Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Die Lösungen dieser gekoppelten Differentialgleichungen sind als Funktion einer unabhängigen
Variablen t z.B. mit t = x zu bestimmen. Da in den Gl.(12) nur die Verhältnisse
der Komponenten der Feldvektoren auftreten, sind die Feldlinien unabhängig von
der Stärke des Feldes, das sich längs der Feldlinien ändert.
Vereinfacht nur in der zweidimensionalen x − y-Ebene mit F z = 0, dz = 0 gilt
für die Feldlinien 15
dy
dx = F y(x,y)
F x (x,y) . (13)
1. Das Dipolfeld zweier Ladungen im Abstand 2a
Als ein Beispiel soll das Dipolfeld zweier Ladungen q 1 und q 2 berechnet werden.
y
→
r 1
F(x,y)
4πε ◦ E x = q 1
· x + a + q 2
· x − a , 4πε
r 2
r1
2 r 1 r 2 ◦ E y = q 1
· y + q 2
· y
2 r 2 r1
2 r 1 r2
2 r 2
q a a
x
1 q 2
mit r1 2 = (x + a) 2 + y 2 , r2 2 = (x − a) 2 + y 2
Mit der Substitution u = x + a , v = x − a r1
2 und damit
y y
y = r 2 u2 2
2 +1,
y = 2 v2 +1 (14)
q 1 u
wird 4πε ◦ E x =
y 2 (1 + u 2 ) + q 2 v
3/2 y 2 (1 + v 2 ) 3/2, 4πε q 1
◦ E y =
y 2 (1 + u 2 ) + q 2
3/2 y 2 (1 + v 2 ) 3/2
dy
dx = E y
E x
=
q 1 (1 + v 2 ) 3/2 + q 2 (1 + u 2 ) 3/2
q 1 · u(1 + v 2 ) 3/2 + q 2 · v(1 + u 2 ) 3/2 (15)
Mit Gl.(14) ist x =
a(u + v)
u − v , y = 2a
u − v ,
a(du + dv)
dx = −
u − v
a(u + v)
(du − dv),
(u − v)
2
dy = −
2a
(u − v) 2(du − dv), dy
dx =
dv − du
udv − v du
dv − du
udv − v du = q 1 (1 + v 2 ) 3/2 + q 2 (1 + u 2 ) 3/2
q 1 · u(1 + v 2 ) 3/2 + q 2 · v(1 + u 2 ) 3/2
für u und v
∫
∫
q 1 du
(1 + u 2 ) = − 3/2
du
dv = −q 2 (1 + u 2 ) 3/2
q 1 (1 + v 2 )
Mit Gl.(14) sind dann
und mit Gl.(15) erhält man
und die Differentialgleichung
3/2,
die einfach integriert werden kann
q 2 dv
(1 + v 2 ) = konst. ⇒ √ q 1u
+ √ q 2v
= C
3/2 1 + u
2 1 + v
2
q 1 (x + a)
√
(x + a) 2 + y + q 2 (x − a)
√(x 2 − a) 2 + y = C (16)
2
die Feldlinien des elektrischen Dipols. Gl.(16) muss numerisch gelöst werden mit verschiedenen
Werten für C =konst. Das entspechende skalare Potential V (⃗r) ist numerisch
aus
V (⃗r) = q 1
+ q 2 q 1
= √
4πε ◦ r 1 4πε ◦ r 2 4πε ◦ (x + a) 2 + y + q 2
√
(17)
2 4πε ◦ (x − a) 2 + y 2
15
dy
dx = −F x(x,y)
ist dann die Differentialgleichung der Linien eines Feldes, das senkrecht auf den
F y (x,y)
Feldlinien der Gl.(13) steht und das damit auch das Potential darstellen kann.
12