Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

η= Arbeit/Wärme].
3. Reziproke Grössen A −1 multipliziert mit der Grösse A ·A −1 = (1) ergibt unbenannte
Zahlen, z.B. [Frequenz·Zeit]=(1).
4. Es gilt das assoziative Gesetz A · (B · C) = (A · B) · C und das kommutative Gesetz
A · B = B · A. Die Bedingungen 1.-4. bilden eine kommutative Abelsche Gruppe.
5. Für alle A ≠ (1) und m ∈ IN \ 0 gilt A m ≠ (1), d.h. die Gruppe ist keine Drehgruppe,
sie ist torsionsfrei 76 .
6. Die aus unendlich vielen Grössenarten bestehende Gesamtheit besitzt ein endliches
Erzeugendensystem, d.h. es gibt endlich viele (N)-Elemente C p , C q , ...C r , so dass jedes
Element X sich bildet mit X = Cp
αp · Cq
αq · Cr αr , α i ganzzahlig. Eindeutigkeit besteht,
wenn kein C i durch die anderen ausgedrückt werden kann (unabhängige Erzeugende bzw.
Basis). Eindeutigkeit der Darstellung wird nicht vorausgesetzt, z.B. ist ⃗r × F ⃗ = −F ⃗ × ⃗r.
1.-6. sind das vollständige Axiomensystem der Gruppe, für die gilt:
Satz: Es gibt mindestens eine Basis B 1 ...B n mit n ≤ N.
Für n = 1 gibt es genau zwei Basen B 1 und B1 −1 .
Für n > 1 gibt es unendlich viele, gleichwertige Basissysteme. Ein Basissystem entspricht
den n linear unabhängigen Grundvektoren eines n-dimensionalen Punktgitters.
Die Anzahl der Elemente einer Basis werden durch folgende Bedingungen bestimmt:
Es gebe in einem Gebiet k voneinander unabhängige Gleichungen zwischen l Grössenarten
mit l > k, dann sind n = l − k unbestimmt und damit Grundgrössen (Basis).
Z.B. in der Geometrie ist l eine Grundgrösse mit den Gleichungen A = l 2 , V = l 3 ;
in der Kinematik die zwei Grundgrössen Länge, Zeit mit den Gleichungen v = l/t, a = l/t 2 ;
in der Dynamik mit drei Grundgrössen:
a) Système International d’Unites (SI) {l,Masse,t} mit [m, kg, s]
b) technisches System {l,F,t} mit [m, kp, s]
c) natürliche Einheiten {v, Energie E, Wirkung S} mit c = m e c 2 = ¯h = 1
d) sowie viele andere mögliche Systeme.
Physikalisch sind alle Basen gleichbedeutend, die Einheiten (Masszahlen wie cm, m,
s, Std, Lichtjahre . . . ) sind belanglos, wesentlich ist die Verknüpfung und deren Eindeutigkeit.
Es darf keine zweite, verschiedene, gleichzeitig geforderte Definition geben. Die
Begriffsverknüpfungen (Definfitionen von Grössenarten der Form A · B = C) sind keine
Naturgesetze, sie passen sich jedoch der Naturerfahrung an (wie v = l/t, F = m · b)
ud stehen mit der Physik nicht im Widerspruch. Die Ganzzahligkeit des Exponenten ist
eine reine Zweckmässigkeit, gebrochene Exponenten ( √ E) sind mathematisch einfach ,
physikalisch jedoch problematischer einzuführen.
Vorsicht: Zusatzvereinbarungen, die das n te Basiselement aus den (n − 1) restlichen
definieren, verletzen die Eindeutigkeit.
Z.B. müsste im elektrostatischen cgs-System Q(el. Ladung) ein unabhängiges Basiselement
sein, jedoch ist E · l = Q · Q, Q = √ E · l = l · √Kraft
und im magnetischen
cgs-System ist der Induktionsfluss(Polstärke)= √ E · l = l · √Kraft.
Diese Zusatzforderung
besagt, der Quotient beider Seiten ist dimensionslos, d.h. man kann nur in diesem
Dimensionssystem jede Grösse mit diesem Quotienten multiplizieren ohne die Grössen zu
verändern, jedoch nicht in einem anderen Dimensionssystem. Die Dimensionssysteme sind
damit nicht eindeutig aufeinander abbildbar.
76 Für eine Drehgruppe gilt A m+n = A n mit beliebigen ganzen Zahlen n; eine m-fache Drehung um den
Winkel 2π/m führt zur Identität.
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