ELEKTRODYNAMIK

22 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Aufgrund der Beziehung E i = − ∂φ
∂x i
∂E i
∂x j
= − ∂2 φ
∂x j ∂x i
(φ = Potential) ist
= − ∂2 φ
∂x i ∂x j
= ∂Ej ,
∂xi d.h., die sechs Ableitungen der Feldkomponenten bilden eine symmetrische Matrix. Dementsprechend
läßt sich Gleichung (2.26) auch in folgender Form schreiben:
F k =
3�
i=1
∂Ei
pi ∂xk
(k = 1, 2, 3). (2.27)
Frage 2.9 Zeigen Sie, daß es nicht möglich ist, ein elektrostatisches Feld mit folgenden
Eigenschaften zu erzeugen:
1. Die Feldlinien sind alle gerade, parallel zur x 1 -Achse, d.h. E 2 = E 3 = 0.
2. Die Feldstärke variiert in x 2 -Richtung, d.h. ∂E 1
∂x 2
Wechselwirkung zwischen 2 Dipolen
In diesem Abschnitt wollen wir die Kräfte und Drehmomente bestimmen, die zwischen zwei
Dipolen p, p ′ wirken. Der Vektor von p nach p ′ sei r. Wir nehmen wieder an, daß r sehr viel
größer als die Abmessungen der beiden Dipole ist. Das Feld des Dipols p am Ort des Dipols p ′
ist durch Gleichung (2.23) gegeben. Damit erhalten wir mit (2.21) für die potentielle Energie des
Dipols p ′ im Feld des Dipols p:
E p = −p ′ .E = 1
4πɛ ◦
�= 0.
�
p ′ .p
r3 − 3(p.r)(p′ .r)
r5 �
.
Die auf p ′ wirkende Kraft erhalten wir als Ableitung der potentiellen Energie:
F = −∇E p .
Mit Hilfe der schon oben verwendeten Beziehungen ∇(a.r) = a und ∇r n = nrn−2r erhält man
als Ergebnis
F = 3
�
(p.p ′ )r + (p ′ .r)p + (p.r)p ′
4πɛ◦ r5 − 5(p.r)(p′ .r)r
r7 �
(2.28)
Um die Kraft F ′ zu bestimmen, die p ′ auf p ausübt, müssen wir in Gleichung (2.28) p und p ′
vertauschen und r durch −r ersetzen. Das Ergebnis ist
F ′ = −F ,
wie aus den 3. Newtonschen Gesetz (Impulserhaltung ) zu erwarten war. Aus (2.28) geht aber
hervor, daß F und F ′ nicht notwendigerweise parallel zu r sind. Sie üben daher ein Drehmoment
MF = r × F = − 3 (p
4πɛ◦ ′ .r)(p × r) + (p.r)(p ′ × r)
r5 auf das System der beiden Dipole aus. Bedeutet dies eine Verletzung der Drehimpulserhaltung?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir noch zwei andere Drehmomente berücksichtigen: das