ELEKTRODYNAMIK

7.2. HARMONISCHE WELLEN IM VAKUUM 123
7.2 Harmonische Wellen im Vakuum
7.2.1 Die E- und B-Felder
Eine ebene harmonische Welle mit der Amplitude A ◦ , der Frequenz ω dem Wellenvektor k und
der Phase φ wird (s. Optik-Skript, Abschnitt 5.2) durch die Funktion
A = A ◦ cos(ωt − k.r + φ)
beschrieben. Wir wollen hier aber die komplexe Darstellung verwenden:
à = à ◦ exp[i(ωt − k.r)],
wo die Phase in der komplexen Amplitude à ◦ enthalten ist. Ein Vorteil der komplexen Darstellung
ist, daß es für eben Wellen eine sehr einfache Beziehung zwischen den Differentialoperatoren und
den Größen ω und k gibt. Es gilt nämlich
∂Ã
∂t
= iωÃ,
so daß wir allgemein schreiben können
∂Ã
∂xj
= −ik j (j = 1, 2, 3),
∂
≡ iω, ∇ ≡ −ik. (7.9)
∂t
Im Gegensatz zu den Wechselströmen ist es hier nicht notwendig, explizit zwischen reellen und
komplexen Größen zu unterscheiden, so daß wir auf die Tilde verzichten können.
In der Optik wurde behauptet, daß bei linear polarisierten Wellen die Vektoren E, B und k
senkrecht aufeinander stehen. Dies können wir jetzt beweisen. Die Wellen für E und B können
wir wie folgt schreiben:
E = E ◦ exp[i(ωt − k.r)] B = B ◦ exp[i(ωt − k.r)]
wo E ◦ und B ◦ konstante Vektoren sind. Wenn wir diese Ausdrücke in die Maxwell-Gleichungen
(7.2) und (7.4) (mit j = 0) einsetzen und die Operatoren nach (7.9) umsetzen, erhalten wir
k × E = ωB, c 2 k × B = −ωE.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt sofort, daß die drei Vektoren senkrecht zueinander sind, und
daß sie in der Reihenfolge E, B, k ein rechtshändiges Achsenkreuz bilden. (Der Vektor E × B ist
parallel zur Fortpflanzungsrichtung k). Für die Amplituden gilt mit ω/k = c
E ◦ = cB ◦ .
Das Verhältnis ist also eine reelle Zahl, was bedeutet, daß die E- und B-Felder in Phase schwingen.
Wir fassen zusammen:
Eigenschaften einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle im Vakuum:
– Es handelt sich um eine transversale Welle: Sowohl E als auch B liegen in der
Phasenebene, d.h. senkrecht zum Wellenvektor k.
– E und B stehen auch senkrecht aufeinander.
– Die beiden Felder schwingen in Phase miteinander.
– Das Verhältnis der Amplituden ist E ◦ /B ◦ = c.
– Die Phasengeschwindigkeit ist ω/k = c.