Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

3.2.1 Leitung in Metallen †
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ In den Metallen bilden positive Metallionen, die ein oder mehrere Elektronen
als Leitungselektronen abgegeben haben, einen festen Gitter-
⊖
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
verband, in dem sich die Leitungselektronen relativ leicht bewegen
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ können. Das Gitter ist nicht starr, sondern die Ionen schwingen thermisch
um ihre Gleichgewichtslage.
⊖
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
Vernachlässigt man die Wechselwirkung der Leitungselektronen untereinander und mit
den Ionen, dann können sie wie ein ideales Gas im Modell des freien Elektronengases
behandelt werden. Die Leitungselektronen bewegen sich ungeordnet mit Zusammenstössen
im Leiter mit einer √ mittleren thermischen Geschwindigkeit (bei Zimmertemperatur) von
v therm = l/τ = 3kT/m ≈ 10 5 m/s. Legt man ein äusseres elektrisches Feld an, dann
driften sie mit einer mittleren Driftgeschwindigkeit v D in der Richtung des Feldes − ⃗ E.
Es gilt nach dem Aktionsprinzip m dv
dt
= eE und damit
eE
m τ = v 2 − v 1 = v D , (35)
mit τ ≈ 10 −12 s der Zeit zwischen zwei Zusammenstössen. ⃗v D ist proportional zu ⃗ E.
Mit dem Hall-Effekt (Kap. 4.2.6) kann die Beweglichkeit b = v D /E = eτ/m (36)
√
3kTm
gemessen werden. Man erhält für die mittlere freie Weglänge l = b
e
Für Silber bei 20 ◦ ist b = 6.4·10 −3 m 2 /Vs, l = 8.3·10 −9 m. Bei einem Feld von E = 1 V/m
erhalten also die Elektronen in Feldrichtung die kleine Geschwindigkeit v D = 6.4 mm/s
und sie legen zwischen den Stössen eine Strecke von rund 30 Atomabständen zurück mit
einer mittleren Flugzeit von τ = 10 −13 s.
In diesem Elektronengas Modell kann man einen Stromdichtevektor ⃗j = ne⃗v D angeben,
mit n der Zahl der Leitungselektronen pro Volumeneinheit. Mit Gl. (35) gilt
⃗j = ne2 τ
m ⃗ E = σ ⃗ E das Ohmsche Gesetz. (37)
σ [Ω m] −1 ist die elektrische Leitfähigkeit , 1/σ = ρ [Ω m] der spezifische elektrische
Widerstand . Mit den Gleichungen (36) und (37) ergibt sich die wichtige Beziehung
Spezifische Widerstände
bei 20 ◦
σ = ne2 τ
= neb (38)
m
Metall ρ [Ωm] σ und ρ sind Materialkonstanten, die unabhängig von E ⃗
Ag 1.5 · 10 −8 und den Abmessungen des Leiters sind, jedoch über die
Cu 1.6 · 10 −8 Flugzeit τ und n von der Temperatur T abhängen. In sehr
Al 2.4 · 10 −8 reinen Metallen mit wenig Fremdatomen gilt
Fe 10 · 10 −8 ρ = 1
Konstantan 50 · 10 −8 σ ∝ T für hohe Temperaturen z.B. 300 K und
ρ = 1 σ ∝ T 5 für niedrige Temperaturen (Fig. S 36).
Das Ohmsche Gesetz Gl. (37) in der mikroskopischen Form ⃗j = σE ⃗ kann mit der phänomenologischen
Schreibweise Gl. (34) V = I · R verknüpft werden.
A ❄ ✛ V ✲ Für ein homogenes, gerades Leiterstück mit dem konstanten
Querschnitt A, der Länge l und der anliegenden Span-
→ E → j
✻✛
l ✲ nung V ist die Stromdichte j = σE = σV/l und die
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