FORTSCHRITT-· BERICHTE

22 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
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angeregt. Die Corioliskräfte verursachen eine Anregung der zweiten Eigenform.
Somit stellt die Summe aus erster Eigenform, sowie ein noch zu bestimmender Faktor A
multipliziert mit der zweiten Eigenform eine Lösung für die Differentialgleichung des
durchströmten Rohres dar. Aus dem Faktor A kann der Meßeffekt berechnet werden.
und es wird erhalten:
~ =0
öq
'
av = 0
öq
(2.3)
Die Corioliskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit Vp des Rohres. Die Geschwindigkeit
erreicht ihren Maximalwert im Nulldurchgang der Rohrschwingung und sie ist null
bei maximaler Auslenkung des schwingenden Rohres. Zwischen der angeregten ersten
Eigenform und der durch Corioliskräfte angeregten zweiten Eigenform des Rohres besteht
eine Phasenverschiebung von 90°.
2.1.2 Schwingungsdifferentialgleichung
Für Systeme mit wenigen Freiheitsgraden läßt sich die Bewegungsgleichung über die
LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 5 zweiter Art finden /Pfe/, /Brei. Die
LAGRANGEsche Bewegungsgleichung zweiter Art mit der Lagrangefunktion L und den
Minimalkoordinaten CL lautet:
(2.1)
Zur Auswertung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichung ist es nun erforderlich,
sämtliche im System auftretenden kinetischen Energien T und potentiellen Energien v zu
bestimmen. Bei der hier gewählten Modellierung wird dabei zunächst nur das Meßrohr
(2.4)
ohne Fluid betrachtet. Einziger Freiheitsgrad des Rohres ist die y-Richtung. Die Minimalkoordinaten
qi werden durch y ersetzt.
Bewegungsgleichung des Meßrohres
Das Meßrohr wird als kontinuierliches Medium modelliert. Elastizitätsmodul, Flächenträgheitsmoment,
Dichte und Querschnitt seien über die gesamte Länge konstant. Die
Drehträgheit des Balkens wird vernachlässigt.
Die LAGRANGE-Funktion L stellt dabei die Differenz aus kinetischer und potentieller
Energie dar. qi sind die sogenannten Minimalkoordinaten des Systems /Pfe/. Es sind diese
Bewegungsrichtungen, die die Zwangsbedingungen erfüllen, also die verbleibenden Freiheitsgrade
des Systems. Das Meßrohr wird im hier betrachteten Fall nur in eine Richtung,
in y-Richtung, ausgelenkt. Die Zahl der Freiheitsgrade ist also eins. Die Lagrangefunktion
L entspricht der Differenz aus kinetischer und potentieller Energie. Indem der Term
L=T-V in Gleichung 2.1 eingesetzt wird, ergibt sich:
(2.2)
Da die kinetische Energie nicht von der Ortskoordinate, sondern nur von der Geschwindigkeit,
die potentielle Energie dagegen nicht von der Geschwindigkeit, sondern nur vom
Ort abhängt gilt:
Bild 2.1
--
m
•
{}
Anregung
eingespanntes, schwingendes Meßrohr
Beim Meßrohr treten folgende Energieterme auf:
Kinetische Energie. Fü~ das Masseteilchen dm seien nur Bewegungen in y-Richtung
zulässig. Für kleine Auslenkungen y ist diese Näherung gültig. Die kinetische Energie
ergibt sich damit zu:
7 Joseph Louis de LAGRANGE, geb. 1736 in Turin, gest. 1813 in Paris; Mathematiker