FORTSCHRITT-· BERICHTE

118 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 119
dene Unsicherheit bei der Abschätzung der Phasendifferenz kann, wie im folgenden beschrieben,
analytisch berechnet werden.
Fehlerabschätzung
Die Ausgleichskurve ist zunächst durch die Größen Frequenz, Phase und Amplitude charakterisiert.
Zur Berechnung der Unsicherheit bei der Abschätzung der Phasendifferenz
sind zwei weitere charakeristische Größen erforderlich: zum einen die endliche Anzahl N
von Wertepaaren x 0
, Yn des Datensatzes; zum anderen das Signal/Rausch-Verhältnis der
zugrundeliegenden Sensorsignale.
Für die folgenden Ausführungen gelte die Periodenbedingung als erfüllt. Mit der Kreisfrequenz
w 0 der Sensorsignale werden die Fourier-Koeffizienten a 1 und b 1 berechnet aus:
Mit
2 N
b 1
= - .~ y. ·sin(w t.)
Nf;;t1 01
Öa1 2
-. - = - ·cos(w t.)
öyi N o i
kann die Variani a 31
2
von a 1 abhängig von der Varianz a/ der Meßwerte Yi berechnet
/Pre/ werden:
(3.28)
(3.29)
(3 .30)
4N 1 1 N 1 2
(3 .33)
= o/ ·-CI: (cos(w 0 ti)) 2 ---- + L (sin(cu 0 t.)) 2 ---~] ( 3 . 34 )
1
... 2. 2b2 .
iv- 1=1 l+(~) 1=1 l + (~)
b2
b2
Unter Beachtung der Periodenbedingung gilt:
N
L (cos(cu 0
ti)) 2 = L (sin(cu 0 ti)) 2
i =l
i=l
Gleichung 3.33 vereinfacht sich damit zu:
0 2
'P
N
02.~ .__
1_
y N a/+b/
N
2
2b4
(3 .35)
(3.36)
Der Term (a 1 2 +b 2
2 ) ist äquivalent dem Quadrat der Signalamplitude Ys (mit Ys='12 · Yerr).
Bei normalverteiltem Rauschen gilt der Zusammenhang:
u2 _ 2
Rausch.., - oy •
so daß für die Varianz a/ der Phase erhalten wird:
(3.37)
(3 .31)
Die Phasendifferenz berechnet sich aus tl.cp='fii-'fi 2 • Also ergibt sich für die Varianz der
Phasendifferenz a Al{> 2 :
Gleichermaßen wird für die Varianz von b 1 erhalten:
Für die Varianz der zu ermittelnden Phase cp ergibt sich:
(3.32)
(3.38)
Bild 3.43 zeigt die Zusammenhänge zwischen Streuung der Phasendifferenz, Anzahl der
Meßwerte N und Signal/Rausch-Verhältnis der verwendeten Signalquelle.
Dieser Algorithmus wurde zunächst mit verrauschten Datensätzen und beliebigen
Anfangsphasen simuliert. Von jedem Parameterpaar wurden 50 Datensätze simuliert und