ELEKTRODYNAMIK

4.2. GRUNDEIGENSCHAFTEN DES MAGNETISCHEN FELDES 65
und die Lorentz-Kraft, die auf ein Stück ds des Drahts wirkt, ist
dF = nq ′ vds × B = Ids × B. (4.3)
Steht das B-Feld senkrecht zum Draht, ist der Betrag der Kraft pro Längeneinheit gleich IB. Wenn
wir die Stromrichtung als x 1 -Richtung und B als x 2 -Richtung nehmen, zeigt die Kraft in Richtung
(0, 0, 1).
Da die Lorentz-Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung ist, kann sie keine Arbeit leisten. Die
kinetische Energie eines geladenen Teilchens kann nur mit Hilfe eines elektrischen Feldes erhöht
werden. Bewegt sich ein Teilchen (Masse m, Ladung q) in einer Ebene, die senkrecht zu einem
homogenen B-Feld steht, beschreibt es eine Kreisbahn (Radius r, Kreisfrequenz ω), bei der die
Lorentz-Kraft qωrB die Zentripetalkraft mω 2 r liefert. Die Gleichheit der beiden Kräfte ergibt
ω = qB/m,
d.h. die Kreisfrequenz ist unabhängig von der Teilchenenergie. Dieses Phänomen ist die Basis für
das Zyklotron, in dem Teilchen (Elektronen ) durch eine Wechselspannung der Frequenz ω beschleunigt
werden. Die Frequenz ω wird aus diesem Grunde als Zyklotronfrequenz bezeichnet. Die
Konstanz der Zyklotronfrequenz gilt allerdings nur im nichtrelativistischen Bereich. Bei höheren
Energien muß die Frequenz der Wechselspannung laufend der Bewegung des Elektrons angepaßt
werden. Dies geschieht im sog. Synchrotron.
Frage 4.2 Berechnen Sie die Zyklotronfrequenz in Hz eines Protons (q = 1,60·10 −19 C,
m =1,67·10 −27 kg) im Magnetfeld der Erde (10 −4 T).
4.2.2 Das B-Feld bewegter Ladungen
Die experimentellen Beobachtungen lassen sich wie folgt zusammenfassen:
B = µ ◦qv × r
. (4.4)
4πr 3
Diese Formel gibt das B-Feld an, das an einem bestimmten Punkt P von einer Punktladung q erzeugt
wird, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wobei r der Vektor vom augenblicklichen
Ort der Ladung zum Punkt P ist. Demnach ist der Betrag des B-Feldes proportional zu qvB sin α
(α = Winkel zwischen r und v) und fällt quadratisch mit der Entfernung ab. Ferner steht das B-
Feld senkrecht zu der von den Vektoren v und r aufgespannten Ebene. Die Feldlinien sind also
Kreise um die Richtung von v. Ist q positiv, entspricht das Vorzeichen von B einer Rechtsschraube
in Richtung von +B. Bei einer negativen Ladung ist die Drehrichtung umgekehrt. Die Proportionalitätskonstante
in Gleichung (4.4) wird aus historischen Gründen in der Form µ ◦ /4π geschrieben.
Auf den Wert von µ ◦ kommen wir später zurück.
Frage 4.3 Eine Punktladung q bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf der x 1 -
Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Geben Sie die 3 Komponenten des B-Feldes als
Funktionen der Raumkoordinaten (x 1 , x 2 , x 3 ) an, wenn sich die Ladung gerade am Ursprung
befindet.
Ein scheinbares Problem taucht auf, wenn wir die Wechselwirkung zwischen zwei bewegten
Ladungen betrachten. Die Ladungen seien q 1 , q 2 mit den Geschwindigkeiten v 1 bzw. v 2 , und r sei
der Verbindungsvektor von q 1 nach q 2 . Es seien ferner E ij , B ij die Felder der Ladung q i an der