Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

dA'
⇒
→
E
r
ϑ
r'
ϑ
z
ϕ
y
a
x
Wegen der Symmetrie 7 der Anordnung hat das totale
Feld auf der Achse nur eine z-Komponente
∫
E =
∫
dE z =
dE cos ϑ =
mit dA ′ = 2πr ′ dr ′ und cos ϑ = z r =
∫ cos ϑ dA
′ ∫ a
z 2πr ′
= dr ′ z 2π
a
= −
r 2 = 2π
(r ′2 + z 2 ) 3 2 (r ′2 + z 2 ) 1 2
∣
0
0
⇒ E = E(z) = σ (
)
z
1 − √
2ε ◦ a2 + z 2
σ
4πε ◦
∫ cos ϑ dA
′
r 2 ,
(
1 −
z
√
r
′2
+ z 2
)
z
√ .
a2 + z 2
mit den Grenzfällen E(z = 0) = σ und E(a → ∞) = σ
2ε ◦ 2ε ◦
Der zweite Fall entspricht einer unendlich ausgedehnten mit Ladung belegten Ebene,
das von ihr erzeugte E-Feld ist unabhängig vom Abstand von der Ebene.
2.4 Gauss’scher Satz und Poisson’sche Differentialgleichung
In der Mechanik (Phys AI Kap.6.3) haben wir gezeigt, dass für die Coulombkraft, wegen
ihrer r −2 -Abhängigkeit, die Flussregel als ein Sonderfall des allgemeineren Satzes von
Gauss
(auch mit anschaulicher Intuition) gilt:
E
∮
Φ =
∮
⃗E · dA ⃗ =
E n dA = 1 ε ◦
∑
i
Q i = Q innen
ε ◦
(7)
E n
dA
Q
dA
E n
E
A
E n ist die Normalkomponente des E-Feldes an der Stelle
eines Flächenelementes dA einer geschlossenen Fläche 8 .
In Worten besagt die Flussregel: Der Fluss Φ des elektrischen
Feldes durch eine geschlossenen Fläche hängt nur von der eingeschlossenen
Ladung Q ab und ist unabhängig von der Form von
A und der Verteilung von Q, wie dies für den Fluss des Gravitationsfeldes
in der Mechanik (Phys AI Kap.6.3) gezeigt wurde.
Alle nicht eingeschlossenen Ladungen tragen nicht zum Fluss bei
und insbesondere verschwindet der Fluss, wenn die geschlossene
Fläche keine Ladungen einschliesst.
7 Symmetrieüberlegungen können sehr häufig eine Rechnung wesentlich vereinfachen und zum
Verständnis eines Problems beitragen.
Im vorliegenden Fall ist die Scheibe eine Spiegelebene und bezüglich der z-Achse herrscht Rotationssymmetrie,
d.h. eine Drehung um einen beliebigen Winkel ϕ ändert das E-Feld ⃗ nicht. Wäre E y ≠ 0
und E x = 0, dann wäre diese Rotationssymmetrie verletzt. Die Symmetrie verlangt daher E y = 0 und
E x = 0 auf der Symmetrieachse. Ein Drehsinn um die z-Achse ist nicht ausgezeichnet, daher kann es auch
keine geschlossene E ϕ -Komponente um die z-Achse geben, die eine Drehrichtung auszeichnen würde. Im
elektrostatischen Fall ist zusätzlich ∇ × E ⃗ = 0 und die Feldlinien sind nicht geschlossen (wirbelfrei).
8 Bei einer Integration über eine geschlossene Kugelfläche ist A = 4π · r 2 , wegen dieses Faktors 4π
wurde im Coulombgesetz in SI-Einheiten Gl. (2) der Faktor 4π eingeführt, der dann im Gauss’schen Satz
wegfällt. In cgs-Einheiten ist dagegen Φ = 4π Q gewählt worden.
9