Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Zwischen dem längs C induzierten elektrischen Feld ⃗ E ind , resp. der induzierten EMK, und
der zeitlichen Änderung des Flusses besteht der quantitative Zusammenhang
V m,ind
. =
∮
⃗Eind · d⃗r = − dΦ
dt
Faradaysches
Induktionsgesetz
(60)
Zu beachten ist, dass sich der Fluss auf ganz beliebige Art ändern kann: entweder durch
zeitliche Änderung von ⃗ B bei fester Kurve C, oder Form- und Lageänderung der Kurve
C bei konstantem ⃗ B, oder beides zusammen. Ferner ist die Flussänderung unabhängig
von der speziellen Form der Fläche (bei vorgegebener Berandung C), da der Fluss eines
⃗B-Feldes durch eine geschlossene Fläche auch dann verschwindet, wenn ⃗ B eine Funktion
der Zeit ist.
Leiter
Wird in die Kurve C ein geschlossener Leiter mit Widerstand R gelegt, so entsteht ein
I ind
→
B n
R
dA →
B →
→ dr →
E ind
induzierter Strom I ind = − 1 R
dΦ
dt = V m,ind
R .
Der induzierte Strom hat eine Richtung, so dass das durch
ihn erzeugte, zusätzliche B-Feld die Änderung des Feldflusses
zu hemmen sucht. Dies ist die Lenz’sche Regel 64 .
Sie folgt aus dem Gesetz der Erhaltung der Energie. Denn der induzierte Strom stellt
einen Energievorrat dar, der aus der mechanischen Energie gewonnen werden muss, die
zur Änderung von Φ notwendig ist.
Das Faraday’sche Induktionsgesetz lässt sich auch in differentieller Form schreiben
[vgl. Gl. (45)]. Dazu wendet man es auf eine rechteckige, geschlossene Kurve C mit den
z
x
→
E x (y)
y
→
xyz
dy
E y (x+dx)
→
B z →
E y (x)
dx
→
E x (y+dy)
Seitenlängen dx und dy an. Ist ⃗ B zeitlich variable, so gilt
(E y (x + dx) − E y (x))dy + (E x (y) − E x (y + dy))dx
= − ∂B z
∂t
dxdy . Also gilt
∂E
y
∂x − ∂E x
∂y = −∂B z
∂t
.
Und analog erhält man
∂E z
∂y − ∂E y
∂z = −∂B x
∂t
und
∂E x
∂z − ∂E z
∂x = −∂B y
∂t
,
zusammengefasst also
rot ⃗ E = ⃗ ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
Faraday’sches Gesetz
=3. Maxwell Gl.
Das induzierte Feld ist ein Wirbelfeld, es besitzt kein skalares Potential.
Die differentielle Form des Faraday’schen Induktions-Gesetzes stammt von Maxwell.
Sie besagt: “Zeitlich veränderliche ⃗ B-Felder erzeugen ⃗ E-Felder”. Umgekehrt kann man aus
der differentiellen Form des Faradayschen Gesetzes mittels des Satzes von Gauss [Gl. (24)]
wieder das Faradaysche Gesetz in Integralform herleiten, allerdings muss die Kurve C im
Raum fest sein. Also erhalten wir aus dem differentiellen Gesetz das Integralgesetz im Falle
nicht beweglicher Leiter. Anderseits konnten wir für bewegliche Leiter das Integralgesetz
aus der Lorentzkraft herleiten.
Somit haben wir folgende Situation: Das Faradaysche Gesetz in Integralform unterscheidet
nicht, ob die Flussänderung durch bewegte Leiter, veränderliches ⃗ B-Feld oder
64 Lenz, 1834
(61)
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