Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich
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Als Vektorgleichung gilt damit ⃗ F = (∇We ) Vi =konst.<br />
(31)<br />
Wenn für einen speziellen Fall die Kräfte aus einer gedachten virtuellen Verschiebung<br />
berechnet werden, dann müssen beide Methoden a) <strong>und</strong> b) dasselbe Resultat ergeben.<br />
2.8.2 Beispiele zur Energie des elektrostatischen Feldes<br />
1. Die Thomsonsche Waage<br />
Diese von Lord Kelvin vorgeschlagene Anordnung dient zur direkten Messung des<br />
Potentiales in SI-Einheiten. Gesucht ist die Kraft auf eine Platte eines ebenen geladenen<br />
Plattenkondensators. Die untere Platte ist Teil einer Waage <strong>und</strong> die von der oberen<br />
ausgeübte Kraft wird durch Gewichte kompensiert. Die Kraft kann mit beiden, obigen<br />
x<br />
✻<br />
x<br />
✻<br />
+Q<br />
❄F x<br />
−Q<br />
V<br />
✻<br />
❄<br />
Methoden berechnet werden.<br />
a) Q =konst. Mit Gl. (27) W e = 1 2 Q2 /C <strong>und</strong> C = ε ◦ A/x ist<br />
−F x = ∂W e<br />
∂x = ∂ ( Q 2 )<br />
x<br />
= Q2<br />
∂x 2ε ◦ A 2ε ◦ A<br />
b) V =konst F x = +<br />
❄F x V<br />
C = ε ( )<br />
◦A ∂We<br />
⇒<br />
x ∂x<br />
V<br />
( ) ∂We<br />
, W e = CV 2<br />
∂x<br />
2<br />
V<br />
= ε ◦AV 2<br />
2<br />
⇒ F x = − Q2<br />
2ε ◦ A = −ε ◦AV 2<br />
2x 2<br />
∂ 1 x<br />
∂x = −ε ◦AV 2<br />
2x 2<br />
Mit dieser Methode kann absolut die Spannung gemessen werden.<br />
= ε ◦AV 2<br />
2x<br />
mit<br />
= − Q2<br />
2ε ◦ A = F x.<br />
2. Steighöhe eines flüssigen Dielektrikums im Plattenkondensator<br />
Wird zwischen die Platten eines Kondensators eine Flüssigkeit gebracht, so wird diese<br />
polarisiert <strong>und</strong> durch die Kraft des inhomogenen Randfeldes um x angehoben 29 . Das<br />
homogene Feld im Innern des Kondensators übt keine Kraft auf einen Dipol aus. Im<br />
Gleichgewicht ist die elektrische Kraft F x auf das Dielektrikum gleich dem Gewicht<br />
G = ρgxbd der angehobenen Flüssigkeit. Die Feldenergie im<br />
x<br />
d<br />
Kondensator ist, wenn er in die zwei Bereiche mit <strong>und</strong> ohne<br />
Dielektrikum eingeteilt wird:<br />
dx<br />
x<br />
a<br />
a) alles in Q ausdrücken<br />
b<br />
F x = −<br />
b) alles in V ausdrücken<br />
F x = +<br />
W e = CV 2<br />
( ) ∂We<br />
= − Q2<br />
∂x 2<br />
Q<br />
( ) ∂We<br />
∂x<br />
V<br />
= V 2<br />
2<br />
2<br />
= Q2<br />
2C , mit C = ε ◦b<br />
(xε + (a − x)) <strong>und</strong> V = E · d<br />
d<br />
( )<br />
d 1<br />
= + Q2<br />
dx C 2<br />
ε ◦ b<br />
2<br />
C 2 d (ε − 1) = +V ε ◦ b(ε − 1)<br />
2d<br />
dC<br />
dx = V 2 ε ◦ b<br />
(ε − 1) = G = ρ g xbd. Daraus folgt<br />
2 d } {{ }<br />
χ e<br />
29 Da im homogenen Feld keine Kraft auf den Dipol ausgeübt wird, kann nur das inhomogene Randfeld<br />
als Angriffspunkt der Kraft interpretiert werden; die Energiebetrachtung macht darüber keine Aussage.<br />
29
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