Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

+Q
V 1
R 1
R 2
-Q
l
V 2
Mit dem Gauss’schen Satz mit R 1 < r < R 2 ist
V 1 − V 2 =
2πrl E(r) = Q ε ◦
⇒ E(r) = Q
2πε ◦ rl
∫R 2
R 1
E dr =
Q
2πε ◦ l ln R 2
R 1
⇒ E(r) = V 1 − V 2
r ln (R 2 /R 1 )
C =
Q l
= 2πε ◦
V 1 − V 2 ln(R 2 /R 1 )
Kapazität des
Zylinderkondensators
-Q
6. Die Methode der Spiegelladung benutzt die Symmetrie der Ebene einer entsprechenden
Anordnung von Ladungen. Zunächst sei das Feld eines elektrischen Dipols,
d.h. zwei Ladungen +Q und −Q im festen Abstand 2d nach dem Superpositionsprinzip
berechnet. Im Punkt P der x-y-Ebene ist dann das Potential
y
S
V (x,y) = 1 ( Q
− Q )
=
S -
4πε ◦ r 1 r 2 ⎛
⎞
x
= Q 1
⎝√
- +
+ +Q 4πε ◦
+Q
(d − x) 2 + y − 1
√
⎠
2 (d + x) 2 + y 2 In der Symmetrieebene mit x = 0 ist das Potential überall
null und die Feldlinien stehen senkrecht zu dieser
r1 r2
P(x,y)
- Ebene. In die Symmetrieebene könnte daher eine leitende
Folie gesetzt werden ohne das Feld zu d d
d
stören.
Dies ist aber das Potential und das Feld einer einzelnen punktförmigen Ladung
gegenüber einer leitenden Platte und die Spiegelladung −Q dient dann nur zur
Berechnung. Auf die Ladung +Q wirkt die anziehende Kraft der Spiegelladung,
diese Kraft spielt eine Rolle bei der Feldemission von Elektronen (Glühkathode).
2.7 Isotrope Dielektrika
Das Coulombsche Gesetz in der Form von Gl. (2) ist nur für die zwei Ladungen Q 1 und Q 2
im Vakuum gültig. Versuche mit der Cavendish-Drehwaage mit flüssigen oder gasförmigen
Isolatoren zwischen den beiden Ladungen ergeben stets Kräfte, die kleiner sind als jene,
die im Vakuum auftreten. Das Medium, der Isolator zwischen den Ladungen, nach M.
Faraday Dielektrikum genannt, hat also einen Einfluss auf die elektrischen Felder.
In der Natur gibt es keine vollkommenden Nichtleiter bzw. Isolatoren, jedoch ist der Ladungstransport
in einem Isolator so gering, dass wir Isolatoren in sehr guter Näherung als
ideale Nichtleiter behandeln können. Isolatoren sind für das elektrische Feld durchlässig,
während Leiter das Feld abschirmen. Man bezeichnet Isolatoren als Dielektrika.
Zum Spannungsbegriff V = ∫ Ed⃗r ⃗ in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum:
Für einem Plattenkondensator, in dem in der oberen Hälfte
2 Dielektrikum 1
ein Dielektrikum steckt, muss nach der Definition der Spannung
als Arbeit pro Ladungseinheit W = q ∫ Ed⃗r ⃗ = qV , die
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Spannung zwischen den Punkten 2-1 und 3-4 gleich sein sowie
+ − die Arbeit über den Weg 1-2-3-4 null sein. D.h.:
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