Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

5.3 Quasistationäre Ströme
Es werden Stromkreise betrachtet, die Widerstände (R), Spulen (L) und Kondensatoren
(C), sowie elektromotorische Kräfte 70 enthalten. Die Ströme sollen sich so langsam
verändern, dass keine Energie durch Strahlung verloren geht. 71
Die Spannungsabfälle, bzw. elektromotorischen Kräfte über die drei Schaltelemente
sind mit ihren Schaltbildern gegeben durch
V R = I R am Widerstand R R
V C = Q C
V m,ind = −L dI
dt
am Kondensator C
von der Selbstinduktion L.
C
∼∼∼∼∼
Ferner ist für Umrechnungen I = dQ
∫ t
dt , resp. Q(t) = I(t) dt + Q(t = 0) .
0
Betrachten wir einen einfachen Stromkreis, so gilt nach der 2. Kirchhoffschen Regel
∑
∼∼∼∼
✎☞
Vm,ind = ∑ V
L
i d.h. V m − L dI
dt = R I + Q C
V m
✍✌ C
R
oder auch V m = L dI
dt + R I + Q C .
Setzen wir I = dQ
dt
ein, so erhalten wir für Q:
L
L d2 Q
dt 2 + R dQ
dt + Q C = V m(t) (68)
oder dQ = I und differenzieren für I: L d2 I
dt
dt + R dI
2 dt + I C = dV m(t)
. (69)
dt
Die Lösungen siehe im Anhang C.1 Dgl. 7. und 8. Verglichen mit der Mechanik stellt der
Term dVm eine Anregung dar, I dI
eine Rückstellkraft und R eine Dämpfung.
dt
C dt
Mit V m =konst. und damit dVm = 0 beschreibt Gl. (69) eine gedämpfte Schwingung, die
dt
Energie pendelt zwischen W m und W e mit der Ohm’schen Dämpfung (Joule’sche Wärme)
I 2 R [vgl. Gl. (71)]. Mit V m = V ◦ cos ωt existiert eine erzwungene Schwingung [siehe S. 80].
5.3.1 Stromkreise mit konstanter EMK
Sonderfälle ergeben sich, wenn entweder die Kapazitäten C oder die Selbstinduktion L so
klein sind, dass eine gegenüber der anderen vernachlässigt werden kann.
1) L = 0, C ≠ 0
Gleichung (68) reduziert sich auf R dQ
dt + Q C = V m , V m ist konstant (70)
mit der Lösung [Anhang C.1 Dgl. 4.] Q(t) = Q ◦ e −t/(RC) + V m C .
70 z.B. Batterien, Gleichstrom- oder Wechselstromgeneratoren
71 Wir werden später [Kap. 5.4.1] sehen, dass nicht nur (gemäss Induktionsgesetz) veränderliche Magnetfelder
elektrische Felder erzeugen, sondern dass auch umgekehrt veränderliche elektrische Felder Magnetfelder
hervorrufen können. Diese veränderlichen Felder können sich im Raum ausbreiten, das betreffende
System sendet “elektromagnetische Wellen” aus. Die Abstrahlung hängt jedoch stark von der Frequenz
der Wechselfelder ab. Bei Frequenzen bis etwa 1000 Hertz ist der Energieverlust infolge Strahlung vernachlässigbar.
Wir beschränken uns deshalb hier auf solche “langsam veränderliche” Felder und Ströme.
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