Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Im folgenden ist S eine offene Fläche und C eine sie einschliessende Kontur mit dem
Linienelement d ⃗ l. Die Normale ⃗n zu S ist durch die rechte Hand-Regel in bezug auf das
Linienintegral um die Kontur C definiert.
∫
× A)
S(∇ ⃗ · ⃗nda = ∮ ⃗A · d ⃗ l Stoke’s Theorem
C
∫
⃗n × ∇Ψda = ∮ Ψd ⃗ l
C
S
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen
Mit den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 , die den gewählten Koordinaten entsprechen
und den Komponenten A 1 ,A 2 ,A 3 von ⃗ A gilt für den Nabla-Operator ∇
Kartesische Koordinaten x 1 ,x 2 ,x 3 = ⃗x = x,y,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1∂x1 + ⃗e ∂Ψ
2∂x2 + ⃗e ∂Ψ
3∂x3
∇ · ⃗A = ∂A 1
∂x
+ ∂A 2
1 ∂x
+ ∂A 3
2 ∂x 3
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ∂A 3
∂x
− ∂A 2
2 ∂x
) + ⃗e 2 ( ∂A 1
3 ∂x
− ∂A 3
3 ∂x
) + ⃗e 3 ( ∂A 2
1 ∂x
− ∂A 1
1 ∂x
)
2
∇ 2 Ψ = ∂2 Ψ
∂x 2 + ∂2 Ψ
1 ∂x 2 + ∂2 Ψ
2 ∂x 2 3
Zylinder Koordinaten ρ,ϕ,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂ρ
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2ρ ∂ϕ
+ ⃗e ∂Ψ
3
∂z
∇ · ⃗A = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρA 1) + ρ 1 ∂A 2
∂ϕ + ∂A 3
∂z
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ρ 1 ∂A 3
∂ϕ − ∂A 2
∂z ) + ⃗e 2( ∂A 1
∂z − ∂A 3
∂ρ ) + ⃗e 1 3ρ (∂(ρA 2)
∂ρ
− ∂A 1
∂ϕ )
∇ 2 Ψ = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ 2 ∂2 Ψ
∂ϕ 2 + ∂2 Ψ
∂z 2
Kugel Koordinaten r,ϑ,ϕ
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂r
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2r ∂ϑ
+ ⃗e 1
3
rsinϑ ∂Ψ
∂ϕ
∇ · ⃗A = 1 ∂ r 2 ∂r (r2 A 1 ) +
r sinϑ 1
∂ϑ ∂ (sinϑA 2) +
r sinϑ 1 ∂A 3
∂ϕ
∇ × A ⃗ [
= ⃗e 1 ∂
1
r sinϑ ∂ϑ
(sinϑA 3 ) − ∂A ]
2
∂ϕ
+
[
+⃗e 1
2
r sinϑ ∂A 1
∂ϕ − 1 r ∂r ∂ ] [ (rA 3) + ⃗e 1 ∂∂r
3r (rA 2 ) − ∂A ]
1
∂ϑ
∇ 2 Ψ = 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) + 1 ∂
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ∂Ψ ∂ϑ ) + 1 ∂ 2 Ψ
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2
mit 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) ≡ 1 r ∂2
∂r 2 (rΨ) = ∂2
∂r 2 (Ψ) + 2 ∂
r ∂r (Ψ)
Es werden auch folgende Schreibweisen benutzt:
gradΨ = ∇Ψ div ⃗ A = ∇ · ⃗A rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A ∇ 2 = ∆
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