine Antenne elektromagnetische Wellen abstrahlt (Kap. ??).<br />
5.4.2 Die Maxwell’schen Gleichungen<br />
Damit haben wir vier Maxwell-Gleichungen, mit denen vollständig die Statik <strong>und</strong> Dynamik<br />
von Ladungen <strong>und</strong> Strömen mit ihren Feldern ⃗ D = εε ◦<br />
⃗ E <strong>und</strong> ⃗ B = µµ◦ ⃗ H beschrieben<br />
werden.<br />
ε ◦ = 10 7 /4πc 2 [A 2 /N] = 0.8854188 · 10 −11 [As/V m]<br />
µ ◦ = 4π · 10 −7 [N/A 2 ] = 1.256637 · 10 −6 [V s/Am]<br />
mit c = 1/ √ ε ◦ µ ◦ = 299792458 m/s. c ist seit 1983 definiert <strong>und</strong> deshalb exakt.<br />
84
Integralform<br />
Differentialform<br />
(76)<br />
D ⃗ = εε◦E ⃗ = ε◦E ⃗ + P ⃗<br />
Gauss’ Satz:<br />
Quellen:<br />
∫<br />
∫ A D ndA = ∫ V ρdτ ∇ · ⃗D = ρ<br />
A B ndA = 0 ∇ · ⃗B = 0<br />
Faraday’ Induktionsgesetz:<br />
Wirbel:<br />
∮C Edr ⃗ = − ∫ A ḂndA ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗<br />
∂t<br />
Ampère-Gesetz:<br />
∮C Hd⃗r ⃗ = ∫ A j ndA + ∫ A ḊndA ∇ × H ⃗ = ∂ D ⃗<br />
∂t<br />
+⃗j<br />
⃗B = µµ ◦H ⃗ = µ◦ ( H ⃗ + M) ⃗<br />
Kraftgesetz: F ⃗ = q · ( E ⃗ + ⃗v × B) ⃗<br />
Potentiale:<br />
⃗E = −∇V ∆V = −ρ/εε ◦<br />
⃗B = ∇ × A ⃗ ∆A ⃗ = −µµ ◦<br />
⃗j<br />
Materialgesetze:<br />
Kurze Diskussion der Maxwell Gleichungen<br />
1. Die Maxwell-Gleichungen sind gekoppelte, lineare partielle Differentialgleichungen<br />
1.Ordnung in ⃗r <strong>und</strong> t.<br />
2. ρ(⃗r,t) <strong>und</strong> ⃗j(⃗r,t) beeinflussen ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ B als “Nahwirkung” über die 1. <strong>und</strong> 4. Gl. (76).<br />
3. ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ B sind wechselseitig voneinander abhängig: mit ∂ ⃗ E/∂t ≠ 0 folgt ein Wirbelfeld<br />
(∇× ⃗ B ≠ 0) <strong>und</strong> ∂ ⃗ B/∂t ≠ 0 wird durch ∇× ⃗ E ≠ 0 mit dem Induktionsgesetz kompensiert.<br />
4. Die 1. Gl. (76) beinhaltet die Existenz von Ladungen (Quellen <strong>und</strong> Senken des elektrischen<br />
Feldes), aus der 2. Gl. (76) folgt, dass magnetische Monopole nicht existieren <strong>und</strong><br />
magnetische Feldlinien geschlossen sein müssen.<br />
5. Die Kirchhoffsche Maschenregel wird durch die 3. Gl. (76) ∮ ⃗ C Edr = − ∫ A ḂndA = − ˙Φ<br />
mit beliebiger Masche (Integrationsweg C) <strong>und</strong> der elektromotorischen Kraft − ˙Φ (z.B.<br />
Batterie, Generator) dargestellt.<br />
6. Die 4. Gl. (76) ∇ × H ⃗ = ˙⃗ D + ⃗j mit ∇ · ⃗j = ∇ · (<br />
∇ × H ⃗ )<br />
−∇ ·<br />
˙⃗D = − ˙ρ<br />
} {{ }<br />
beinhaltet die Knotenregel. Für jede geschlossenen Fläche gilt, sofern sie nicht zwischen<br />
∑<br />
Kondensatorplatten hindurchgeht, Ii = ∫ Jd ⃗ A ⃗ = 0.<br />
7. Der physikalische Raum kann in einen elektromagnetischen Zustand versetzt werden,<br />
der durch das elektromagnetisches Feld beschrieben wird <strong>und</strong> dessen experimentell prüfbare<br />
Eigenschaften durch die Maxwell-Gleichungen dargestellt werden. Diese formale, mathematische<br />
Struktur vereinigt die elektrischen mit den magnetischen Feldern zu einer<br />
einzigen elektromagnetischen Wechselwirkung. Die Vereinigung der elektromagnetischen<br />
Wechselwirkung mit der Optik, d.h. der Beschreibung der elektromagnetischen Wellen wie<br />
auch des Lichtes durch die Maxwell-Gleichungen wird in folgenden Kapiteln behandelt.<br />
=0<br />
85
A <strong>Physik</strong>alische Konstanten Stand 1986<br />
<strong>Physik</strong>alische Grösse Symbol Wert(Fehler) Einheit Fehler<br />
(ppm)<br />
Lichtgeschwindigkeit c 2.99792458 × 10 8 m s −1 exakt<br />
magn. Feldkonst., Induktionskonst. µ 0 4π × 10 −7 V s A −1 m −1 exakt<br />
el. Feldkonst., Influenzkonst.=1/µ 0 c 2 ǫ 0 8.854187817 × 10 −12 A s V −1 m −1 exakt<br />
Gravitationskonstante G 6.67259(85) × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 128<br />
Standardschwerebeschleunigung g n 9.80665 m s −2 exakt<br />
Fallbeschleunigung Zürich (452 m) g Z 9.80652 m s −2<br />
Plancksche Konstante h 6.6260755(40) × 10 −34 J s 0.60<br />
h/2π ¯h 1.05457266(63) × 10 −34 J s 0.60<br />
¯hc 197.327053(59) MeV fm 0.30<br />
Elementarladung e 1.60217733(49) × 10 −19 A s = C 0.30<br />
magnetische Flussquant, h/2e Φ 0 2.06783461(61) × 10 −15 V s = Wb 0.30<br />
quatisierter Hall-Widerst. h/e 2 R H 2.58128056(12) × 10 4 V A −1 = Ω 0.045<br />
Feinstrukturkonstante, µ 0 ce 2 /2h α 7.29735308(33) × 10 −3 0.045<br />
inverse Feistrukturkonstante α −1 137.0359895(61) 0.045<br />
Atomare Masseneinheit m( 12 C) u 1.6605402(10) × 10 −27 kg 0.59<br />
u 931.49432(28) MeV/c 2 0.30<br />
Spezifische Ladung des Elektrons −e/m e −1.75881962(53) × 10 11 C kg −1 0.30<br />
Elektronenmasse m e 9.1093897(54) × 10 −31 kg 0.59<br />
m e 5.48579903(13) × 10 −4 u 0.023<br />
m e 0.51099906(15) MeV/c 2 0.30<br />
Myonenmasse m µ 1.8835327(11) × 10 −28 kg 0.61<br />
m µ 105.658389(34) MeV/c 2 0.32<br />
m µ /m e 206.768262(30) 0.15<br />
Protonenmasse m p 1.6726231(10) × 10 −27 kg 0.59<br />
m p 1.007276470(12) u 0.012<br />
m p 938.27231(28) MeV/c 2 0.30<br />
m p /m e 1836.152701(37) 0.020<br />
Neutronenmasse m n 1.6749286(10) × 10 −27 kg 0.59<br />
m n 1.008664904(14) u 0.014<br />
m n 939.56563(28) MeV/c 2 0.30<br />
m n /m e 1838.683662(40) 0.022<br />
m n /m p 1.001378404(9) 0.009<br />
Rydberg-Energie, chR ∞ E Ry 13.6056981(41) eV 0.30<br />
Bohrscher Radius, α/(4πR ∞ ) a 0 0.529177249(24) × 10 −10 m 0.045<br />
Compton Wellenlänge, h/m e c λ e 2.42631058(22) × 10 −12 m 0.089<br />
klassischer Elektronenradius, α 2 a 0 r e 2.81794092(38) × 10 −15 m 0.13<br />
Thomson Wirkungsquersch., re8π/3 2 σ e 0.66524616(18) × 10 −28 m 2 0.27<br />
Bohrsche Magneton, e¯h/2m e µ B 927.40154(31) × 10 −26 J/T = A m 2 0.34<br />
Myonmagneton, e¯h/2m µ µ M 4.4852219(15) × 10 −26 J/T 0.34<br />
Kernmagneton, e¯h/2m p µ N 0.50507866(17) × 10 −26 J/T 0.34<br />
g-Faktor Elektron, 2µ e /µ B g e 2 × 1.001159652193(10) 10 −5<br />
g-Faktor Myon, 2µ µ /µ M g µ 2 × 1.001165924(9) 0.009<br />
g-Faktor Proton, 2µ p /µ N g p 2 × 2.792847386(63) 0.023<br />
g-Faktor Neutron, 2µ n /µ N g n −2 × 1.91304275(45) 0.024<br />
Gyromag. Verhältnis Proton B/ω γ p 2π × 42.577469(13) 2π MHz T −1 0.30<br />
Gyromag. Verhältnis Myon B/ω γ µ 2π × 135.538,793(40) 2π MHz T −1 0.30<br />
Magn. Moment Verhältnis µ µ /µ p 3.18334547(47) 0.24<br />
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ p −0.68497934(16) 0.24<br />
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ e −0.00104066882(25) 0.24<br />
Avogadro (Loschmidt) Konstante N ◦ =L 6.0221367(36) × 10 23 mol −1 0.59<br />
Faraday-Konstante, N ◦ e F 96485.309(29) C mol −1 0.30<br />
Molare Gaskonstante R 8.314510(70) J K −1 mol −1 8.4<br />
Boltzmann-Konstante, R/N ◦ k 1.380659(12) × 10 −23 J K −1 8.5<br />
Molvolumen (273.15 K, 101325 Pa) V M 22.41410(19) × 10 −3 m 3 mol −1 8.4<br />
Wiensche Konstante, λ max T b 2.897756(24) × 10 −3 m K 8.4<br />
Stefan-Boltzmann-Konstante σ 5.67051(19) × 10 −8 W m −2 K −4 34<br />
86
B<br />
Grössen <strong>und</strong> Einheiten der <strong>Physik</strong><br />
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem<br />
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Gr<strong>und</strong>lagen der Einheiten, Zahlenwerte, Dimensionen<br />
<strong>und</strong> Einheitensysteme zusammenfassend dargestellt [vgl. Kamke, Krämer;<br />
<strong>Physik</strong>alische Gr<strong>und</strong>lagen der Masseinheiten, Teubner 1977].<br />
B.1.1<br />
Grösse <strong>und</strong> Zahlenwert<br />
Für eine physikalische Grösse G gibt der Messwert {G} an, wie oft die Einheit [G] in G<br />
enthalten ist:<br />
{G} = G oder G = {G} [G] für Gleichungen.<br />
[G]<br />
Z.B. v = 50 km (ohne [. . . ]), 50 ist hier als Messwert eine reine Zahl. Mit Angabe des<br />
h<br />
Messfehlers schreibt man: v = (50 ± 2) km oder auch v = 50(2) km , wobei der Fehler der<br />
h<br />
h<br />
letzten angegebenen Stellen in Klammern gesetzt wird.<br />
B.1.2<br />
Grössenart <strong>und</strong> Dimension<br />
Längenangaben, wie z.B. Höhe, Umfang, Dicke, haben die gleiche Grössenart Länge, die<br />
Dimension dieser Grösse ist die Länge. Die Einheiten können sein: 1 m, 1 inch, 1 Lichtjahr,<br />
usw.<br />
Summen <strong>und</strong> Differenzen sowie Vergleiche (, ≥, =, ≠) können nur zwischen<br />
Grössen gleicher Grössenart <strong>und</strong> gleicher Dimension gebildet werden.<br />
∆r<br />
Eine Differentiation z.B. v = lim<br />
∆t→0 ∆t = dr [ ] m<br />
dt s<br />
liefert die Dimension der zu differenzierenden Grösse dividiert durch die Dimension des<br />
Differentials <strong>und</strong> bei einer Integration<br />
r =<br />
∫t<br />
t ◦<br />
v(t ′ )dt ′ [m] durch Multiplikation des Differentials.<br />
Es gibt einige Grössenarten, die die gleiche Dimension haben, wie z.B. der Skalar<br />
Energie oder die Arbeit ∫ ⃗ F · d⃗r [Fl] <strong>und</strong> der Pseudovektor (Axialvektor) Drehmoment<br />
⃗r × ⃗ F [lF]. Diese Grössen unterscheiden sich jedoch physikalisch durch ihr Stufe (Skalar<br />
S, Pseudoskalar P, Vektor oder polarer Vektor V , Pseudovektor oder axialer Vektor A,<br />
Tensor T).<br />
In Additionen <strong>und</strong> Subtraktionen dürfen nur Grössen gleicher Stufe verb<strong>und</strong>en werden.<br />
Für das Produkt von Grössen verschiedener Stufen gelten aus Symmetriegründen<br />
Gr<strong>und</strong>regeln, wie V · V = S, V × V = A, V × A = V (vgl. Fussnote S. ??).<br />
Eine Division ist nur mit Skalaren einfach. Tritt formell der Ausdruck ⃗a/ ⃗ b auf, dann<br />
kann mit einer Erweiterung mit ⃗ b gebildet werden<br />
⃗a ⃗a ·⃗b ⃗a ·⃗b<br />
= =<br />
⃗ b ⃗ b ·⃗ b b . 2<br />
Dieser Rechentrick kann auch für komplexe Zahlen (als 2-dim. Vektoren) angewendet<br />
werden.<br />
87
B.1.3<br />
Grössengleichungen<br />
In Gleichungen, wie F = Γ m 1m 2<br />
muss die Dimension rechts <strong>und</strong> links identisch sein<br />
r 2<br />
(Dimensionskontrolle). Damit ist die Dimension von Γ [ ]<br />
Nm 2<br />
kg bestimmt.<br />
2<br />
Mathematische Funktionen in Grössengleichungen, wie sin, cos, log, ln, sinh,<br />
exp, müssen als Argument unbenannte (dimensionslose oder Eins-Elemente)<br />
Zahlen (auch komplexe) enthalten, z.B. sin(ωt) = sin(2πνt), sin(2πx/λ),<br />
exp(−t/τ). ..<br />
Diese Regel wird in der Technik <strong>und</strong> Medizin oft missachtet [z.B. Grössenklasse eines<br />
Sternes m v = −2.5 · log 10 (Luminosität [W/m 2 ]/2.52 · 10 −8 )]. Einheiten <strong>und</strong> Dimensionen<br />
gehen verloren, es besteht die Gefahr von Rechenfehlern <strong>und</strong> Dimensionskontrollen können<br />
nicht mehr durchgeführt werden. Die Formel ist keine Grössengleichung.<br />
B.1.4<br />
Winkel <strong>und</strong> Raumwinkel<br />
ϕ 2<br />
ϕ<br />
s<br />
R=1<br />
ϕ 1<br />
ϕ=0<br />
Ein Winkel wird definiert als das Bogenmass d.h. die Bogenlänge<br />
im Einheitskreis:<br />
ϕ = s R = s<br />
1m<br />
[rad] mit R = 1.<br />
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = s 2<br />
1 m − s 1<br />
1 m = s 2<br />
R − s 1<br />
R .<br />
Das Bogenmass ist eine dimensionslose Grösse (Verhältnisgrösse) mit der Bezeichnung<br />
rad (Radiant), ein voller Winkel ist ϕ = 2π. Die auch übliche Angabe in Grad ist<br />
Grad= rad · 180 ◦ /π mit 360 ◦ für den vollen Winkel.<br />
Der Raumwinkel ist die auf einer Einheitskugel aufgespannte Kugeloberfläche<br />
A<br />
Ω<br />
R=1<br />
Ω = A<br />
1 m 2 = A R 2 [sr]<br />
mit der Einheit [sr] (Steradiant). Eine Vollkugel hat Ω = 4π sr.<br />
Manchmal wird der Raumwinkel (z.B. eines Detektors) auch in<br />
Einheiten von 4π angegeben.<br />
B.1.5<br />
Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen<br />
Als Bedingungen für ein Einheitensystem können die folgenden aufgestellt werden 75 :<br />
(i) Beschränkung auf ein Minimum an Einheiten<br />
(ii) Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikation<br />
<strong>und</strong> Division bestehender Grössen bestimmt werden. Z.B. Fläche=(Länge) 2 , nicht aber<br />
Länge= √ Fläche mit der Fläche als Basis.<br />
(iii) Die Struktur des physikalischen Begriffsystems ist durch folgende Axiome gegeben:<br />
1. C = A · B Multiplikative Bildung von Grössenarten. Hierbei ist keine der Grössen<br />
A,B,C voreinander ausgezeichnet.<br />
2. Unbenannte Zahlen (1) = A ◦ (Eins-Elemente) ändern die Dimension einer Grösse<br />
nicht, A·(1) = A, z.B. [Länge]·5=[Länge], [Bogenlänge/Radius]=(1) [rad], [Wirkungsgrad<br />
75 Fleischmann, Zeitschrift für <strong>Physik</strong> 129(1951)377. Hier beziehen sich Produkt, Quotient, Multiplikation,<br />
Division nicht nur auf reine unbenannte Zahlen (dimensionslose Grössen) oder Skalare sondern auf<br />
allgemein benannte Grössen.<br />
88
η= Arbeit/Wärme].<br />
3. Reziproke Grössen A −1 multipliziert mit der Grösse A ·A −1 = (1) ergibt unbenannte<br />
Zahlen, z.B. [Frequenz·Zeit]=(1).<br />
4. Es gilt das assoziative Gesetz A · (B · C) = (A · B) · C <strong>und</strong> das kommutative Gesetz<br />
A · B = B · A. Die Bedingungen 1.-4. bilden eine kommutative Abelsche Gruppe.<br />
5. Für alle A ≠ (1) <strong>und</strong> m ∈ IN \ 0 gilt A m ≠ (1), d.h. die Gruppe ist keine Drehgruppe,<br />
sie ist torsionsfrei 76 .<br />
6. Die aus unendlich vielen Grössenarten bestehende Gesamtheit besitzt ein endliches<br />
Erzeugendensystem, d.h. es gibt endlich viele (N)-Elemente C p , C q , ...C r , so dass jedes<br />
Element X sich bildet mit X = Cp<br />
αp · Cq<br />
αq · Cr αr , α i ganzzahlig. Eindeutigkeit besteht,<br />
wenn kein C i durch die anderen ausgedrückt werden kann (unabhängige Erzeugende bzw.<br />
Basis). Eindeutigkeit der Darstellung wird nicht vorausgesetzt, z.B. ist ⃗r × F ⃗ = −F ⃗ × ⃗r.<br />
1.-6. sind das vollständige Axiomensystem der Gruppe, für die gilt:<br />
Satz: Es gibt mindestens eine Basis B 1 ...B n mit n ≤ N.<br />
Für n = 1 gibt es genau zwei Basen B 1 <strong>und</strong> B1 −1 .<br />
Für n > 1 gibt es unendlich viele, gleichwertige Basissysteme. Ein Basissystem entspricht<br />
den n linear unabhängigen Gr<strong>und</strong>vektoren eines n-dimensionalen Punktgitters.<br />
Die Anzahl der Elemente einer Basis werden durch folgende Bedingungen bestimmt:<br />
Es gebe in einem Gebiet k voneinander unabhängige Gleichungen zwischen l Grössenarten<br />
mit l > k, dann sind n = l − k unbestimmt <strong>und</strong> damit Gr<strong>und</strong>grössen (Basis).<br />
Z.B. in der Geometrie ist l eine Gr<strong>und</strong>grösse mit den Gleichungen A = l 2 , V = l 3 ;<br />
in der Kinematik die zwei Gr<strong>und</strong>grössen Länge, Zeit mit den Gleichungen v = l/t, a = l/t 2 ;<br />
in der Dynamik mit drei Gr<strong>und</strong>grössen:<br />
a) Système International d’Unites (SI) {l,Masse,t} mit [m, kg, s]<br />
b) technisches System {l,F,t} mit [m, kp, s]<br />
c) natürliche Einheiten {v, Energie E, Wirkung S} mit c = m e c 2 = ¯h = 1<br />
d) sowie viele andere mögliche Systeme.<br />
<strong>Physik</strong>alisch sind alle Basen gleichbedeutend, die Einheiten (Masszahlen wie cm, m,<br />
s, Std, Lichtjahre . . . ) sind belanglos, wesentlich ist die Verknüpfung <strong>und</strong> deren Eindeutigkeit.<br />
Es darf keine zweite, verschiedene, gleichzeitig geforderte Definition geben. Die<br />
Begriffsverknüpfungen (Definfitionen von Grössenarten der Form A · B = C) sind keine<br />
Naturgesetze, sie passen sich jedoch der Naturerfahrung an (wie v = l/t, F = m · b)<br />
ud stehen mit der <strong>Physik</strong> nicht im Widerspruch. Die Ganzzahligkeit des Exponenten ist<br />
eine reine Zweckmässigkeit, gebrochene Exponenten ( √ E) sind mathematisch einfach ,<br />
physikalisch jedoch problematischer einzuführen.<br />
Vorsicht: Zusatzvereinbarungen, die das n te Basiselement aus den (n − 1) restlichen<br />
definieren, verletzen die Eindeutigkeit.<br />
Z.B. müsste im elektrostatischen cgs-System Q(el. Ladung) ein unabhängiges Basiselement<br />
sein, jedoch ist E · l = Q · Q, Q = √ E · l = l · √Kraft<br />
<strong>und</strong> im magnetischen<br />
cgs-System ist der Induktionsfluss(Polstärke)= √ E · l = l · √Kraft.<br />
Diese Zusatzforderung<br />
besagt, der Quotient beider Seiten ist dimensionslos, d.h. man kann nur in diesem<br />
Dimensionssystem jede Grösse mit diesem Quotienten multiplizieren ohne die Grössen zu<br />
verändern, jedoch nicht in einem anderen Dimensionssystem. Die Dimensionssysteme sind<br />
damit nicht eindeutig aufeinander abbildbar.<br />
76 Für eine Drehgruppe gilt A m+n = A n mit beliebigen ganzen Zahlen n; eine m-fache Drehung um den<br />
Winkel 2π/m führt zur Identität.<br />
89
B.2 SI-Einheiten<br />
Für Gr<strong>und</strong>grössen <strong>und</strong> abgeleitete Grössen wurde an der 11. Generalkonferenz für Mass<br />
<strong>und</strong> Gewicht 1960 ein kohärentes Einheitssystem, das Systeme International d’Unités (SI),<br />
für den allgemeinen Gebrauch empfohlen. Die der Meterkonvention angehörenden Staaten<br />
sind gehalten, das SI durch Gesetz einzuführen. Das SI ersetzt alle früheren Masssysteme,<br />
wie das cgs- (cm g s), das mks- (m kg s), das technische Masssystem etc.<br />
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.<br />
Masse (m,M)<br />
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus Pt-Ir bestehenden Urkilogramms , das im Bureau<br />
International des Poids et Mesures in Sevres aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr<br />
der Masse von 1 l Wasser bei 4 ◦ C.<br />
Zeit (t,T)<br />
1 Sek<strong>und</strong>e (s) ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungen des Uebergangs zwischen<br />
den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Gr<strong>und</strong>zustand des 133 Cs Atoms.<br />
Länge (l,l)<br />
1 Meter (m) ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer<br />
von 1/299 792 458 s zurücklegt. Veraltet: Urmeter (sollte 1/40 000 000 des Meridians durch<br />
Paris sein), 1 m = 1 650 763.73 Wellenlängen des roten Lichtes, das von 86 Kr bei einem<br />
bestimmten Uebergang emittiert wird. Der Meterstandard zeigt, dass die Einteilung in<br />
Gr<strong>und</strong>- <strong>und</strong> abgeleitete Einheiten willkürlich ist. Definiert ist heute die Lichtgeschwindigkeit<br />
c = 2.99792458 ×10 8 m/s.<br />
Elektrische Stromstärke (I)<br />
1 Ampére (A) ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum im Abstand<br />
von 1 m parallel verlaufende, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem<br />
Durchmesser, fliessend, eine gegenseitige Kraft von 2 × 10 −7 Newton pro Meter Länge<br />
hervorruft.<br />
Temperatur (T)<br />
1 Kelvin (K) ist der Bruchteil 1/273.16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes<br />
von Wasser. Die Celsiusskala ist definiert durch: t( ◦ C) = t(K) - 273.15 K.<br />
Schmelzpunkt <strong>und</strong> Siedepunkt des Wassers unter Normalbedingungen liegen nur ungefähr<br />
bei 0 ◦ respektive 100 ◦ C. Der absolute Nullpunkt ist per Definition 0 K.<br />
Quantität der Materie (n,ν)<br />
1 Mol (mol) ist die Menge eines Stoffes, die gleichviele Teilchen N ◦ (Atome, Moleküle,<br />
Ionen, Elektronen, ...) besitzt, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops 12 C enthalten<br />
sind.<br />
N ◦ =<br />
12.000 g/mol<br />
Masse eines Atoms 12 C<br />
Avogadrosche oder Loschmidtsche Zahl,<br />
diese Zahl ändert sich, wenn die 12 C-Atommasse genauer bestimmt wird.<br />
Lichtstärke<br />
1 Candela (cd) ist die Lichtstärke (Intensität I = dΦ/dΩ), mit der 1/60 cm 2 Oberfläche<br />
90
eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck von 1 atm erstarrenden Pt<br />
(2024.5 K) senkrecht zur Oberfäche strahlt.<br />
Sämtliche Dimensionen physikalischer Grössen lassen sich auf diese 7 Gr<strong>und</strong>grössen<br />
zurückführen. Z.B. Beschleunigung m/s 2 , Kraft N = m kg/s 2 . Die 7 Gr<strong>und</strong>grössen sind<br />
nicht alle f<strong>und</strong>amentale Basisgrössen. Z.B. wird die Kelvinskala nur eingeführt, weil der<br />
theoretisch existierende Zusammenhang zwischen Temperatur <strong>und</strong> Energie experimentell<br />
nur schlecht bestimmbar ist. Für die <strong>Physik</strong> genügen die 4 Basisgrössen m, kg, s <strong>und</strong> A.<br />
B.2.1<br />
Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen<br />
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.<br />
ebener Winkel (α,ϕ) Radiant = rad = m m −1<br />
Raumwinkel (Ω) Steradiant = sr = m 2 m −2<br />
Frequenz (ν) Hertz = Hz = s −1<br />
Geschwindigkeit (⃗v)<br />
= m s −1<br />
Impuls (⃗p) = kg m s −1 = Ns<br />
Kraft ( F) ⃗ Newton = N = m kg s −2<br />
Druck (p) Pascal = Pa = m −1 kg s −2 = N/m 2<br />
Energie,Arbeit (E,W) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm<br />
Leistung (P) Watt = W = m 2 kg s −3 = J/s<br />
Drehimpuls ( L ⃗ ◦ )<br />
= kg m 2 s −1<br />
Drehmoment ( M ⃗ ◦ ) = kg m 2 s −2 = Nm<br />
Trägheitmoment (I ◦ ) = kg m 2<br />
Wärmemenge (Q) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm<br />
Entropie (S)<br />
= J/K<br />
el. Ladung (q,Q) Coulomb = C = As<br />
elektrische Feldstärke ( E) ⃗ = V/m<br />
dielektrische Verschiebung ( D) ⃗ = Cb/m 2<br />
el. Stromdichte (⃗j) = A/m 2<br />
el. Spannung, Potential (V ) Volt = V = m 2 kg s −3 A −1 = J/C<br />
el. Kapazität (C) Farad = F = m −2 kg −1 s 4 A 2 = C/V<br />
el. Widerstand (R) Ohm = Ω = m 2 kg s −3 A −2 = V/A<br />
el. Leitfähigkeit (σ) Siemens = S = m −2 kg −1 s 3 A 2 = A/V<br />
Induktionsfluss (Φ) Weber = Wb = m 2 kg s −2 A −1 = V s<br />
magn. Induktion ( B) ⃗ Tesla = T = kg s −2 A −1 = Wb/m 2<br />
magnetische Feldstärke ( H) ⃗ = A/m<br />
Induktivität (L) Henry = H = m 2 kg s −2 A −2 = Vs/A<br />
Lichtstrom Lumen = lm = cd sr<br />
Beleuchtungsstärke Lux = lx = lm m −2<br />
Radioaktivität Bequerel = Bq = s −1<br />
absorbierte Strahlungsdosis Gray = Gy = m 2 s −2 = J/kg<br />
91
B.2.2<br />
Verschiedene Einheiten<br />
Grösse (Symbol) SI Einheit<br />
Länge (l) 1 m 1 Parsec = 1 pc = 3.085 72 ×10 16 m<br />
1 Lichtjahr = 1 ly = 9.460 530 ×10 15 m<br />
1 astr. Einheit = 1 AE = 1.496 00 ×10 11 m<br />
1 inch = 1 in. = 2.54 cm (exakt)<br />
1 yard = 1 yd. = 3 feet = 3 ft.= 36 in.<br />
1 Seemeile = 10 Kabel = 1000 Faden = 1852 m<br />
1 mile = 1 mi. = 1760 yd. = 1.609 344 km<br />
1 Ångström = 1 Å = 10 −10 m<br />
1 Fermi = 1 fm = 10 −15 m<br />
Fäche (A) 1 m 2 1 Are = 1 a = 10 2 m 2<br />
1 Barn = 1 b = 10 −28 m 2<br />
Volumen (V) 1 m 3 1 Liter = 1 l = 10 −3 m 3<br />
1 Gallone (US) = 4 Quarts = 8 Pints = 3.785 4 l<br />
1 Gallone (GB) = 4 Quarts = 8 Pints = 4.545 9631 l<br />
Zeit (t) 1 s 1 d = 24 h = 86400 s<br />
1 Jahr = 1 y = 3.155 69 ×10 7 s ≈ π × 10 7 s<br />
Frequenz ν 1 Hz 1 cycle per second = 1 cps = 1 Hz<br />
1 revolution per minute = 1 rpm = 1/60 Hz<br />
Geschwindig. (v) 1 m/s 1 km/h = 1/3.6 m/s<br />
1 Knoten = 1 Seemeile/h<br />
1 mile per hour = 1 mph = 1.609 344 km/h<br />
Masse (m) 1 kg 1 techn. Masseneinh. = 1 TME = 1 kp m −1 s 2 = 9.806 65 kg<br />
1 atomare Masseneinheit = 1 u = 1.660 5655(86) ×10 −27 kg<br />
1 po<strong>und</strong> = 1 lb = 16 ounces = 16 oz. = 0.453 59237 kg<br />
Kraft (F) 1 N 1 dyn = 1 cm g s −2 = 10 −5 N<br />
1 Kilopond = 1 kp = 1 kg ∗ = 9.806 65 N<br />
Druck (p) 1 Pa 1 Bar = 1 b = 10 3 mb = 10 5 Pa<br />
1 Atmosphäre (phys.) = 1 atm = 1.013 25 ×10 5 Pa<br />
1 Atm. (techn.) = 1 at = 1 kp/cm 2 = 0.980 665 ×10 5 Pa<br />
1 Po<strong>und</strong> per sq. in. = 1 PSI = 6.894 76 ×10 3 Pa<br />
1 Torr = 1/760 atm = 133.322 37 Pa = 1 mm Hg (0 ◦ C)<br />
Arbeit (W) 1 J 1 Erg = 1 erg = 10 −7 J<br />
Energie (E)<br />
Wärme(Q)<br />
1 kWh = 3.6 ×10 6 J<br />
1 cal (thermoel.) = 4.184 J<br />
1 cal (mittlere) = 4.186 97 J<br />
1 cal (15 ◦ C) = 4.185 5 J<br />
1 cal (IT) = 4.186 84 J<br />
1 eV = 1.602 1892(46) ×10 −19 J<br />
Leistung (P) 1 W 1 Pferdestärke = 1 PS = 75 m kp/s = 735.498 75 W<br />
1 horse power = 1 hp (mech.) = 550 ft lb/s = 745.692 27 W<br />
1 hp (elektr.) = 746 W<br />
Magn. Indukt. (B) 1 T 1 Gauss = 1 G = 10 −4 T<br />
Magn. Feld (H) 1 A/m 1 Oersted = 10 3 /4π A/m<br />
92
B.2.3<br />
Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten<br />
Vorsilbe Abk. Faktor Vorsilbe Abk. Faktor spezielles<br />
Exa E 10 18 Dezi d 10 −1 nur dl, dm<br />
Peta P 10 15 Zenti c 10 −2 nur cm<br />
Tera T 10 12 Milli m 10 −3<br />
Giga G 10 9 Mikro µ 10 −6<br />
Mega M 10 6 Nano n 10 −9<br />
Kilo k 10 3 Piko p 10 −12<br />
Hekto h 10 2 Femto f 10 −15 1 fm=1 Fermi<br />
Deka d 10 1 Atto a 10 −18<br />
B.3 Astronomische Daten<br />
Erde<br />
1 mittl. Sonnentag 1 d = 86400 s<br />
1 Sterntag 86 164.09 s<br />
1 tropisches Jahr 1 y = 365.242 20 d<br />
1 siderisches Jahr 365.256 36 d<br />
mittl. Radius<br />
6 371.0 km<br />
Masse<br />
5.976 ×10 24 kg<br />
mittl. Dichte 5 517 kg/m 3<br />
mittl. Entfernung von der Sonne 1.496 ×10 11 m = 1 astr. Einheit = 1 AE<br />
Mond<br />
Masse<br />
Radius<br />
Entfernung von der Erde<br />
siderische Umlaufszeit<br />
synodische Umlaufszeit (Neumond)<br />
Sonne<br />
Radius<br />
Masse<br />
Oberflächentemperatur<br />
Milchstrasse<br />
Durchmesser<br />
Dicke<br />
Sonne-Zentrum<br />
Masse<br />
7.35 ×10 22 kg = 1/81.3 m E<br />
1 738.2 km<br />
384 400 km (356 400 . . . 406 700 km)<br />
27.321 661 d<br />
29.530 558 d<br />
695 990 km = 109.24 R E<br />
1.989 ×10 30 kg = 3.328 3 ×10 5 m E<br />
5770 K<br />
80 000 Ly<br />
6 000 Ly<br />
32 000 Ly<br />
1.4 ×10 11 m S<br />
93
C Mathematische Hilfsmittel<br />
C.1 Mathematische Formelsammlung<br />
C.1.1<br />
r<br />
✚α<br />
✚✚✚✚✚<br />
x<br />
Trigonometrie<br />
y<br />
sin(α ± β) = sinα cos β ± cos α sin β,<br />
sin α = y/r csc = r/y<br />
cos α = x/r sec = r/x<br />
tan α = y/x cot = x/y<br />
sin 2 α + cos 2 α = 1<br />
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β<br />
sin α ± sin β=2 sin ( ) ( )<br />
α±β<br />
2 cos α∓β<br />
2<br />
cos α + cos β=2 cos ( ) ( )<br />
α+β<br />
2 cos α−β<br />
2<br />
cosα − cos β=2 sin ( ) ( )<br />
α+β<br />
2 sin α−β<br />
2<br />
a cos α + b sin α=A · sin(α + δ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ = a oder<br />
b<br />
a cos α + b sin α=A · cos(α − δ ′ ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ ′ = b a<br />
C.1.2<br />
Komplexe Zahlen<br />
✻I{z}<br />
z = a + ib = ρ exp(iϕ) = ρ e iϕ = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)<br />
ρ = √ a 2 + b 2 = |z|, tanϕ = b/a, z n = ρ n e iϕ/n , √ z = √ ρ e iϕ/2<br />
da | e iϕ | 2 = e iϕ · e −iϕ = e 0 = 1 liegt e iϕ auf dem Einheitskreis.<br />
b<br />
✬✩<br />
i<br />
ρ z Geometrische Deutung: R{z} = ρ cos ϕ, I{z} = ρ sin ϕ<br />
✚ ✚✚✚❃ ϕ ✲ ⇒ exp(iϕ) = cosϕ + i sin ϕ, exp(−iϕ) = cosϕ − i sin ϕ ⇒<br />
−1 1 a<br />
✫✪R{z}<br />
exp(iϕ) + exp(−iϕ)<br />
−i cos ϕ = = a exp(iϕ) − exp(−iϕ)<br />
, sin ϕ = = b 2 ρ 2i ρ<br />
exp(iπ/2) = e iπ/2 = i, exp(iπ) = e iπ √<br />
= −1,<br />
z n = ρ n e inϕ = ρ n √<br />
(cosnϕ + i sin nϕ), z = ρ e iϕ/2 ,<br />
¯z = a − ib ist das konjugiert komplexe (auch z ∗ ) zu z = a + ib,<br />
Betrag |z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2<br />
C.1.3<br />
Hyperbolische Funktionen<br />
sinh x = exp(x)−exp(−x) , cosh x = exp(x)+exp(−x)<br />
2 2<br />
sinh 2 x − cosh 2 x = −1, tanhx = sinh x<br />
cosh x<br />
C.1.4<br />
Inverse Funktionen<br />
sin[arcsin(x)] = x, cos[arccos(x)] = x, sinh[arcsinh(x)] = x, cosh[arccos(x)] = x<br />
ln[exp(x)] = x etc.<br />
94
C.1.5<br />
Ableitungen <strong>und</strong> unbestimmte elementare Integrale<br />
Für unbestimmte Integrale muss eine Konstante c berücksichtigt werden.<br />
Partielle Integration: ∫ udv = uv − ∫ v du<br />
d<br />
f(x)<br />
dx f(x)<br />
∫ f(x)dx<br />
x n<br />
d<br />
dx xn = nx n−1<br />
∫<br />
x n dx = xn+1<br />
n + 1 , n ≠ −1<br />
x −1<br />
d<br />
dx x−1 = −x −2<br />
∫<br />
x −1 dx = lnx<br />
ln x<br />
∫<br />
d<br />
ln x = x−1<br />
dx<br />
ln xdx = x ln x − x<br />
e x<br />
d<br />
dx ex = e x<br />
∫<br />
e x dx = e x<br />
sin x<br />
∫<br />
d<br />
sin x = cos x<br />
dx<br />
sin xdx = − cos x<br />
cos x<br />
∫<br />
d<br />
cosx = − sin x<br />
dx<br />
cos xdx = sin x<br />
tanx<br />
d<br />
dx tanx =<br />
x<br />
cos 2 x<br />
∫<br />
tanxdx = − ln cosx<br />
cot x<br />
d<br />
dx cotx = − x<br />
sin 2 x<br />
∫<br />
cotxdx = ln sin x<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
dx<br />
a 2 + x 2<br />
= 1 a arctan(x/a)<br />
dx<br />
= 1 1<br />
arctanh(x/a) oder =<br />
a 2 − x 2 a 2a ln a + x<br />
a − x , (a2 > x 2 )<br />
dx<br />
√<br />
a2 − x 2<br />
= arcsin x<br />
|a|<br />
dx<br />
x √ = − 1 ( √ ) a +<br />
a 2 ± x 2 |a| ln a2 ± x 2<br />
x<br />
∫ √<br />
x2 ± a 2 = 1 2<br />
oder = − arccos x<br />
|a| , (a2 > x 2 )<br />
[<br />
x<br />
√<br />
x2 ± a 2 ± ln(x + √ x 2 ± a 2 ) ]<br />
∫<br />
dx<br />
√<br />
x2 ± a 2 = ln(x + √ x 2 ± a 2 )<br />
95
C.1.6<br />
Einige bestimmte Integrale,<br />
die nicht als unbestimmte Integrale angegeben werden können.<br />
∫∞<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫π<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫∞<br />
t n p −t n!<br />
dt =<br />
(lnp) , n = 0, 1, 2...,p > 0 dx<br />
n+1 (1 + x) √ x<br />
⎧<br />
0<br />
π<br />
a > 0<br />
a dx<br />
⎪⎨ 2<br />
∫∞<br />
sin mxdx<br />
= 0 a = 0<br />
a 2 + x 2 ⎪⎩ − π x<br />
a < 0<br />
0<br />
2<br />
sin 2 (px)dx<br />
x 2<br />
= πp<br />
2<br />
∫∞<br />
0<br />
∫<br />
= π<br />
sin 2 (mx)dx = π 2<br />
π/2<br />
dx π<br />
= √<br />
a + b cos x a2 − b , a > b ≥ 0 dx<br />
2 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x = π<br />
2ab<br />
0<br />
e −ax dx = 1 ∫∞<br />
a , a > 0 e −a2 x 2 dx = 1 √ π<br />
2a<br />
0<br />
x e −x2 dx = 1 ∫∞<br />
√ π<br />
x 2 e −x2 dx =<br />
2<br />
4<br />
0<br />
∫1 √<br />
√ π<br />
(lnx) n dx = (−1) n · n!<br />
ln 1/x dx =<br />
2<br />
C.1.7<br />
ln x<br />
dx = −π2<br />
1 + x 12<br />
Reihenentwicklungen<br />
Taylor-Reihe: f(x) = f(x ◦ )+f ′ (x ◦ ) (x − x ◦) 1<br />
1!<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
ln x<br />
dx = −π2<br />
1 − x2 8<br />
⎧ π<br />
m > 0<br />
⎪⎨ 2<br />
= 0 m = 0<br />
⎪⎩ − π m < 0<br />
2<br />
+f ′′ (x ◦ ) (x − x ◦) 2<br />
+· · · mit 0 ≤ (x−x ◦ ) < 1<br />
2!<br />
exp(x) = e x = 1 + x + x2 + x3 + · · · ln(1 − x) = x − x2 + x3<br />
2! 3! 2!<br />
sin(x) = x − x3 + x5 − + · · · cos(x) = 1 − x2 + x4<br />
3! 5! 2!<br />
tan(x) = x + x3<br />
3 + 2x5 15<br />
+ · · · cot(x) = 1 −<br />
x2<br />
2 + x4<br />
sinh(x) = x + x3<br />
3!<br />
+ x5<br />
5!<br />
+ · · · cosh(x) = 1 + x2<br />
2!<br />
+ x4<br />
(1 + x) n = 1 + nx + n(n+1) x 2 + n(n−1)(n−2) x 3 + · · ·<br />
2! 3!<br />
1<br />
= 1 − x + 1+x x2 − x 3 + · · ·, (−1 < x < 1)<br />
√ 1 + x = 1 +<br />
x<br />
+ x2 + x3 + · · · , (−1 < x < 1)<br />
2 8 16<br />
√ 1<br />
1+x<br />
= 1 − x + 3x2 + · · · , (−1 < x < 1)<br />
2<br />
− 5x3<br />
8 16<br />
− + · · ·<br />
3!<br />
− + · · ·<br />
4! − + · · · 4<br />
+ · · ·<br />
4!<br />
96
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in <strong>Physik</strong> A<br />
Differentialgleichung<br />
Lösung<br />
1. y ′′ = a y = 1 2 ax2 + C 1 x + C 2<br />
2. y ′′ + ωy ′ = 0 y = C 1 e −ωt + C 2<br />
3. y ′′ + ωy ′ = g y = C 1 e −ωt + C 2 + g ω · t<br />
4. y ′ + ωy = g y = C 1 e −ωt + g ω<br />
5. y ′′ + ω 2 y = g y = y 0 cos(ωt − δ) + g<br />
ω 2<br />
6. y ′′ − y = cos x y = C 1 e x + C 2 e −x − 1 2 cos x<br />
7. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = 0<br />
√<br />
λ > α y = e −λt (C 1 e ωt + C 2 e −ωt )<br />
ω = + |λ 2 − α 2 | λ < α y = e −λt (C 1 e iωt + C 2 e −iωt )<br />
λ = α y = e −λt (A + Bt)<br />
8. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = f(t)<br />
benutze :<br />
F(x) = ∫ x<br />
dF<br />
0 f(x,y)dy ⇒ x ∂f<br />
dx 0 ∂x<br />
Ansatz :<br />
y = ∫ t<br />
0 g(t − τ)f(τ)dτ<br />
damit :<br />
y ′ = g(0)f(t) + ∫ t<br />
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ<br />
y ′′ = g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t<br />
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ<br />
Einsetzen in Dgl. : g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t<br />
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ + 2λg(0)f(t)<br />
+2λ ∫ t<br />
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ + α 2 ∫ t<br />
0 g(t − τ)f(τ)dτ = f(t)<br />
zusammenfassen : g(0)f ′ (t) + [g ′ (0) + 2λg(0) − 1]f(t)<br />
+ ∫ t<br />
0 [g′′ (t − τ) + 2λg ′ (t − τ) + α 2 g(t − τ)] f(τ)dτ = 0<br />
Diese Gleichung wird erfüllt, wenn g(t − τ)<br />
die Dgl. 8. erfüllt mit den Anfangsbedingungen<br />
g(0) = 0 <strong>und</strong> g ′ (0) = 1<br />
also : λ > α y = 1 ∫ ( t<br />
2ω 0 e−λ(t−τ) e ω(t−τ) − e −ω(t−τ)) f(τ)dτ<br />
λ < α y = − i ∫ ( t<br />
2ω 0 e−λ(t−τ) e iω(t−τ) − e −iω(t−τ)) f(τ)dτ<br />
y = 1 ∫ t<br />
ω 0 e−λ(t−τ) sin ω(t − τ)f(τ)dτ<br />
λ = α y = ∫ t<br />
0 e−λ(t−τ) (t − τ)f(τ)dτ<br />
9. x 2 y ′′ + xy ′ − k 2 y = 0 y = C 1 x k + C 2 x −k<br />
97
C.3 Vektorgleichungen<br />
Skalarprodukt Vektorprodukt Tensorprodukt<br />
⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ⃗a × ⃗ b = ⃗e x(a y b z − a z b y ) ⃗a ⊗ ⃗ ⎛<br />
⎞<br />
b = a x b x a x b y a x b z<br />
⎜<br />
⎟<br />
⃗e y (a z b x − a x b z ) ⎝ a y b x a y b y a y b z ⎠<br />
⃗e z (a x b y − a y b x ) a z b x a z b y a z b z<br />
⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c<br />
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)<br />
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c<br />
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a ·⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b ·⃗c)<br />
∇ × ∇ψ = 0<br />
∇ · (∇ ×⃗a) = 0<br />
(∇ · ∇)ψ = ∇ · (∇ψ) = ∆ψ<br />
∆⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∇ × (∇ ×⃗a)<br />
∇ × (∇ ×⃗a) = ∇ · (∇⃗a) − ∇ 2 ⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∆⃗a<br />
∇ · (ψ⃗a) = ⃗a · ∇ψ + ψ∇ ·⃗a<br />
∇ × (ψ⃗a) = ∇ψ ×⃗a + ψ∇ ×⃗a<br />
∇(⃗a ·⃗b) = (⃗a · ∇) ⃗ b + ( ⃗ b · ∇)⃗a +⃗a × (∇ × ⃗ b) + ⃗ b × (∇ ×⃗a)<br />
∇ · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (∇ ×⃗a) −⃗a · (∇ × ⃗ b)<br />
∇ × (⃗a × ⃗ b) = ⃗a(∇ ·⃗b) − ⃗ b(∇ ·⃗a) + ( ⃗ b · ∇)⃗a − (⃗a · ∇) ⃗ b<br />
Ist ⃗x die Koordinate eines Punktes in Bezug auf einen Ursprung mit dem Betrag r = |⃗x|<br />
<strong>und</strong> ⃗n = ⃗x/r der Einheitsradiusvektor, dann gilt<br />
∇ · ⃗x = 3 ∇ × ⃗x = 0<br />
∇ · ⃗n = 2 r ∇ × ⃗n = 0<br />
(⃗a · ∇)⃗n = 1 r [⃗a − ⃗n(⃗a · ⃗n)] ≡ ⃗a ⊥<br />
r<br />
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung<br />
Im folgenden sind Φ, Ψ, <strong>und</strong> ⃗ A skalare oder Vektor-Funktionen, V ist ein dreidimensionales<br />
Volumen mit dem Volumenelement d 3 x. S ist eine zweidimensionale, geschlossene<br />
Oberfläche des Volumens V mit dem Flächenelement da <strong>und</strong> der nach aussen zeigenden<br />
Normalen ⃗n auf da.<br />
∫<br />
∇ · ⃗Ad 3 x = ∫ ⃗A · ⃗nda<br />
Divergenz Theorem<br />
V ∫<br />
S<br />
∇Ψd 3 x = ∫ ψ⃗nda<br />
V S<br />
∫<br />
∇ × Ad ⃗ 3 x = ∫ ⃗n × Ada ⃗<br />
∫<br />
V S<br />
(Φ∇ 2 Ψ + ∇Φ · ∇Ψ)d 3 x = ∫ Φ⃗n · ∇Ψda Green’s 1. Identität<br />
V ∫<br />
S<br />
(Φ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Φ)d 3 x = ∫ − Ψ∇Φ) · ⃗nda Green’s Theorem<br />
V<br />
S(Φ∇Ψ<br />
98
Im folgenden ist S eine offene Fläche <strong>und</strong> C eine sie einschliessende Kontur mit dem<br />
Linienelement d ⃗ l. Die Normale ⃗n zu S ist durch die rechte Hand-Regel in bezug auf das<br />
Linienintegral um die Kontur C definiert.<br />
∫<br />
× A)<br />
S(∇ ⃗ · ⃗nda = ∮ ⃗A · d ⃗ l Stoke’s Theorem<br />
C<br />
∫<br />
⃗n × ∇Ψda = ∮ Ψd ⃗ l<br />
C<br />
S<br />
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen<br />
Mit den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 , die den gewählten Koordinaten entsprechen<br />
<strong>und</strong> den Komponenten A 1 ,A 2 ,A 3 von ⃗ A gilt für den Nabla-Operator ∇<br />
Kartesische Koordinaten x 1 ,x 2 ,x 3 = ⃗x = x,y,z<br />
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ<br />
1∂x1 + ⃗e ∂Ψ<br />
2∂x2 + ⃗e ∂Ψ<br />
3∂x3<br />
∇ · ⃗A = ∂A 1<br />
∂x<br />
+ ∂A 2<br />
1 ∂x<br />
+ ∂A 3<br />
2 ∂x 3<br />
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ∂A 3<br />
∂x<br />
− ∂A 2<br />
2 ∂x<br />
) + ⃗e 2 ( ∂A 1<br />
3 ∂x<br />
− ∂A 3<br />
3 ∂x<br />
) + ⃗e 3 ( ∂A 2<br />
1 ∂x<br />
− ∂A 1<br />
1 ∂x<br />
)<br />
2<br />
∇ 2 Ψ = ∂2 Ψ<br />
∂x 2 + ∂2 Ψ<br />
1 ∂x 2 + ∂2 Ψ<br />
2 ∂x 2 3<br />
Zylinder Koordinaten ρ,ϕ,z<br />
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ<br />
1<br />
∂ρ<br />
+ ⃗e 1 ∂Ψ<br />
2ρ ∂ϕ<br />
+ ⃗e ∂Ψ<br />
3<br />
∂z<br />
∇ · ⃗A = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρA 1) + ρ 1 ∂A 2<br />
∂ϕ + ∂A 3<br />
∂z<br />
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ρ 1 ∂A 3<br />
∂ϕ − ∂A 2<br />
∂z ) + ⃗e 2( ∂A 1<br />
∂z − ∂A 3<br />
∂ρ ) + ⃗e 1 3ρ (∂(ρA 2)<br />
∂ρ<br />
− ∂A 1<br />
∂ϕ )<br />
∇ 2 Ψ = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ 2 ∂2 Ψ<br />
∂ϕ 2 + ∂2 Ψ<br />
∂z 2<br />
Kugel Koordinaten r,ϑ,ϕ<br />
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ<br />
1<br />
∂r<br />
+ ⃗e 1 ∂Ψ<br />
2r ∂ϑ<br />
+ ⃗e 1<br />
3<br />
rsinϑ ∂Ψ<br />
∂ϕ<br />
∇ · ⃗A = 1 ∂ r 2 ∂r (r2 A 1 ) +<br />
r sinϑ 1<br />
∂ϑ ∂ (sinϑA 2) +<br />
r sinϑ 1 ∂A 3<br />
∂ϕ<br />
∇ × A ⃗ [<br />
= ⃗e 1 ∂<br />
1<br />
r sinϑ ∂ϑ<br />
(sinϑA 3 ) − ∂A ]<br />
2<br />
∂ϕ<br />
+<br />
[<br />
+⃗e 1<br />
2<br />
r sinϑ ∂A 1<br />
∂ϕ − 1 r ∂r ∂ ] [ (rA 3) + ⃗e 1 ∂∂r<br />
3r (rA 2 ) − ∂A ]<br />
1<br />
∂ϑ<br />
∇ 2 Ψ = 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) + 1 ∂<br />
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ∂Ψ ∂ϑ ) + 1 ∂ 2 Ψ<br />
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2<br />
mit 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) ≡ 1 r ∂2<br />
∂r 2 (rΨ) = ∂2<br />
∂r 2 (Ψ) + 2 ∂<br />
r ∂r (Ψ)<br />
Es werden auch folgende Schreibweisen benutzt:<br />
gradΨ = ∇Ψ div ⃗ A = ∇ · ⃗A rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A ∇ 2 = ∆<br />
99
Index<br />
χ e , 23<br />
χ m , 58<br />
µ, 57<br />
µ 0 , 47<br />
ε, 23<br />
ε ◦ , 4<br />
Akzeptoren, in Halbleitern, 37<br />
Ampère, Gesetz von, 48<br />
Anionen, 41<br />
Äquipotentialfläche, 15<br />
Astronomische Daten, 93<br />
Austrittsarbeit, 44<br />
Axialvektor, 49<br />
Bändermodell, 37<br />
Bandstruktur, 38<br />
Barkhausen-Effekt, 60<br />
Betatron, 68<br />
Beweglichkeit, 35<br />
Biot-Savart, Gesetz von, 47<br />
Brechungsgesetz, 25<br />
Cb, 3<br />
Clausius-Masotti, Formel von, 26<br />
Coulomb’sches Gesetz, 3<br />
Curie-Temperatur, 60<br />
Detektor<br />
Germanium, 39<br />
Silizium, 39<br />
Diamagnetismus, 59<br />
Dielektrikum, 21, 29<br />
Dielektrische Verschiebung ⃗ D, 23<br />
Dielektrizitätskonstante, 23, 26<br />
Dipol<br />
Elektrischer, 20<br />
Energie, 30<br />
Magnetischer, 46<br />
Energie, 60<br />
Dipolmoment<br />
Elektrisches, 22<br />
Magnetisches, 52<br />
Dissoziation, elektrolytische, 41<br />
Donatoren, in Halbleitern, 37<br />
Dotieren von Halbleitern, 37<br />
Driftkammer, 44<br />
Effekt<br />
Barkhausen, 60<br />
Hall, 35, 54<br />
Effektivwert, 83<br />
Eigenleitung von Halbleitern, 37<br />
Einheit, 87<br />
Elektrische Ladung, 1<br />
Elektrisches Feld, 4, 56<br />
An Grenzflächen, 25<br />
Energie, 27<br />
Energiedichte, 27<br />
In Leitern, 15<br />
Elektrolyte, 41<br />
Elektromagnete, 61<br />
Elektromagnetische Wellen, 74<br />
Elektromotorische Kraft, 33<br />
Elektronenbeschleuniger, 68<br />
Elektronenmasse, 53<br />
Elektronenröhrengenerator, 78<br />
Elektrostatisches Potential, 5<br />
Elementarladung, 1, 19<br />
Elementarteilchen, 2<br />
EMK, 33<br />
Erde<br />
Magnetfeld, 53<br />
Experiment<br />
Elektronenmasse, 53<br />
Elementarladung, 19<br />
Faraday’sches, 16<br />
Millikan, 19<br />
Thomson-Waage, 29<br />
Farad, 18<br />
Faraday’sches Becherexperiment, 16<br />
Faraday’sches Induktionsgesetz, 66<br />
Faradaykäfig, 16<br />
Faradayzahl(F), 42<br />
Feldlinien, 11<br />
Differentialgl. der, 11<br />
eines Dipols, 12<br />
mit Gaussschem Satz, 13<br />
mit konforme Abb., 14<br />
Ferromagnetismus, 59<br />
Flipspule, 71<br />
100
Flussregel, 9<br />
Freies-Elektronengas-Modell, 35<br />
Funkenkammer, 43<br />
FWHM, 81<br />
Galvanometer, 70<br />
Gauss’scher Satz, 24<br />
Geigerzähler, 43<br />
Generator, 68<br />
Leistung, 82<br />
Gesetz von<br />
Ampère, 48<br />
Biot-Savart, 47<br />
Clausius-Masotti, 26<br />
Coulomb, 3<br />
Faraday (Induktion), 66<br />
Kirchhoff, 33<br />
Lenz, 66<br />
Ohm, 35<br />
Paschen, 42<br />
Richardson, 44<br />
Gleichspannungsgenerator, 70<br />
Glimmentladung, 42<br />
Glimmlampe, 75<br />
Gravitationskraft, 4<br />
Halbleiter, 36<br />
Halbleiterdiode, 38<br />
Hall-Effekt, 35, 54<br />
Handregel, rechte, 45<br />
Henry, 72<br />
Hysterese, 60<br />
Impedanz, 79<br />
Induktion zweier Leiter, 71<br />
Induktionsgesetz, 65<br />
Induktionskonstante µ 0 , 47<br />
Influenz, 16<br />
Influenzkonstante ε ◦ , 4<br />
Ionisation durch Stösse, 42<br />
Ionisationskammer, 43<br />
Isolator, 21<br />
Kapazität, 18<br />
Kationen, 41<br />
Kennlinie, 36<br />
Kirchhoff’sche Regeln, 33<br />
Knotenregel, 34<br />
Koaxialleiter, 7<br />
Kondensator, 18, 74, 75<br />
Impedanz, 79<br />
mit Dielektrikum, 21<br />
Konstanten, 86<br />
Kontinuitätsgleichung, 32<br />
Kugelsymmetrische Ladungsverteilung,<br />
10<br />
L, Koeffizient der Selbstinduktion, 72<br />
Ladungsdichte, 8<br />
Ladungserhaltung, 31<br />
Leiter, Elektrische, 14, 34<br />
Leitfähigkeit, 31, 35<br />
Leitungsband, 38<br />
Lenz’sche Regel, 66<br />
Lichtbogen, 78<br />
Lorentzkraft, 45, 56<br />
Magnetfeld<br />
An Grenzflächen, 61<br />
Energie, 73<br />
Energiedichte, 73<br />
Messung, 71<br />
Magnetfeld ⃗ H, 47<br />
Magnetische Induktion ( ⃗ B), 45, 56<br />
Magnetisierung ⃗ M, 58<br />
Maschenregel, 34<br />
Masse <strong>und</strong> Ladung, 2<br />
Mathematische Hilfsmittel, 94<br />
Maxwell Gleichungen, 10, 24, 46, 49, 66,<br />
84<br />
Maxwell Gleichungen, Übersicht, 84<br />
Mechanik <strong>und</strong> Selbstinduktion, 73<br />
Millikan, Öltropfchenversuch, 19<br />
Motor, elementarer, 67<br />
Nichtpolare Moleküle, 26<br />
Ohm’scher Widerstand, 32<br />
Ohm’sches Gesetz, 35<br />
Parallelschaltung, 81<br />
Kondensator, 18<br />
Widerstände, 34<br />
Paramagnetismus, 59<br />
Paschen, Gesetz von, 42<br />
Permanentmagnete, 62<br />
Permeabilität µ, 57<br />
Photomultiplier, 44<br />
Poisson Gleichung, 11<br />
101
Polare Moleküle, 27<br />
Polarer Vektor, 49<br />
Polarisation, dielektrische, 22<br />
Potential, 5<br />
Proportionalzähler, 43<br />
Protonenmasse, 54<br />
Punktladung, Feld <strong>und</strong> Potential, 6<br />
Quanten-Hall-Effekt, 55<br />
Rechte Handregel, 45<br />
Remanenz, 60<br />
Richardson-Gleichung, 44<br />
Rückkopplung, 78<br />
Sägezahnschwingung, 75<br />
Satz von<br />
Gauß, 24<br />
Scheinleistung, 83<br />
Schwingkreis, 77<br />
Selbstinduktion, 72, 73, 79<br />
Koeffizient L, 72<br />
Serieschaltung, 80<br />
Kondensator, 19<br />
Widerstände, 34<br />
SI-Einheiten, 90<br />
Solarzelle, 39<br />
Solenoid, 52, 55<br />
Spannung, 5, 31<br />
Spiegelladung, 21<br />
Spule, 62, 73, 74, 76, 79<br />
Sromkreis, 33<br />
Störstellenleitung in Halbleitern, 37<br />
Strom-Spannungscharakteristik, 36<br />
Stromdichte, elektrische, 31<br />
Stromstärke, elektrische, 32<br />
Superpositionsprinzip, 7<br />
Supraleitung, 36<br />
Suszeptibilitat<br />
Elektrische χ e , 23<br />
Magnetische χ m , 58<br />
Tunneldiode, 39<br />
Unipolarmaschine, 69<br />
Vakuumröhren, 44<br />
Valenzband, 38<br />
Van de Graaff Generator, 17<br />
Vektor<br />
Axialer, 49<br />
Polarer, 49<br />
Vektorpotential, 50<br />
Verschiebungsstrom, 83<br />
Wechselspannungsgenerator, 68<br />
Wechselstrom, 74, 79<br />
Leistung, 82<br />
Wechselstromwiderstand, 79<br />
Wideroe’sche Betatron-Bedingung, 69<br />
Widerstand, 74<br />
Elektrischer, 32<br />
Innerer, 33<br />
Negativer, 78<br />
Ohmscher, 79<br />
Spezifischer, 35<br />
Wien-Filter, 54<br />
Wirbelfeld, 49<br />
Wirbelströme, 71<br />
Bremse, 71<br />
Wirkleistung, 83<br />
Zündspannung, 42<br />
Zündung beim Auto, 76<br />
Zyklotronfrequenz, 55<br />
Thermoemission von Elektronen, 44<br />
Thomson’sche Waage, 29<br />
Thomson-Formel, 77<br />
Thomson-Schwingkreis, 77<br />
Transformator, 81<br />
Transistor, 40<br />
Triode, 44<br />
102