Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

C.1.6
Einige bestimmte Integrale,
die nicht als unbestimmte Integrale angegeben werden können.
∫∞
0
∫∞
0
∫∞
0
∫π
0
∫∞
0
∫∞
0
∫1
0
∫ 1
0
∫∞
t n p −t n!
dt =
(lnp) , n = 0, 1, 2...,p > 0 dx
n+1 (1 + x) √ x
⎧
0
π
a > 0
a dx
⎪⎨ 2
∫∞
sin mxdx
= 0 a = 0
a 2 + x 2 ⎪⎩ − π x
a < 0
0
2
sin 2 (px)dx
x 2
= πp
2
∫∞
0
∫
= π
sin 2 (mx)dx = π 2
π/2
dx π
= √
a + b cos x a2 − b , a > b ≥ 0 dx
2 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x = π
2ab
0
e −ax dx = 1 ∫∞
a , a > 0 e −a2 x 2 dx = 1 √ π
2a
0
x e −x2 dx = 1 ∫∞
√ π
x 2 e −x2 dx =
2
4
0
∫1 √
√ π
(lnx) n dx = (−1) n · n!
ln 1/x dx =
2
C.1.7
ln x
dx = −π2
1 + x 12
Reihenentwicklungen
Taylor-Reihe: f(x) = f(x ◦ )+f ′ (x ◦ ) (x − x ◦) 1
1!
0
∫ 1
0
ln x
dx = −π2
1 − x2 8
⎧ π
m > 0
⎪⎨ 2
= 0 m = 0
⎪⎩ − π m < 0
2
+f ′′ (x ◦ ) (x − x ◦) 2
+· · · mit 0 ≤ (x−x ◦ ) < 1
2!
exp(x) = e x = 1 + x + x2 + x3 + · · · ln(1 − x) = x − x2 + x3
2! 3! 2!
sin(x) = x − x3 + x5 − + · · · cos(x) = 1 − x2 + x4
3! 5! 2!
tan(x) = x + x3
3 + 2x5 15
+ · · · cot(x) = 1 −
x2
2 + x4
sinh(x) = x + x3
3!
+ x5
5!
+ · · · cosh(x) = 1 + x2
2!
+ x4
(1 + x) n = 1 + nx + n(n+1) x 2 + n(n−1)(n−2) x 3 + · · ·
2! 3!
1
= 1 − x + 1+x x2 − x 3 + · · ·, (−1 < x < 1)
√ 1 + x = 1 +
x
+ x2 + x3 + · · · , (−1 < x < 1)
2 8 16
√ 1
1+x
= 1 − x + 3x2 + · · · , (−1 < x < 1)
2
− 5x3
8 16
− + · · ·
3!
− + · · ·
4! − + · · · 4
+ · · ·
4!
96