Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

y
q ✻
1 q 2
a a
✲ x
d.h. für zwei Ladungen im Abstand 2a symmetrisch zu x = 0 ist
C ′ =
q 1 (x + a)
√
(x + a) 2 + y + q 2 (x − a)
√
2 (x − a) 2 + y 2
die Gleichung für die Feldlinien in Übereinstimmung mit Gl.(16).
Eine weitere Methode zur Bestimmung der Feldlinien sind
die konformen Abbildungen, wie sie auch in der Hydrodynamik
(vgl. Phys.AI) angewendet werden. Ein Beispiel
für das elektrostatische Feld und Potential eines geladenen
Ellipsoiden ist in der Figur gezeigt.
x 2
cosh 2 a +
x 2
cos 2 a −
y2
= 1 sinh 2 a
y2
= 1 sin 2 a
Potential (Ellipsen)
Feldlinien (Hyperbeln)
2.5 Elektrostatische Felder von geladenen Leitern
Man unterscheidet elektrische Leiter, in denen elekrische Ladungen infolge der Anwesenheit
eines elektrischen Feldes zu fliessen beginnen, wie z.B. Metalle, sowie Isolatoren, in
denen dies nicht der Fall ist. Als erstes behandeln wir nur die elektrostatischen Eigenschaften
von Leitern.
In einem zunächst neutralen Leiter erzeugt eine zusätzlich in den Leiter gebrachte Ladung
ein elektrisches Feld und damit ein Kraft und Bewegung auf die freien Elektronen
des Leiters. Es entsteht ein interner elektrischer Strom, der die Ladungen so lange verschiebt,
bis die internen Felder auf Null reduziert worden sind. Es gibt dann keine Ströme
mehr und ein stationärer Zustand ist erreicht. An der Oberfläche des Leiters kann noch
ein elektrisches Feld existieren, es muss jedoch senkrecht zur Oberfläche stehen, da sonst
Ladungen an der Oberfläche verschoben werden könnten. In diesem stationären Fall ist
die Oberfläche eine Potentialfläche, da diese senkrecht zum E-Feld ⃗ steht.
Das Potential V ◦ an der Oberfläche muss dann auch im Innern des Leiters
herrschen. Bildet man nämlich das Linienintegral des E-Feldes ⃗ längs
E=0 .
E → eines Weges von einem Punkt 1 im Innern zu einem Punkt 2 auf der
1
2
Leiteroberfläche, dann gilt:
V
r
V 1 − V 2 =
∫ 2
1
⃗E innen d⃗s = 0 ⇒ V 1 = V 2 = V ◦ = konst.
Der Ort der Ladungen kann mit dem Gauss’schen Satz bestimmt werden. Ist A die Oberfläche
des Leiters mit der totalen Ladung Q, A ′ eine geschlossene Fläche ausserhalb und
A ′′ eine geschlossene Fläche innerhalb von A, dann gilt:
A''
Leiter
A
A'
∫
Φ(A ′′ ) =
∫
Φ(A ′ ) =
A ′′
A ′
E aussen
n dA = Q ε ◦
,
E innen
n dA = 0, da ⃗ E innen = 0.
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