Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Magnet
Gl. (64) und (65) ergeben die
B
Wideröe’sche 65 Betatron-Bedingung: B(ρ) = 1 2 ¯B
Röhre
Das Führungsfeld B(ρ) muss während der Beschleunigung,
bei der ρ konstant bleibt, immer halb so
gross sein wie das über die Kreisfläche gemittelte
Magnet
Feld ¯B. Die maximale Energie ist mit p =
eρB max (ρ)
und B max (ρ) dem maximalen Führungsfeld 66 :
E tot =
√
√
mc 2 + p 2 c 2 = E kin + mc 2 ⇒ E kin = mc 2 + (c e ρ B max (R)) 2 − mc 2 ,
z.B. für Elektronen ist: mc 2 = 511 keV, ρ = 1 m, B max (ρ) = 1 T → E kin = 300 MeV.
Ein wirklich funktionierendes Betatron muss noch einige weitere Bedingungen erfüllen 67 .
1. Eine azimutale Fokussierung, damit die beschleunigten
Teilchen nicht auf einer Schraubenbahn sofort in die Polschuhe
laufen, wird durch eine Abnahme des B z (r)-Feldes
mit dem Radius r erreicht. Eine kleine horizontale Komponente
B r (ρ, ∆z) ausserhalb z = 0 führt dann zu einer
z-Komponente der Lorentz-Kraft und damit zu einer azimutalen
Fokussierung.
2. Eine radiale Fokussierung wird erreicht, indem das B-Feld
schwächer mit r abfällt als die Zentrifugalkraft.
3. Im Betatron werden i.a. nur Elektronen beschleunigt, da
diese wegen der kleinen Masse hohe Geschwindigkeiten besitzen.
Wegen der Energieverluste durch Synchrotronstahlung
ist jedoch die maximale Energie auf ca 300 MeV begrenzt.
z
Polschuh
B z (r,t)
Sollbahn
Polschuh
F(r)
Lorenzkraft
Sollkreis ρ
Deshalb sind heute fast alle Betatrons von Linearbeschleunigern abgelöst worden.
5.2.4 Die Unipolarmaschine
B r ( , z)
F L
B z ( )
Eine dicker Metallzylinder rotiert um seine Symmetrieachse, parallel zur
Achse liegt ein B-Feld. ⃗ Auf eine freies Elektron, das im Abstand r von
der Drehachse in der Metallscheibe mitbewegt wird, wirkt, da q < 0, eine
nach aussen gerichtete Lorentzkraft | F ⃗ | = q |⃗v × B| ⃗ = q ω r B . Die
zugehörige Feldstärke E ⃗ ind , also die Kraft auf die positive Einheitsladung,
ist dann nach innen gerichtet und hat den Wert Eind ⃗ = −ω r B ⃗r . B
r
Die resultierende EMK wird dann V m,ind =
∫ ρ
0
⃗E d⃗r = −ω B
∫ ρ
0
B z ( )
B r ( ,- z)
Zentrifugalkraft
rucktreibende
"
Kraft
B
r
V m,ind
+ -
⃗r d⃗r = − 1 2 ω B ρ2 ,
65 Rolf Wideröe 11.7.1902 Christiania (N) - 1996 Nussbaumen (CH) entwickelte 1924 das Betatronkonzept,
erster Bau einer Elektronenschleuder 1940. Er hatte viele Patente.
66 Dies ist die relativistische Energie-Impulsbeziehung mit m der Ruhmasse des Teilchens (Phys III).
67 Im Betatron kann nur ein Elektronenpaket bis zur maximalen Energie beschleunigt werden. Zum
nächsten Beschleunigungszyklus wird das B-Feld heruntergefahren. Typische Daten: 50 Hz Wiederholfrequenz,
30 eV/Umlauf, E tot = 30 MeV, Ī = 10−7 A.
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