Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

differentielle Form des Ampère’schen Gesetzes ⃗ ∇ × ⃗ H = ⃗j und auch ⃗ ∇ · ⃗B = 0 oder auch
das Vektorpotential mit ∆ ⃗ A = −µ ◦
⃗j. (Vgl. auch die Elektrostatik, in der man eher von
der Poissongleichung als vom Gauss’schen Satz ausgeht.)
4.2.1 Das magnetische Feld eines Kreisstromes
Wir berechnen zunächst das magnetische Feld ⃗ H auf der Achse eines Kreistromes 52
mit Gl.(44) zu
dH ⃗ = I d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
,
4π |⃗r − ⃗r l | 3
dabei ist d ⃗ l ⊥ (⃗r − ⃗r l ). Die Beiträge dH ⃗ der einzelnen Leitungselemente d ⃗ l liegen auf einem
Kreiskegel, dessen Achse die Achse des Kreisstromes ist (z-Richtung). Also liegt
das resultierende dH-Feld ⃗ in der z-Richtung. Es ist
z ϑ →
dH
.
dH z = I dl cos ϑ
4π |⃗r − ⃗r
r → l | ; wobei man aus der Skizze sieht,
2
⃗r − ⃗r l
√
dl ϑ dass gilt |⃗r
.
dϕ
l | = r 0 , |⃗r| = z , |⃗r − ⃗r l | = r0 2 + z 2 ,
r o
⃗r l
r 0
cos ϑ = und dl = r 0 dϕ. Eingesetzt ergibt dies
I
√r0 2 + z 2
dH z = I
4π
r 2 0 dϕ
(r 2 0 + z 2 ) 3 2
, also H(z) =
∫ 2π
ϕ=0
dH z =
I r 2 0
2 (r 2 0 + z 2 ) 3 2
Für den Mittelpunkt z = 0 der Stromschleife gilt H(0) = I/(2r 0 ) . Für Punkte auf der
z-Achse, die weit von der Stromschleife entfernt liegen, also für z ≫ r 0 , erhalten wir
H(z) = I r2 0
2z 3 = I π r2 0
2π z 3 = I A
2π z 3 ∝ 1 z 3 , (47)
wobei A = π r0 2 die vom Strom eingeschlossene Fläche darstellt.
Wir vergleichen dieses letzte Resultat mit der entsprechenden Feldstärke eines
elektrischen Dipols mit dem Dipolmoment ⃗p = q ⃗ l. Für Punkte auf der
✻
z Symmetrieachse ist
✉−q
◦
✉+q
✻ ⃗ l ✻ E(z)
E(z) =
q 1
(
4π ǫ 0 (z − l − 1
2 )2 (z + l)2) = q 1 1
4π ǫ
2 0 z 2( (1 − l − 1
2z )2 (1 + l )2) 2z
Für z ≫ l benutzen wir die Näherungen
(1 − l
2z )−2 ≈ 1 + l z , (1 + l
2z )−2 ≈ 1 − l z
und finden E(z) = q · l
2π ǫ 0 z 3 =
.
p
2π ǫ 0 z 3 ∝ 1 z 3
Der Vergleich mit Gleichung (47) zeigt, dass eine Stromschleife und ein elektrischer Dipol
die gleiche Ortsabhängigkeit der Feldstärken haben. Ausführlichere Rechnungen ergeben
ferner, dass dies nicht nur für Punkte auf der Symmetrieachse, sondern für ganz beliebige
52 Dies ist die klassische Berechnung des magnetischen Dipolfeldes eines in einer Bohr’schen Bahn
gebundenen Elektrons, das in der Atomphysik zur Feinstrukturaufspaltung führt, der Wechselwirkung
des magnetischen Moments des Spins des Elektrons mit dem Dipolfeld der Bahn (Spin-Bahn-Kopplung).
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