Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

[Kap. 7.4] hergeleitete Formel für die Halbwertsbreite der Resonanzkurve bei schwacher
Dämpfung übernehmen. Die “gesamte Breite bei halber Höhe” (FWHM = Full Width at
Half Maximum) ist mit Gl. (73)
1
4R = 1
2 R 2 + (ω ′ L − 1/ω ′ C) , und 2 ω′ = ω ◦ + ∆ω für ∆ω ≪ ω ◦ ⇒ ∆ω 1/2 ≈ √ 3 R . L
Anwendung: Mit dieser Resonanz eines Schwingkreises wird bei Radio- oder TV-
Empfängern selektiv eine Sendefrequenz herausgefiltert.
5) Parallelschaltung Die Rechnung läuft analog zum vorherigen Beispiel. Es sei nur
R Ω
≀ noch erwähnt, dass bei der Parallelschaltung von Impedanzen
1
♠∼ C R L
wie bei der von Ohm’schen Widerständen gilt = ∑ 1
.
≀
Z tot i
Z i Als 2. Dämpfung wirkt der Ohm’sche Widerstand R Ω der Spule.
5.3.5 Transformatoren
I p I s der Skizze getrennt gezeichnet), wobei an Spule 1 eine Wechselspannung
Wir betrachten zwei eng übereinander gewickelte Spulen (in
angelegt sei. L 12 sei der Koeffizient der gegensei-
~ L R
V o e i t 2
tigen Induktion. Sein Vorzeichen hängt vom Wicklungssinn
der beiden Spulen ab. Der Widerstand der Spule 1 wird ver-
L 1
L 12
nachlässigt. Dann gilt gemäss Kirchhoff
für Spule 1: V ◦ e iωt dI s
± L 12
dt = L dI p
dI p
1 und für Spule 2: ± L 12
dt
dt = L 2
Diese zwei gekoppelten Differentialgleichungen können mit dem Ansatz 72
I p (t) = I p◦ e iωt und I s (t) = I s◦ e iωt gelöst werden.
dI s
dt + I s R .
Dabei sollen die beiden Amplituden I p◦ und I s◦ komplex sein, d.h. zwischen ihnen kann
eine Phase bestehen. Einsetzen in die Differentialgleichungen ergibt:
V ◦ = L 1 I p◦ iω ∓ L 12 I s◦ iω und 0 = L 2 I s◦ iω ∓ L 12 I p◦ iω + I s◦ R .
Daraus berechnet man
I s◦ = ±
V ◦
R L 1
L 12
+ iω( L 1L 2 −L 2 12
L 12
)
und I p◦ =
V ◦ (R + iωL 2 )
iωRL 1 − ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) . (74)
Für einen idealen Transformator mit Eisenkern gilt:
1. Alle Feldlinien verlaufen im Eisenkern (keine Sättigung oder Streufeld).
2. Es gibt keine Wirbelstromverluste im Eisenkern (z.B. lamellierter Eisenkern).
3. Der Primärkreis (Spule 1) hat keinen Ohmsche Widerstand.
N
Nach Gl. (67) ist dann L 1 = µµ
1A
2 N
◦ und L 2 = µµ
2A
2
◦ .
l
l
L 12 erhält man aus folgender Überlegung. Spule 1 induziert in Spule 2 eine EMK
dI p
V m,2 = −L 12
dt = −N dΦ 1
2
dt
d
= −N 2
dt (AB d
1) = −N 2
dt (Aµµ N 1
◦
l I N 1 N 2 A
p) = −µµ ◦
l
dI p
dt .
72 Die Lösung ist nicht vollständig, es interessiert jedoch nur die harmonische partikuläre Lösung.
Als andere Methode kann man die 2. Differentialgleichung in die 1. einsetzen und erhält dann eine
Differentialgleichung 1. Ordnung (vgl. auch Fussnote 76 zur Lösung gekoppelter Dgl’s).
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