journal - KHS Corpoplast

technik+innovation ° Fachbegriffe praxisnah: Keine Angst vor der Statistik (Folge 2) 56*57
Tabelle 2: Berechnungen zur linearen Funktion und des Korrelationskoeffizienten
Alter des Alter der
Bräutigams Braut
X Y X-X (X-X) 2 Y-Y (Y-Y) 2 (X-X)(Y-Y)
22 19 -7 49 -6 36 42
25 22 -4 16 -3 9 12
26 21 -3 9 -4 16 12
26 23 -3 9 -2 4 6
27 23 -2 4 -2 4 4
28 24 -1 1 -1 1 1
30 29 1 1 4 16 4
30 27 1 1 2 4 2
35 33 6 36 8 64 48
41 29 12 144 4 16 48
Anzahl 10 10
Summe 290 250 0 270 0 170 179
Mittelwert 29 25
Standardabweichung 5,48 4,35
Varianz 30 18,9
Kovarianz sxy 19,9
Korrelationskoeffizient 0,836
Hier erleben wir wieder (wie in Folge 1) die wundersame Quadrierung
eines Ausdruckes, damit wir ihn immer als positive Zahl haben.
Sie sehen, der Messwert minus Mittelwert kann negativ sein; das
Quadrat dieser Differenz ist immer positiv, und das ist gut so.
Machen wir das Gleiche mit den y-Werten, so fällt der Zusammenhang
auch hier auf. Und nun kommt der formelmäßige Zusammenhang,
der zum Korrelationskoeffizienten r führt:
r = sxy 19,9
s .s = = 0,836
x y 5,48.4,35
sxy = Kovarianz
sx = Standardabweichung der x-Werte
sy = Standardabweichung der y-Werte
Auf eine Herleitung sei an dieser Stelle verzichtet, bitte glauben
Sie mir einfach.
Nehmen wir die Daten von oben, so ergibt sich r = 0,836
und da sich der Korrelationskoeffizient zwischen -1 und +1 bewegen
kann, ist das schon ein sehr hoher Wert und damit sagen wir:
Der Zusammenhang zwischen dem Alter des Bräutigams und der
Braut ist groß und damit vorhanden. Aber Vorsicht! Jede Datenerhebung
aus nur wenigen Werten kann zu Trugschlüssen verleiten.
Wir haben gerade gelernt: Der Wert, der einen zahlenmäßigen
Zusammenhang zwischen unseren Messwerten als eine Maßzahl
wiedergibt, welche die Abweichungen der Messwerte von der
idealen linearen Funktion wiedergibt, das ist der Korrelationskoeffizient.
Aber wie hat man sich das genau vorzustellen? Dazu nehmen
wir eine Hilfsgrafik (Grafik 6) und machen dieses klarer.
Auf den ersten Blick scheint es verwirrend, aber entwirren
wir das Ganze ein wenig: Der eigentliche Messwert ist der rote Punkt
(xi;yi). Nun bildet man die Differenzen vom Messwert zum Mittelwert
jeweils für alle x-Werte und auch für alle y-Werte. Zu guter
Y
7
6
5
4
3
2
1
0
(y i - y) 2
(x i ; y i )
xi ; yi = (4;4)
xi - x = -1/2 ; (xi - x) 2 = 1/4
yi - y = -2 ; (yi - y) 2 = 4
Kovarianz (xi - x)(yi - y) = 1
(y i - y)
(x i - x) 2
x i - x
0 1 2 3 4 X 5 6 7
K
o
v
a
r
i
a
n
z
6