Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

✏ ✏✏✶
✏ I ✞
✏✶ d⃗ l
✲ ✻d B ⃗
❆❑ ⃗r − ⃗r l
❆ ✁ ✁✕ ⃗r l ❆ ✁⃗r
❆❝
✁
Damit ist das vom Strom I im Leiterelement d ⃗ l am Ort ⃗r l erzeugte
Feld d ⃗ B am Ort ⃗r d ⃗ B = konst · I d⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3
Über die Proportionalitätskonstante kann man infolge der Festlegung der ⃗ B-Feldstärke
nicht mehr frei verfügen. Es ist
konst = µ 0
4π = 1 · 10−7 V s
A m ,
Induktionskonstante42 µ 0 = 4π · 10 −7 V s
A m
(exakt).
Somit gilt d ⃗ B = µ 0
4π I d⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 ,
beziehungsweise B ⃗
µ 0 =
4π
∫Leiter
I d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3
Biot-Savart’sches Gesetz
im Vakuum
Analog zur Elektrostatik ist es wiederum zweckmässig, ein weiteres magnetisches Feld
(im Hinblick auf ein Medium) zu definieren. Man setzt für das Vakuum
⃗ B = µ0 ⃗ H
und nennt ⃗ H die magnetische Feldstärke. Das Biot-Savart’sches Gesetz 43 lautet somit
d ⃗ H = I
4π
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 , resp. ⃗ H =
I
4π
Die Einheit der magnetischen Feldstärke 44 H ist
ϕ
→
r
P
→
dH
∫
[ ] Amp
m .
Leiter
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 (44)
Wie sieht nun das magnetische Feld eines langen, geraden Leiters 45 mit Strom I aus?
d ⃗ I Wir wenden das Biot-Savart’sche Gesetz an und finden
l ϑ
→
l ρ
bei P |dH| ⃗ = I |d ⃗ l × ⃗ρ|
= I dl sin ϑ
, mit
4π ρ 3 4π ρ 2
ρ =
r
r dϑ
, l = −ρ cos ϑ = −r cot ϑ, dl =
sin ϑ sin 2 ϑ
42 oder absolute Permeabilität.
43 Jean-Baptiste Biot 1774-1863
44 Das “wirkliche” Magnetfeld, das auf bewegte Ladungen ein Kraft ausübt, ist die magnetische Induktion
⃗ B. Die magnetische Feldstärke ⃗ H dagegen kann man aus gegebenen (makroskopischen) Strömen
berechnen. Die Situation ist ähnlich wie in der Elektrostatik. Dort ist das elektrische Feld ⃗ E das “wirkliche”,
welches auf Ladungen eine Kraft ausübt. Die dielektrische Verschiebung ⃗ D hingegen kann aus
einer gegebenen (typisch vom Experimentator vorgegebenen) Ladungsdichte ρ berechnet werden. Die
Namensgebung und die Beziehungen (im Vakuum) ⃗ B = µ 0
⃗ H und ⃗ D = ǫ0 ⃗ E können einen dazu verleiten,
einerseits das ⃗ E- und ⃗ H-Feld und andrerseits das ⃗ D- und ⃗ B-Feld einander zuzuordnen. Man soll das
jedoch auf keinen Fall tun und sich merken: ⃗ E und ⃗ B sind die “wirklichen” Felder, ⃗ D und ⃗ H dagegen
kann man als Hilfsfelder oft einfacher berechnen.
45 Es muss Zylindergeometrie gelten, d.h. |d ⃗ H| ist unabhängig von ϕ.
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