Algebra 1

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° grado
Procedura per stabile quando una equazione è determinata, indeterminata, impossibile
In generale, data l’equazione a xb=0 si ha a x=− b e quindi:
- se a≠0 , l’equazione è determinata e ammette l’unica soluzione x=− b
a ;
- se a=0 e b≠0 , l’equazione è impossibile;
- se a=0 e b=0 , l’equazione è soddisfatta da tutti i valori reali di x, ovvero è indeterminata.
Esempio
1xm= x1 2 – x xm
Dopo aver fatto i calcoli si ottiene l’equazione m − 1⋅x=− m e quindi si ha:
• se m − 1≠0 , cioè se m≠1 , è possibile dividere ambo i membri per m−1 e si ottiene l’unica
soluzione x=− m
m−1 ;
• se m − 1=0 , cioè se m=1 , sostituendo nell'equazione il valore 1 si ottiene 0⋅x=−1 ; che
risulta impossibile.
106 k 3 x= k4 x k 1
Effettuando i prodotti si ottiene l’equazione: 3 k 1 x=− k e quindi si ha:
• se ……… ≠ 0, cioè se k ≠
soluzione x= −k
• se ……… = 0, cioè se k =
, è possibile dividere ambo i membri per ……… e si ottiene l’unica
, sostituendo nell’equazione il valore … ... si ottiene 0⋅x= 1
3 ,
che risulta un'equazione impossibile.
107 a 2 ⋅x=a1x
Portiamo al primo membro tutti i monomi che contengono l'incognita a 2 ⋅x−x=a1
Raccogliamo a fattore comune l'incognita ed abbiamo la forma canonica dell'equazione x⋅a 2 −1=a1
Il coefficiente dell'incognita è … … …
Il termine noto è … … …
Scomponendo in fattori dove possibile si ha l'equazione x⋅a−1 a1=a1
I valori di a che annullano il coefficiente dell'incognita sono a=1 e a=-1
Nell'equazione sostituisco a=1, ottengo l'equazione … … … che è indeterminata/impossibile.
Nell'equazione sostituisco a=-1, ottengo l'equazione … … … che è indeterminata/impossibile.
Escludendo i valori del parametro a che annullano il coefficiente della x posso applicare il secondo principio
di equivalenza delle equazione, posso cioè dividere 1° e 2° membro per a+1, ottengo
a1 1
x=
=
a1⋅a−1 a−1
I.S.={
. Pertanto per a≠1∧a≠−1 l'insieme delle soluzioni è
1
a−1} .
108 Seguendo i passi descritti e lo svolgimento dell'esempio, risolvi e discuti le seguenti equazioni:
2 x− 7
2 =a x−5 b2 x=2 bb x a x x−2 a 2 −2 a x=0
109 Date le due equazioni x⋅3−5 a2⋅a−1=a−1⋅a1 e x2 a⋅ x−2 a1=0 ,
• Basta la condizione a≠− 1
et a≠1 per affermare che sono equivalenti?
2
• Esiste un valore di a per cui l’insieme soluzione della prima equazione sia I.S.={0 } ?
• Se a = 0 è vero che entrambe le equazioni hanno I.S.=∅ ?
• Completa: “ per a= 1
2 la prima equazione ha come insieme soluzione I.S.={} ; mentre
la seconda ha I.S.={} ”
110 Nell’equazione 3 a x−2 a= x⋅1−2 aa⋅ x−1 è sufficiente che sia a≠ 1
perché l’insieme
4
delle soluzioni sia contento in ℚ – {0} ?
PRIMO GRADO 10