Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Grössen durch den Differentialoperator ∇ in der Stufe erhöht oder erniedrigt werden 48 . Diese
Reduktion führte beim ⃗ E-Feld mit Gl. (3) zum skalaren elektrostatischen Potential V (⃗r) und
mit der 1. Maxwell Gleichung (9) zur Poisson’schen Differentialgleichung (10).
Das Axialvektorfeld ⃗ B als nichtkonservatives Wirbelfeld kann nun nicht durch ein skalares
Potential dargestellt werden 49 . Es kann jedoch eine allgemeine Relation des Operators ∇ benutzt
werden zusammen mit der Quellenfreiheit des ⃗ B-Feldes ∇ · ⃗B = 0 (es gibt keine magnetischen
Monopole).
Für jedes Vektorfeld gilt allgemein ∇ · (∇ × ⃗ A) = 0 = div rot ⃗ A. Damit kann (∇ × ⃗ A) = ⃗ B
gesetzt werden und ⃗ B wird durch ein Vektorpotential ⃗ A dargestellt:
⃗B(⃗r, t) = ∇ × ⃗ A(⃗r, t) (46)
Im folgenden ist in der Magnetostatik ∂ ∂t = 0, t wird weggelassen. Das Vektorpotential ⃗ A ist
analog zum skalaren Potential V keine Observable und es kann wie zu V eine beliebige vektorielle
Konstante zu ⃗ A addiert werden. Die Beziehung ⃗ B = ∇ × ⃗ A bleibt auch dann erhalten. Es kann
auch der Gradient eines skalaren Potentials ∇ψ addiert werden, da allgemein gilt ∇ × ∇ψ = 0.
Diese Willkürlichkeit wird i.a. durch eine Zusatzbedingung (Eichung 50 ) von ⃗ A festgelegt, z.B.
mit ∇· ⃗A = 0. Es gilt dann mit der Vektorbeziehung [Anhang C.2] ∇×(∇× ⃗ A) = ∇(∇· ⃗A)−∇ 2 ⃗ A
∇ × B ⃗ = µ ◦
⃗j = ∇ × (∇ × A) ⃗ = ∇ (∇ · ⃗A) −∇ 2 A ⃗
} {{ } ⇒ ∇
2 A ⃗ = ∆A ⃗ = −µ◦ ⃗j
= 0
Diese Gleichung ist die zu V analoge Poissongleichung des Vektorpotentials, die für die Komponenten
A x A y A z als skalare Differentialgleichungen ∆A x = −µ ◦ j x usw. geschrieben werden
kann 51 . Mit entsprechenden Randbedingungen können dann Lösungen der Magnetostatik gefunden
werden.
4.2 Anwendungen der Gesetze von Lorentz, Ampère und Biot-
Savart
Das Ampère’sche Gesetz kann als ∮ C ⃗ H ·d⃗r = ∫ A j n dA(= ∑ I) nur in Spezialfällen besonders
einfacher Geometrie angewandt werden (wenn zum Beispiel ⃗ H entlang dem Integrationsweg
konstant ist). Normalerweise benutze man das Biot-Savart’sche Gesetz oder die
48 Vergleiche die Tensoralgebra. [Skript Physik AI Anhang C.2 und C.4].
49 Es ist ∇ × E ⃗ = 0 damit E ⃗ = −∇V (⃗r) und mit ∇ · ⃗E = ρ/ε ◦ erhält man ∆V (⃗r) = −ρ/ε ◦ . Wegen
∇ × B ⃗ = µ ◦
⃗j ≠ 0 ist dieser Weg für B ⃗ nicht möglich.
50 In der Elektrodynamik ist ∇ · ⃗A+ε ∂V ◦ µ ◦ ∂t
= 0 die Lorentz-Eichung. Hier in der Elektro- und Magnetostatik
ist dann ∇ · ⃗A = 0. Aus praktischen mathematischen Gründen werden auch andere Eichungen
benutzt.
51 In der Relativitätstheorie ist es zweckmässig das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum durch
den vierdimensionalen Vektor r µ = (ct,x,y,z) zu beschreiben. Analog ist das Viererpotential
A µ = (V/c,A x ,A y ,A z ). Das E- ⃗ und B-Feld ⃗ kann dann mit dem elektromagnetischen Feldtensor
⎛
⎞
0 −E x −E y −E z
F µν = ⎜ E x 0 −B z B y
dargestellt werden.
⎟
⎝ E y B z 0 −B x
⎠
In SI-Einheiten ersetze
E → √ 4πε
E z −B y B x 0
◦ E und B → √ 4π/µ ◦ B.
Der Feldtensor zeigt in der Vereinheitlichung des magnetischen und elektrischen Feldes zur elektromagnetischen
Wechselwirkung, dass beide Felder verschiedene ”
Ansichten“ der einzigen elektromagnetischen
Wechselwirkung sind.
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