Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

eides zusammen hervorgerufen wird. Zur Erklärung des induzierten Feldes E ind brauchen
wir jedoch entweder die Lorentz-Kraft Gl. (40)
⃗E ind = ⃗v × ⃗ B oder das differentielle Gesetz rot ⃗ E ind = ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t .
Betrachtet man hingegen das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform Gl. (60) als
das fundamentale Gesetz, können daraus die Beziehung für die Lorentzkraft und das
differentielle Faradaysche Gesetz hergeleitet werden.
Wir können zusammenfassend sagen: Die Kraft auf eine Ladung q ist immer durch
⃗F = q ( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B)
gegeben, wobei ⃗ E sowohl von elektrischen Ladungen als auch von veränderlichen Magnetfeldern
entsprechend dem Faraday’schen Gesetz Gl. (61) erzeugt werden kann.
Abschliessend sei bemerkt, dass das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform nur
angewandt werden darf, wenn das Material des Leiters gleich bleibt. Wenn der Weg, den
die Ströme nehmen, sich im Material bewegt, versagt das Integralgesetz.
5.2 Anwendungen des Induktionsgesetzes
5.2.1 Der elementare Motor
Diese “Maschine” ist die “Umkehrung” des Generators, infolge der Induktion bewegt sich
ein Leiter. Wir schliessen eine rechteckige Leiterschleife mit der Fläche A = l x und dem
Widerstand R an eine Batterie mit der EMK V m an. Die eine
Seite l ist beweglich. Ist B ein homogenes Magnetfeld, das senkrecht
zur Leiteroberfläche A steht, so besagt die 2. Kirchhoffsche
Regel: V m + V m,ind = I R . Dabei ist
⃗B ✻
✄
V
✁ ✁ m ✁ ✁ ✁ ✁
✁✕✁
✁
l
✁✕ ✲ d⃗ l
✁ ✁ ✁ ✁✁dF
⃗ ✁❡✁
R ✁✁✁☛
❜ ✲ x
V m,ind = − dΦ
dt
Mit der Lorentz-Kraft Gl.(42) auf den beweglichen Leiter l F =
= −B l
dx
dt , also V m − B l dx
dt = I R . (62)
∫ l
0
dF =
∫ l
0
IB dl = IlB
ist die Bewegungsgleichung für die translatorische Bewegung m d2 x
dt 2 = I l B ,
mit m der Masse des beweglichen Leiterstückes. I wird mit Gleichung (62) ersetzt:
Daraus erhält man
m d2 x
dt 2 = l B 1 R (V m − B l dx
dt ) .
d 2 x
dt 2 + l2 B 2
R m · dx
dt = V m l B
R m , resp. dv
dt + l2 B 2
R m v = V m l B
R m .
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v = dx des beweglichen
Leiters l. Mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 erhält man als
dt
Lösung
[siehe Anhang C.1 Dgl. Nr.3, 4] v(t) = v ∞ (1 − e −t/τ ) , (63)
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