ELEKTRODYNAMIK

34 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
und deshalb von der Form des Körpers ab. Das allgemeine Problem ist die Lösung der Poisson-
Gleichung (2.14), die in Dielektrika die Form
∇ 2 φ = − ρ
ɛ r ɛ ◦
(2.40)
annimmt. Auf die Rand- bzw. Grenzbedingungen für die Felder an der Grenze zwischen zwei
Medien kommen wir später zurück (s. Abschnitt 7.3.1). Es lassen sich aber zwei Grenzfälle ohne
komplizierte Mathematik behandeln:
Dünne Platte Den Fall einer dünnen Platte, die senkrecht zu einer homogenen elektrischen Feld
E angeordnet ist, haben wir schon im Rahmen des Kondensators behandelt. Das E-Feld innerhalb
der Platte ist E i = D i /ɛ r ɛ ◦ = D/ɛ r ɛ ◦ = E/ɛ r . Die Polarisation ist P = ɛ ◦ χ e E i = ɛ ◦ χ e E/ɛ r . Die
Beziehung zwischen der Polarisation und dem externen (ursprünglichen) Feld ist also
P = ɛ◦χe E. (2.41)
1 + χe Langer Stab Bei einem langen, parallel zum Feld angeordneten Stab haben die Oberflächenladungen
— bis auf Endeffekte — keine Auswirkung, so daß in diesem Fall E i = E und
infolgedessen
P = ɛ ◦ χ e E (2.42)
gilt. Bei ” schwachen“ Dielektrika, d.h. χ e ≪ 1, geht (2.41) in (2.42) über. Für die meisten Dielektrika
gilt diese Näherung allerdings nicht.
2.10 Die Energie des elektrischen Feldes
Ein elektrisches Feld beinhaltet Energie. Um das zu erkennen, betrachten wir noch einmal den
Plattenkondensator mit Dielektrikum. Die Spannung U ist
U = q
C
(q = Ladung, C = Kapazität). Wenn wir die Ladung um dq erhöhen, indem wir diese Ladung von
der negativen zur positiven Elektrode übertragen, leisten wir die Arbeit
dW = Udq.
Bei der Ladung Q ist die im Kondensator gespeicherte Energie
W =
� Q
0
q Q2
dq =
C 2C .
Mit Hilfe der Beziehung Q = U/C können wir die in einem Kondensator gespeicherte Energie in
folgenden Formen schreiben
Energie eines Kondensators:
W = Q2
2C
= 1
2 CU 2 = 1
2 QU.