Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

V m
I(t)
t
also I(t) = iω C V ◦ e iωt und mit der
Impedanz des Kondensators Z C = 1
iω C
wird I = V m
= V ◦ e iωt
.
Z C Z C
Die reelle Lösung lautet R{I(t)} = R{iωC(cosωt + i sin ωt)} = −ωC V ◦ sin ωt .
Der Strom eilt der Spannung um π/2 voraus.
4) Serienresonanzkreis
Alle drei Impedanzen sind in Serie hintereinander geschaltet. Mit dem Kirchhoff’schen
Gesetz ist V ◦ e iωt = I (R + Z C + Z L ) . Die komplexen Impedanzen dürfen addiert
werden wie die Ohmschen Widerstände und damit ist
V ◦ e iωt
∼♠
R
C
≀
L
≀
I(t) =
V ◦ e iωt
R + Z C + Z L
.
Mit den Impedanzen darf in komplexer Schreibweise wie
mit Ohmschen Widerständen gerechnet werden.
Für den Realteil erhalten wir
{
V ◦
R{I(t)} = R
R + iωL + 1
iωC
e iωt }
= R
{
V◦ (R − i(ωL − 1
}
))(cosωt + i sin ωt)
ωC
(R + i(ωL − 1
1
))(R − i(ωL − )) ωC ωC
= V ◦ (R cos ωt + (ωL − 1 ) sin ωt)
ωC
R 2 + (ωL − 1 =
ωC )2
mit (vgl. Anhang C.1.1) tanδ = ωL − 1
ωC
R
V ◦
√
R2 + (ωL − 1
ωC )2 cos(ωt − δ) = I ◦ cos(ωt − δ) ,
und I ◦ =
V ◦
√
R2 + (ωL − 1
ωC )2 (73)
Die Stromamplitude I ◦ hängt in ähnlicher Weise von ω ab wie die Amplitude der stationären,
erzwungenen Schwingung eines linearen, harmonischen Oszillators [Mechanik
Kap. 7.4]. Auch die Wechselstromamplitude I ◦ (ω) zeigt Resonanz.
I ◦ erreicht seinen maximalen Wert
δ
I o max
I o max
2
0
I o
ω ο
∆ω1/2
+π/2
0
−π/2
ω
I ◦ = I 0,max = V ◦
R ,
wenn ωL = 1
ωC , d.h. ω2 = ω◦ 2 = 1
LC .
Die Resonanzfrequenz ist also gerade durch die
Thomson-Bedingung beim ungedämpften LC-
Schwingkreis gegeben. An dieser Stelle ist
δ = 0, d.h. Strom und Spannung sind in Phase. Die Breite der Resonanzkurve wird wie
in der Mechanik durch die Dämpfung, d.h. durch R bestimmt. Der genaue Vergleich von
Gleichung (73) mit der Amplitude der erzwungenen mechanischen Schwingung zeigt, dass
R/L der mechanischen Grösse β/m entspricht. Somit können wir auch die in der Mechanik
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