Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

In anisotropen Dielektrika müssen ⃗ E und ⃗ D nicht parallel zueinander stehen, ε ist
dann ein Tensor. Die totale Feldenergie eines elektrostatischen Feldes ist demnach
∫
W e =
w dτ = 1 2
∫
⃗E ⃗ D dτ (29)
Beispiel 1: In Luft bei Atmosphärendruck können Felder ohne Durchschlag bis zu
E ≈ 3 · 10 6 V/m erzeugt werden. Die Energiedichte ist dann
w = 1εε 2 ◦E 2 = 1 Cb2 12 V2
8.854 · 10−12 · 9 · 10
2 Nm 2 m = 40 J 2 m . Damit lassen sich in Luft
3
keine grossen Energiebeträge speichern, erst das grosse Volumen eines Gewitters ergibt
insgesamt sehr grosse Energiebeträge.
Beispiel 2: In Molekülen 27 herrscht ein elektrisches Feld von E ≈ 5 · 10 10 V/m und damit
eine Energiedichte von ca 10 10 J/m 3 . Diese Energie kann teilweise durch eine Umgruppierung
von Atomen in einem Molekül bei einer chemischen Reaktion und damit einer
Änderung der elektrischen Felder freigesetzt werden. So werden z.B. bei der Bildung von
1 cm 3 flüssigem Wasser aus Knallgas 1.6 · 10 10 J/m 3 frei.
2.8.1 Berechnung der Kräfte auf Leiter und Dielektrika aus der Feldenergie
Ist die Feldenergie eines Systems von geladenen Leitern und Dielektrika bekannt, dann
können daraus die Kräfte berechnet werden. Dazu denke man sich eine kleine virtuelle
Verschiebung des Körpers um die Strecke d⃗r, dann ist die vom Feld geleistete mechanische
Arbeit dW m = ⃗ Fd⃗r. Es müssen jetzt zwei Fälle unterschieden werden:
a) Das Systen ist abgeschlossen und alle Ladungen sind konstant, d.h. dQ i = 0, damit
ist auch die Gesamtenergie konstant und die Arbeit muss vom Feld aufgebracht werden 28 :
dW e + dW m = 0 d.h. dW m = ⃗ Fd⃗r = −dW e oder F x = −
( ) ∂We
∂x
Q i =konst.
und analog für F y , F z . Als Vektorgleichung ⃗ F = −(∇We ) Qi =konst. (30)
b) Das System ist an eine oder mehrere Batterien angeschlossen, welche die Potentiale
V i konstant halten, indem sie Ladungen dQ i und damit die Energie dW B nachliefern.
Es gilt dann (siehe Gl. (26)) dW e + dW m = dW B und dW B = ∑ i
V i dQ i
für die von der Batterie gelieferte Energie. Mit Gl. (27) W e = 1 V ·Q gilt für die Feldenergie
2
dW e = 1 2
∑
Vi dQ i = 1 2 dW B ⇒ dW m = dW B − dW e = +dW e = ⃗ F · d⃗r
und damit F x = +
( ) ∂We
∂x
V i =konst.
analog für die F y , F z Komponenten.
27 Mit dem Bohrschen Radius eines Atoms von 0.5·10 −8 cm =0.5Å kann das Feld des Coulombpotentials
abgeschätzt werden zu E = e
4πε ◦
1
r 2 =
1.6 · 10 −19
4π · 8.85 · 10 −12 ·
1
(0.5 · 10 −10 ) 2 = 5.7 · 1011 V m .
Felder der chemisch relevanten äusseren Valenzelektronen sind um eine Grössenordnung kleiner.
28 Vergleiche die analoge Überlegung in der Mechanik mit F x = − ∂V
∂x aus ⃗ F = −∇V mech. Pot.
28