ELEKTRODYNAMIK

7.3. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG IN MATERIE 127
– Ein Flächenintegral über einen Zylinder mit der Fläche A und der Länge δx, der von der
Grenzfläche senkrecht zur Achse symmetrisch geschnitten wird.
– Ein Linienintegral über ein Rechteck der Länge l (parallel zur Grenzfläche) und der Breite
δx, das ebenfalls von der Grenze symmetrisch geteilt wird.
Um die Werte der Felder unmittelbar an der Grenze zu erfassen, lassen wir δx gegen Null gehen.
Die Größen A und l werden so klein gewählt, daß wird die Variation der elektromagnetischen
Größen (neben den Feldern auch ρ und j) parallel zur Grenzfläche vernachlässigen können.
Für das Flächenintegral gilt nach dem Gaußschen Satz
� �
�
D.df = ρdV bzw. B.df = 0.
F
V
Wenn wir δx beliebig klein machen, geht die rechte Seite der ersten Gleichung auch gegen Null,
weil die Ladungsdichte immer endlich ist. Ferner tragen für δx → 0 nur noch die Stirnflächen
des Zylinders zum Flächenintegral bei: Das Ergebnis ist A(D ′ n − Dn ) bzw. A(B′ n − Bn ). Die
Normalkomponenten haben also auf beiden Seiten der Grenzfläche den gleichen Wert:
D ′ n = D n , bzw. B′ n = B n .
Das Linienintegral berechnet sich nach dem Induktions- bzw. nach dem Durchflutungsgesetz:
� �
� �
E.ds = ˙B.df bzw. H .ds = j.df .
Ɣ
F ′
Die rechten Seiten dieser Gleichungen gehen für δx → 0 gegen Null, weil ˙B und j nicht unendlich
werden können. Gleichzeitig tragen nur noch die Tangentialkomponenten zum Ergebnis des
Linienintegrals bei. Wir erhalten also
E ′ t = E ′
t , bzw. H t = Ht .
An einer Grenze zwischen zwei Medien sind die Normalkomponenten von D und B
sowie die Tangentialkomponenten von E und H stetig.
Dagegen gibt es eine sprunghafte Änderung der Tangentialkomponenten von D und B sowie
der Normalkomponenten von E und H . In einem homogenen Medium, bzw. in einem Medium, in
dem sich die Eigenschaften nur kontinuierlich verändern, kann es keine Unstetigkeiten der Felder
geben.
Frage 7.3 Wie lauten die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten von D und B
und die Normalkomponenten von E und H ?
7.3.2 Transparente, isotrope Dielektrika
Wenn wir davon ausgehen, daß im Dielektrikum keine freien Ladungen und keine Ströme vorkommen,
unterscheiden sich die Maxwell-Gleichungen in solchen Medien von denen des Vakuums
nur dadurch, daß das Produkt µ ◦ ɛ ◦ durch µ ◦ µ r ɛ ◦ ɛ r ersetzt wird. Die Geschwindigkeit der Wellen
im Medium ist
c ′ =
1
√ µ◦ µ r ɛ ◦ ɛ r
=
Ɣ
F
c
√ .
µrɛr F ′