Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Verknüpft man die beiden Gleichungen (9) und (3) miteinander, so erhält man wie auch
in der Hydromechanik (Phys AI Kap.12.3.5.):
−∇ · ⃗E = ∇ · ∇V = div grad V = ∂2 V
∂x + ∂2 V
2 ∂y + ∂2 V
= ∆V = − ρ Poisson’
2 ∂z 2 ε ◦ Diff.gl.
(10)
Die beiden Gleichungen (3) und (10) sind differentielle Beziehungen 10 zwischen den Quellen
ρ(⃗r) und den von ihnen erzeugten Feldern ⃗ E(⃗r) bzw. V (⃗r). Es sind die fundamentalen
Differentialgleichungen der Elektrostatik und als solche eine direkte Konsequenz des Coulombschen
Gesetzes.
Aus der Poisson’schen Differentialgleichung 11 kann für eine vorgegebene Ladungsverteilung
im Prinzip das Potential und mit Gl. (3) das elektrische Feld berechnet werden. Für
kugelsymmetrische Verteilungen ρ(⃗r) = ρ(r) sind die Lösungen oft einfach, man beachte
dabei, dass im Aussenraum immer das reine Coulombfeld V (r) ∝ 1/r herrscht 12 . Für nicht
kugelsymmetrische Verteilungen entwickelt man oft das Potential nach Momenten der Ladungsverteilung
(vgl. auch Kap. 2.3), z.B. Quadrupolmomente und Hexadekapolmomente
eines deformierten (nichtkugelsymmetrischen) Atomkerns oder einer nichtkugelsymmetrischen
Elektronenhülle in der Atomphysik (z.B. Quadrupol-Hf-Struktur, NQR).
2.4.1 Feldlinien oder Stromlinien eines Vektorfeldes †
Ein skalares Feld (z.B. Potential einer konservativen Kraft oder eines elektrischen Feldes)
kann direkt dargestellt werden 13 als Flächen mit V =konst. (z.B. Kugelflächen für
eine Punktladung, Ebenen im Parallelkondensator). Der Vektor ⃗ F(⃗r) eines Vektorfeldes
dagegen kann nur am Ort ⃗r als ein Vektor dargestellt werden (z.B. Figur Seite 6). In
der Hydrodynamik (siehe Phys.AI Kap.12.3.3) geben die Stromlinien eines vektoriellen
Geschwindigkeitsfeldes die räumliche Bewegung eines Flüssigkeitselementes wieder. In der
Elektrostatik bezeichnen die Feldlinien die Startrichtung einer ruhenden Ladung in dem
Feld senkrecht zu den Potentiallinien. Feldlinien und auch Stromlinien sind damit die
räumlichen Kurven des Feldes, deren Tangenten dieselben Richtungen (nicht Betrag) wie
die Feldvektoren haben, d.h. es gilt 14 ⃗ F(⃗r) ‖ d⃗r und damit
dr →
P
→
r
→
F(r)
→
⃗F(⃗r) × d⃗r = 0 (11)
Dies ist die vektorielle Differentialgleichung der Feldlinien. In
Komponenten ist F x dy − F y dx = 0, F y dz − F z dy = 0
und F z dx − F x dz = 0 bzw.
dy
dx = F y
F x
,
dz
dy = F z
F y
,
dx
dz = F x
F z
(12)
10 In der Gl. (10) ist, wie schon in der Hydromechanik (Phys AI Kap.12.3.5.), ∇ · ∇ = ∆ der
Laplace Operator.
11 eine inhomogene Potentialgleichung. Die homogene Potentialgleichung wäre ohne Ladungen ∆V = 0.
12 Vergleiche dasselbe Problem für das Gravitationspotential einer homogen mit Masse verteilten Kugel.
13 R.Rothe ’Höhere Mathematik’ Teil III, S.129, 1953 Teubner,
W.R.Smythe ’Static and Dynamic Electricity’ Mc Graw Hill S.7 1968
14 Man kann auch setzen d⃗r = λE, ⃗ wobei λ eine Proportionalitätskonstante ist, damit wird
dx
E x
= dy
E y
= dz
E z
= λ
⇒ dy
dx = E y
E x
usw. in Übereinstimmung mit Gl.(12).
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