Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Q i
❝ |⃗r − ⃗r i |
✻❅
❅
⃗r i ❅❅❘q
✟ ✟✟ ✟✯
⃗r
∑
F(⃗r) ⃗ n = ⃗F i = q
i=1
∫ r
V (⃗r) = −
∞
n∑
⃗E i = qE
⃗
i=1
∫ r
⃗E d⃗r = −
∞
n∑ n∑
⃗E i d⃗r =
i=1 i=1
und damit das Potential
V i = 1
4πε ◦ n ∑
i=1
Q i (⃗r i )
|⃗r − ⃗r i |
Feldstärke und Potential sind additiv, wobei für die Feldstärke der Vektorcharakter
zu beachten ist.
6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Für einen geladenen Körper, bei dem die Ladung kontinuierlich über das ganze
Volumen verteilt ist, kann eine Ladungsdichte
ρ(⃗r Q ) = dQ
dτ
definiert werden.
dQ ist die in einem Volumenelement dτ an der Stelle ⃗r Q enthaltene Ladung.
0
r Q
dτ
r
dQ
r–
r Q
dE
dQ erzeugt am Ort ⃗r die Feldstärke
d ⃗ E = 1
4πε ◦
ρ(⃗r Q )dτ
|⃗r − ⃗r Q | 3(⃗r − ⃗r Q).
Analog zum Ergebnis des vorhergehenden Beispiels erhält man die totale Feldstärke
im Punkte ⃗r mit einer Integration von d ⃗ E über die gesamte Ladungsverteilung des
Körpers, wobei V (r = ∞) = 0 gesetzt wird:
⃗E(⃗r) = 1
4πε ◦
∫
Körper
ρ(⃗r Q )(⃗r − ⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | 3 dτ ⇒ Potential V (⃗r) = 1
4πε ◦
∫
7. Eine beliebige flächenhafte Ladungsverteilung
Körper
ρ(⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | dτ.
kann in analoger Weise berechnet werden. Das Flächenelement dA an der Stelle ⃗r Q
der Fläche A enthalte die Ladung dQ und damit die Flächenladungsdichte
dQ
r Q
0 r
dA
⃗E = 1
4πε ◦
∫
r–
r Q
Fläche A
dE
σ(⃗r Q ) = dQ
dA .
dQ erzeugt in ⃗r die Feldstärke
d ⃗ E = 1
4πε ◦
σ(⃗r Q ) dA
|⃗r − ⃗r Q | 3 (⃗r − ⃗r Q)
σ(⃗r Q ) (⃗r − ⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | 3 dA sowie V = 1
4πε ◦
∫
Fläche A
und
σ(⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | dA.
Diese direkte Integrations- oder Summationsmethode kann für vorgegebene Ladungsverteilungen
angewendet werden. Als Beispiel berechnen wir das Feld einer
homogen geladenen Kreisscheibe vom Radius a auf der Symmetrieachse.
Ein Flächenelement dA = r ′ dr ′ dϕ erzeugt ein Feld |d ⃗ E| = 1
4πε ◦
σ dA
r 2 .
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