Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

B.1.3
Grössengleichungen
In Gleichungen, wie F = Γ m 1m 2
muss die Dimension rechts und links identisch sein
r 2
(Dimensionskontrolle). Damit ist die Dimension von Γ [ ]
Nm 2
kg bestimmt.
2
Mathematische Funktionen in Grössengleichungen, wie sin, cos, log, ln, sinh,
exp, müssen als Argument unbenannte (dimensionslose oder Eins-Elemente)
Zahlen (auch komplexe) enthalten, z.B. sin(ωt) = sin(2πνt), sin(2πx/λ),
exp(−t/τ). ..
Diese Regel wird in der Technik und Medizin oft missachtet [z.B. Grössenklasse eines
Sternes m v = −2.5 · log 10 (Luminosität [W/m 2 ]/2.52 · 10 −8 )]. Einheiten und Dimensionen
gehen verloren, es besteht die Gefahr von Rechenfehlern und Dimensionskontrollen können
nicht mehr durchgeführt werden. Die Formel ist keine Grössengleichung.
B.1.4
Winkel und Raumwinkel
ϕ 2
ϕ
s
R=1
ϕ 1
ϕ=0
Ein Winkel wird definiert als das Bogenmass d.h. die Bogenlänge
im Einheitskreis:
ϕ = s R = s
1m
[rad] mit R = 1.
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = s 2
1 m − s 1
1 m = s 2
R − s 1
R .
Das Bogenmass ist eine dimensionslose Grösse (Verhältnisgrösse) mit der Bezeichnung
rad (Radiant), ein voller Winkel ist ϕ = 2π. Die auch übliche Angabe in Grad ist
Grad= rad · 180 ◦ /π mit 360 ◦ für den vollen Winkel.
Der Raumwinkel ist die auf einer Einheitskugel aufgespannte Kugeloberfläche
A
Ω
R=1
Ω = A
1 m 2 = A R 2 [sr]
mit der Einheit [sr] (Steradiant). Eine Vollkugel hat Ω = 4π sr.
Manchmal wird der Raumwinkel (z.B. eines Detektors) auch in
Einheiten von 4π angegeben.
B.1.5
Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen
Als Bedingungen für ein Einheitensystem können die folgenden aufgestellt werden 75 :
(i) Beschränkung auf ein Minimum an Einheiten
(ii) Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikation
und Division bestehender Grössen bestimmt werden. Z.B. Fläche=(Länge) 2 , nicht aber
Länge= √ Fläche mit der Fläche als Basis.
(iii) Die Struktur des physikalischen Begriffsystems ist durch folgende Axiome gegeben:
1. C = A · B Multiplikative Bildung von Grössenarten. Hierbei ist keine der Grössen
A,B,C voreinander ausgezeichnet.
2. Unbenannte Zahlen (1) = A ◦ (Eins-Elemente) ändern die Dimension einer Grösse
nicht, A·(1) = A, z.B. [Länge]·5=[Länge], [Bogenlänge/Radius]=(1) [rad], [Wirkungsgrad
75 Fleischmann, Zeitschrift für Physik 129(1951)377. Hier beziehen sich Produkt, Quotient, Multiplikation,
Division nicht nur auf reine unbenannte Zahlen (dimensionslose Grössen) oder Skalare sondern auf
allgemein benannte Grössen.
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