Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

C.3 Vektorgleichungen
Skalarprodukt Vektorprodukt Tensorprodukt
⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ⃗a × ⃗ b = ⃗e x(a y b z − a z b y ) ⃗a ⊗ ⃗ ⎛
⎞
b = a x b x a x b y a x b z
⎜
⎟
⃗e y (a z b x − a x b z ) ⎝ a y b x a y b y a y b z ⎠
⃗e z (a x b y − a y b x ) a z b x a z b y a z b z
⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a ·⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b ·⃗c)
∇ × ∇ψ = 0
∇ · (∇ ×⃗a) = 0
(∇ · ∇)ψ = ∇ · (∇ψ) = ∆ψ
∆⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∇ × (∇ ×⃗a)
∇ × (∇ ×⃗a) = ∇ · (∇⃗a) − ∇ 2 ⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∆⃗a
∇ · (ψ⃗a) = ⃗a · ∇ψ + ψ∇ ·⃗a
∇ × (ψ⃗a) = ∇ψ ×⃗a + ψ∇ ×⃗a
∇(⃗a ·⃗b) = (⃗a · ∇) ⃗ b + ( ⃗ b · ∇)⃗a +⃗a × (∇ × ⃗ b) + ⃗ b × (∇ ×⃗a)
∇ · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (∇ ×⃗a) −⃗a · (∇ × ⃗ b)
∇ × (⃗a × ⃗ b) = ⃗a(∇ ·⃗b) − ⃗ b(∇ ·⃗a) + ( ⃗ b · ∇)⃗a − (⃗a · ∇) ⃗ b
Ist ⃗x die Koordinate eines Punktes in Bezug auf einen Ursprung mit dem Betrag r = |⃗x|
und ⃗n = ⃗x/r der Einheitsradiusvektor, dann gilt
∇ · ⃗x = 3 ∇ × ⃗x = 0
∇ · ⃗n = 2 r ∇ × ⃗n = 0
(⃗a · ∇)⃗n = 1 r [⃗a − ⃗n(⃗a · ⃗n)] ≡ ⃗a ⊥
r
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung
Im folgenden sind Φ, Ψ, und ⃗ A skalare oder Vektor-Funktionen, V ist ein dreidimensionales
Volumen mit dem Volumenelement d 3 x. S ist eine zweidimensionale, geschlossene
Oberfläche des Volumens V mit dem Flächenelement da und der nach aussen zeigenden
Normalen ⃗n auf da.
∫
∇ · ⃗Ad 3 x = ∫ ⃗A · ⃗nda
Divergenz Theorem
V ∫
S
∇Ψd 3 x = ∫ ψ⃗nda
V S
∫
∇ × Ad ⃗ 3 x = ∫ ⃗n × Ada ⃗
∫
V S
(Φ∇ 2 Ψ + ∇Φ · ∇Ψ)d 3 x = ∫ Φ⃗n · ∇Ψda Green’s 1. Identität
V ∫
S
(Φ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Φ)d 3 x = ∫ − Ψ∇Φ) · ⃗nda Green’s Theorem
V
S(Φ∇Ψ
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