Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

R
V
P
E
→
a
Eine Anwendung der Flussregel sei neben den Beispielen 1.-4. S.6 eine
Kugel mit Radius a, die homogen kugelsymmetrisch mit einer
konstanten Ladungsdichte ρ = ρ(r) =konst. belegt ist. Die totale
Ladung ist Q =
∫
Kugel
ρ(r) dτ,
dτ : Volumenelement der Kugel.
Aus der Symmetrie der Kugel müssen die Feldlinien des ⃗ E-Feldes radial verlaufen, d.h.
E = E(r). Mit der Flussregel für eine Kugelfläche mit dem Radius R konzentrisch zur
Kugel a und dem ⃗ E-Feld E n = E(r) gilt
∮
Φ =
∮
E n dA = E(R)
dA = E(R) 4π R 2 = Q ε ◦
und damit für das Feld
E(R) = 1
4πε ◦
Q
R 2 für (R ≥ a)
Dies ist das gleiche Feld wie das einer Punktladung Gl. (4) und wir können das Potential
von Gl. (5) übernehmen:
V (R) = 1 Q
4πε ◦ R
für (R ≥ a) (8)
Diese Ergebnisse gelten für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen ρ(⃗r) = ρ(r). Auch in
diesem Fall konnte das Integral der Flussregel (Gauss’scher Satz) unter der Ausnutzung
der Symmetrieeigenschaften gelöst werden.
Für
eine kontinuierliche Ladungsverteilung mit der Dichte ρ(⃗r) lässt sich der Gauss’sche
Satz auch in differentieller Form schreiben. Ist A die Oberfläche eines Volumenelementes
dτ = dx ·dy · dz, das die Ladung dQ = ρ ·dτ enthält, so ist der Feldfluss dΦ Gl. (7) durch
✻ z ✘ ✘ ✻ Ez(z+dz) die einzelnen Oberflächenelemente dieses Würfels:
✏ dx ✏✶ Ey(y+dy)
✲ dΦ = [E x (x + dx) − E x (x)]dydz + [E y (y + dy) − E y (y)]dzdx+
E x(x) ✏✶ dz E Ey(y) x(x+dx)
✑ (x,y,z)
dy
+[E z (z + dz) − E z (z)] dxdy = ρ dxdydz
✏✏✶ y E z(z)
✲x
ε ◦
Dividieren wir durch das Volumenelement dxdy dz und nehmen den Grenzfall
dx, dy, dz → 0, so erhalten wir die partielle Differentialgleichung
∂E x
∂x + ∂E y
∂y + ∂E z
∂z = ρ ε ◦
⇒ div ⃗ E = ∇ · ⃗E = ρ ε ◦
1. Maxwell
Gleichung
Diese 1. Maxwellsche Gleichung ohne Medium formuliert die Tatsache, dass Ladungen
die Quellen des elektrischen Feldes ⃗ E sind 9 .
Das ⃗ E-Feld wurde aus der konservativen Coulomb-Kraft abgeleitet und kann daher
mit dem Gradienten des Potentials V nach Gl. (3) dargestellt werden zu ⃗ E = −∇V .
9 Man vergleiche dieses Ergebnis mit der Kontinuitätsgleichung in der Hydromechanik
(Phys AI Kap.12.3.1.) bei der keine Quellen auftraten und in Analogie ρ = 0 gesetzt wurde.
(9)
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