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116 Realisierung des Meßsystems Realisierung des Meßsystems 117 Tabelle 3.5 Vergleich verschiedener Phasenmeßgeräte Modell Auflösung Meßbereich max. Frequenz Stanford Research 0.001° ± 180° 100 MHz SR 620 hp 53131 0,2° ± 180° hp 5335 0.008° ± 180° 200 MHz Coriolis-Massendurchflußmes- 0.0001° ± 10 1 kHz ser Die meisten analogen Schaltungen arbeiten nach dem Prinzip eines phasenselektiven Gleichrichters. Dabei werden die beiden Signale zunächst auf exakt gleiche Amplitude verstärkt und anschließend wird die Differenz gebildet. Die Information über die Phasendifferenz 11
118 Realisierung des Meßsystems Realisierung des Meßsystems 119 dene Unsicherheit bei der Abschätzung der Phasendifferenz kann, wie im folgenden beschrieben, analytisch berechnet werden. Fehlerabschätzung Die Ausgleichskurve ist zunächst durch die Größen Frequenz, Phase und Amplitude charakterisiert. Zur Berechnung der Unsicherheit bei der Abschätzung der Phasendifferenz sind zwei weitere charakeristische Größen erforderlich: zum einen die endliche Anzahl N von Wertepaaren x 0 , Yn des Datensatzes; zum anderen das Signal/Rausch-Verhältnis der zugrundeliegenden Sensorsignale. Für die folgenden Ausführungen gelte die Periodenbedingung als erfüllt. Mit der Kreisfrequenz w 0 der Sensorsignale werden die Fourier-Koeffizienten a 1 und b 1 berechnet aus: Mit 2 N b 1 = - .~ y. ·sin(w t.) Nf;;t1 01 Öa1 2 -. - = - ·cos(w t.) öyi N o i kann die Variani a 31 2 von a 1 abhängig von der Varianz a/ der Meßwerte Yi berechnet /Pre/ werden: (3.28) (3.29) (3 .30) 4N 1 1 N 1 2 (3 .33) = o/ ·-CI: (cos(w 0 ti)) 2 ---- + L (sin(cu 0 t.)) 2 ---~] ( 3 . 34 ) 1 ... 2. 2b2 . iv- 1=1 l+(~) 1=1 l + (~) b2 b2 Unter Beachtung der Periodenbedingung gilt: N L (cos(cu 0 ti)) 2 = L (sin(cu 0 ti)) 2 i =l i=l Gleichung 3.33 vereinfacht sich damit zu: 0 2 'P N 02.~ .__ 1_ y N a/+b/ N 2 2b4 (3 .35) (3.36) Der Term (a 1 2 +b 2 2 ) ist äquivalent dem Quadrat der Signalamplitude Ys (mit Ys='12 · Yerr). Bei normalverteiltem Rauschen gilt der Zusammenhang: u2 _ 2 Rausch.., - oy • so daß für die Varianz a/ der Phase erhalten wird: (3.37) (3 .31) Die Phasendifferenz berechnet sich aus tl.cp='fii-'fi 2 • Also ergibt sich für die Varianz der Phasendifferenz a Al{> 2 : Gleichermaßen wird für die Varianz von b 1 erhalten: Für die Varianz der zu ermittelnden Phase cp ergibt sich: (3.32) (3.38) Bild 3.43 zeigt die Zusammenhänge zwischen Streuung der Phasendifferenz, Anzahl der Meßwerte N und Signal/Rausch-Verhältnis der verwendeten Signalquelle. Dieser Algorithmus wurde zunächst mit verrauschten Datensätzen und beliebigen Anfangsphasen simuliert. Von jedem Parameterpaar wurden 50 Datensätze simuliert und
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III Drahm, Wolfgang Coriolis-Massen
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VI Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzei
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X Formelzeichen Formelzeichen XI fg
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2 Grundlagen Grundlagen 3 Das Nisch
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6 Grundlagen Grundlagen 7 1.2.2 Sch
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10 Grundlagen Grundlagen 11 1.2.5 U
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