Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

4. Für das konservative elektrostatische Feld gilt wie auch in der Mechanik
rot ⃗ E = ∇ × ⃗ E = 0
Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei und es gibt keine geschlossenen Feldlinien
in der Elektrostatik. Die Feldlinien beginnen in positiven und enden in negativen
Ladungen.
Die Dimension des Potentials ist [V ] =[Feldstärke][Länge]= Nm
As
und die Einheit ist
Volt [V] also
Newton
Coulomb Meter = Volt = N Cb m = N A s m = V
Die Einheit der Feldstärke E kann damit auch als 1
As N = 1 m V geschrieben werden.
Jedem Punkt des elektrostatischen Feldes werden die zwei Grössen der Vektor E ⃗ und
der Skalar V zugeordnet. Wie in der Mechanik ist V nur bis auf eine additive Konstante
bestimmt und es muss ein Bezugspunkt gewählt werden, auf den alle Potentiale bezogen
werden. In der Praxis wird oft ein Punkt im Unendlichen oder ein ausgezeichneter
Punkt (Erde) auf das Potential Null festgesetzt. Im folgenden sind einige Beispiele für
Feldstärken und Potentiale berechnet; beachte, dass viele Beispiele wie 1.-4. einfacher mit
dem Gauss’schen Satz Gl. (7) gelöst werden können.
1. Feld und Potential einer Punktladung Q
Mit dem Coulombschen Gesetz Gl. (2) F ⃗ = 1
✛✘
V (r)
✛ ❍❨ ❅■ ❆❆❑ ✻ ✁✁✕ ✒
✟✯
F
⃗E(⃗r) = ⃗
Q
✲
q = 1 Q ⃗r
4πε
✟✙ ⃗r
✚✙
❆ ❆❯ ❍❥ E ⃗ ◦ r 2 r
✠ ❆❆❯ ❅❘ ✁✁☛ ❄ Das Potential ist mit der vernünftigen Annahme
V ∞ = V (r = ∞) = 0
∫ ∞
V (r) − V ∞ = ⃗E · d⃗r = Q ∫ ∞ ⃗r · d⃗r
= Q
r 4πε ◦ r r 3 4πε ◦ r
4πε ◦
Qq
r 2 ⃗r
r ist
Feld einer
Punktladung Q
⇒ V (r) = 1 Q
4πε ◦ r
Die Aequipotentialflächen sind konzentrische Kugelflächen. Das E-Feld steht als Folge
der Beziehung ⃗ E = −∇V senkrecht auf den Äquipotentialflächen.
2. Das Feld eines ∞ langen, uniform geladenen, geraden Drahtes
dx ′ ✻
❅
❅
❅
❅
r ❅ ✒✲
ϑ
dE
⃗ ❅❘ dE ⃗ ′
R
dx ✻
Aus Symmetriegründen muss ⃗ E für einen positiv geladenen,
∞ langen Draht radial zylindersymmetrisch nach aussen
stehen, E ϕ = 0. Das Feld der Ladung dQ = λdx ′ des Elementes
dx ′ (λ = Ladung/Längeneinheit, As/m) beträgt:
dE ′ =
λdx′ und |dE| 4πε ◦ R ⃗ = 2λ cos ϑ dx
2 4πε ◦ R 2
für das der beiden Stücke dx und dx ′ .
damit ist mit R = r
∫
R dϑ
, dx =
cos ϑ cos ϑ , E =
6
dE =
2λ ∫ π/2
cosϑdϑ =
4πε ◦ r 0
(4)
(5)
λ
2πε ◦ r .