ELEKTRODYNAMIK

14 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
– das Feld E = 0 und
– das Potential φ = konstant ist.
Außerhalb des Metalls (in der Luft bzw. im Vakuum) kann ein elektrisches Feld existieren. Da
die Oberfläche eine Fläche konstanten Potentials ist, sind die Feldlinien überall an der Oberfläche
senkrecht zur Fläche.
2.6 Beispiele
Die meisten elektrostatischen Probleme gehören zu einem von zwei Typen:
1. Gegeben ist eine bestimmte Verteilung von Ladungen im Raum. Das elektrostatische Potentialläßt
sich dann aus (2.8) bzw. (2.9) bestimmen, das elektrische Feld dann aus (2.10).
Alternativ kann das Feld direkt aus (2.6) bzw. (2.7) bestimmt werden. In Fällen mit besonderer
Symmetrie ist es oft möglich, wie wir an einigen Beispielen sehen werden, eine
umständliche Integration durch Anwendung des Gaußschen Satzes zu vermeiden.
2. Gegeben ist ein bestimmte Anordnung von Elektroden (elektrische Leiter) mit gegebenen
Potentialen. Die Aufgabe besteht darin, die Gleichung (2.14) mit ρ = 0, d.h.
∇ 2 φ = 0 (2.15)
(die sog. Laplace-Gleichung) mit den gegebenen Randbedingungen zu lösen.
Im folgenden werden einige einfache Beispiele erläutert.
2.6.1 Gleichgewicht
Ist es möglich, z.B. durch eine bestimmte Anordnung von Elektroden oder Ladungen, ein elektrostatisches
Feld im Vakuum so zu gestalten, daß es für eine Ladung q ein stabiles, dreidimensionales
Gleichgewicht gibt? Diese Frage läßt sich eindeutig verneinen.
Ein stabiles Gleichgewicht bedeutet ein Minimum in der potentiellen Energie und deshalb auch
im elektrostatischen Potential, d.h.
∂φ
∂xi
= 0 und
∂2φ > 0,
∂xi
2
(i = 1, 2, 3). Wenn aber die zweiten Ableitungen alle positiv sind, ist es nicht mehr möglich,
Gleichung (2.15) zu erfüllen. Es gibt also keine Lösung mit einem dreidimensionalen Minimum.
2.6.2 Der Faradaysche Käfig
Wenn man einen Raum mit einer elektrisch leitenden Schicht (z.B. einer Metallfolie) auskleidet,
ist der Raum von den elektrischen Feldern aller Ladungen, die sich außerhalb des Raumes befinden,
völlig abgeschirmt. Für viele Zwecke, z.B. wenn man einen begrenzten Bereich in einem
Labor abschirmen aber gleichzeitig beobachten möchte, genügt ein ” Käfig“ aus einem Drahtgeflecht.
Um zu verstehen, wie ein sog. Faradayscher Käfig funktioniert, betrachten wir in Abb. 2.5
einen Hohlraum innerhalb eines metallischen Festkörpers. Wenn wir das Gaußsche Integral über