Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Wir untersuchen zwei verschiedene Anfangsbedingungen.
S
R ✲ ❅
I
V m V C
S ′ C
R
a)Aufladen eines Kondensators: Zur Zeit t = 0 sei der Kondensator
ungeladen (d.h. Q(t = 0) = 0) und der Schalter bei S werde
geschlossen: Der Kondensator C wird aufgeladen. Es ist
Q(t = 0) = Q ◦ + V m C = 0 =⇒ Q ◦ = −V m C .
V c
V m
Somit wächst die Ladung gemäss
Q(t) = V m C (1 − e −t/(RC) ) .
τ c
t
Daraus erhalten wir V C (t) = Q C = V m (1 − e −t/(RC) )
V m
R
1Vm
e R
I
und
I(t) = dQ
dt = V m
R e−t/(RC) .
Man nennt τ C = RC die Zeitkonstante (e-tel Wertszeit)
τ c t dieses RC-Kreises. Nach einer Zeit t ≫ τ C ist der Kondensator
aufgeladen und trägt die Ladung V m C.
b) Entladen eines Kondensators: Der Schalter S ′ werde zur Zeit t = 0 geschlossen.
V V c (t)
Es ist V m = 0 und
o Q(t = 0) = Q ◦ = C V m .
τ c
Die Lösung ist Q(t) = Q ◦ e −t/(RC) .
Damit ist V C (t) = Q ❜
◦
C e−t/(RC) = V ◦ e −t/(RC) ❜
V C
RC - Signal
I(t)
t
C R gross
τ c
t
❜
I(t) = dQ
dt = − Q ◦
RC e−t/(RC) = V ◦
R e−t/(RC) .
-V o
R
In der Signaltechnik spielt das RC-Glied eine wichtige Rolle.
Bei Kippschwingungen z.B. tritt kombiniert Laden und Entladen auf:
R ◗ Wird ein Kondensator mit parallel geschalteter Gasentladungsstrecke
(Glimmlampe) über einen Widerstand aufgeladen, so zündet
✗✔ ✄
V
m
C die Glimmlampe für V
✖✕
C = V Z und sie löscht bei V C = V L . Ladungsund
Entladungsphasen lösen sich periodisch ab.
Der Kondensator wird mit der grossen Zeitkonstanten
τ C = RC aufgeladen und mit einer viel kleineren
V c
V Z
Zeitkonstanten entladen, weil der innere Widerstand
V L t
der Glimmlampe viel kleiner als R ist. Ist V Z ≪ V m ,
2) keine Kapazität, d.h. V C = 0 = Q C
erhält man ungefähr eine Sägezahnschwingung.
Die 2. Kirchhoffsche Regel ergibt nach Gleichung (68) L dI
dt + R I = V m .
Diese Differentialgleichung hat dieselbe Form wie Gl. (70) mit der Lösung
I(t) = I ◦ e −(R/L)t + V m /R mit R = R Ω + R L , (R L Widerstand der Spule).
75
R
❜
t