Algebra 1

www.matematicamente.it ‐ Matematica C3 – Algebra1 – 5. Scomposizioni e frazioni
4. SCOMPOSIZIONE MEDIANTE METODI COMBINATI
Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato alcuni metodi per ottenere la scomposizione in fattori di un
polinomio e talvolta abbiamo mostrato che la scomposizione si ottiene combinando metodi diversi.
Sostanzialmente non esiste una regola generale per la scomposizione di polinomi, cioè non esistono criteri di
divisibilità semplici come quelli per scomporre un numero nei suoi fattori primi. In questo paragrafo
vediamo alcuni casi in cui si applicano vari metodi combinati tra di loro..
Un buon metodo per ottenere la scomposizione è procedere tenendo conto di questi suggerimenti:
1. analizzare se si può effettuare un raccoglimento totale;
2. contare il numero di termini di cui si compone il polinomio:
2.1.con due termini analizzare se il binomio è
a) una differenza di quadrati A 2 −B 2 = A−B AB
b) una somma di cubi A 3 −B 3 = A−BA 2 ABB 2
c) una differenza di cubi A 3 B 3 = ABA 2 −ABB 2
d) una somma di quadrati o di numeri positivi nel qual caso è irriducibile A 2 B 2
2.2.con tre termini analizzare se è
a) un quadrato di binomio A 2 ±2ABB 2 = A±B 2
b) un trinomio particolare del tipo x 2 SxP=xaxb con ab=S ;a⋅b= P
c) un falso quadrato, che è irriducibile A 2 ±ABB 2
2.3.con quattro termini analizzare se è
a) un cubo di binomio A 3 ±3 A 2 B3 AB 2 ±B 3 =A±B 3
b) una particolare differenza di quadrati A 2 ±2ABB 2 −C 2 = A±BCA±B−C
c) possibile un raccoglimento parziale
2.4.con sei termini analizzare se è
axbxay by =ab xy
a) un quadrato di trinomio A 2 B 2 C 2 2 AB2AC2BC=ABC 2
b) possibile un raccoglimento parziale axbxcxaybycy=abcxy
3. se non riuscite ad individuare nessuno dei casi precedenti, provate ad applicare la regola di Ruffini
Ricordiamo infine alcune formule per somma e differenza di potenze dispari
5 5
A + B = A+ B
4 3 2 2 3 4
A − A B+ A B − AB + B
( )( )
( )( )
5 5 4 3 2 2 3 4
A − B = A− B A + A B+ A B + AB + B
A 7 ± B 7 =A±BA 6 ∓ A 5 BA 4 B 2 ∓A 3 B 3 A 2 B 4 ∓ AB 5 B 6
A 11 B 11 = A 10 A 9 B A 8 B 2 A 7 B 3 A 6 B 4 A 5 B 5 A 4 B 6 A 3 B 7 A 2 B 8 AB 9 B 10
… … … ...
La differenza di due potenze ad esponente pari (uguale o diverso) rientra nel caso della differenza di
quadrati:
A 8 − B 10 = A 4 −B 5 A 4 B 5
In alcuni casi si può scomporre anche la somma di potenze pari:
A 6 B 6 = A 2 3 B 2 3 = A 2 B 2 A 4 − A 2 B 2 B 4
10 10 2 2 8 6 2 4 4 2 6 8
A + B = A + B A − A B + A B − A B + B
( )( )
Proponiamo di seguito alcuni esercizi svolti o da completare in modo che possiate acquisire una
certa abilità nella scomposizione di polinomi
Esempi
P x =a 2 x5abx−36b 2 x
Il polinomio ha 3 termini, è di terzo grado in 2 variabili, è omogeneo;
tra i suoi monomi si ha M.C.D.= x; effettuiamo il raccoglimento totale: P x =x⋅a 2 5ab−36 b 2 SCOMPOSIZIONI 17