ELEKTRODYNAMIK

74 KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
Der Vektor B steht senkrecht zur Verbindungslinie von ds zum Punkt P. Wir können diesen Vektor
als Summe einer Radialkomponente dB r = dB cos α und einer Axialkomponente dB x = dB sin α
betrachten, s. Abb. 4.7 (a). Bei der Integration um die Stromschleife heben sich die Radialkomponenten
auf, während sich die Axialkomponenten aufaddieren. Das resultierende Feld ist
�
B =
Mit sin α = r/ √ x 2 + r 2 und � ds = 2πr folgt
Abbildung 4.7: Zur Berechnung des B-
Feldes (a) einer kreisförmigen Stromschleife,
(b) einer endlichen Spule.
Spule endlicher Länge
dBx = µ ◦I sin α
4π(x2 + r2 �
)
B =
ds.
µ ◦Ir 2
2(x2 + r2 . (4.18)
) 3/2
ds
r
I
x
(a)
dB
dB
................................................................... dx
x
a
.
b
Q
...................................................................
Das Ergebnis des letzten Abschnitts können wir verwenden, um das B-Feld auf der Achse einer
endlich langen Spule exakt zu berechnen (Abb. 4.7 (b)). Bei einem Strom I und n Windungen pro
Längeneinheit der Spule stellt eine Scheibe der Dicke dx eine Stromschleife mit dem Strom nIdx
dar. Der Beitrag der Scheibe zum B-Feld am Punkt Q ergibt sich daher aus (4.18), indem wir I
durch nIdx ersetzen. Das Feld an der Stelle Q erhalten wir durch Integration zwischen den x-
Koordinaten der beiden Enden der Spule relativ zum Punkt P (a bzw. b):
B = nµ ◦ Ir2
2
� b
−a
dx
(x2 + r2 ) 3/2 = nµ ◦I 2
α
(b)
r
. P
dB
�
a
√
a2 + r2 +
�
b
√ . (4.19)
b2 + r2 Für a, b ≫ r geht diese Lösung in die aus dem Toroid abgeleitete Näherungslösung über.
Außerdem erkennt man, daß das Feld an den beiden Enden der Spule (a = 0 bzw. b = 0) auf die
Hälfte des Maximalwertes gefallen ist.
x