Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

Dispense del corso di
Elementi di Fisica della Materia
Andrea Mastellone
28 ottobre 2008

Indice
0.1 IMPORTANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2 Copyright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3 Motivazione del corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Richiami 9
1.1 Matematica vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Esercizio campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Equazioni di Maxwell nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Esercizi campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Dielettrici 19
2.1 Fenomenologia e costante dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Meccanismi di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Relazioni costitutive della polarizzazione . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Equazioni generali dell’elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Mezzi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Condizioni di raccordo dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Energia del campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Polarizzazione elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Esercizio campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Mezzi magnetici 33
3.1 Fenomenologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Permeabilità e suscettività magnetica . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Il vettore magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Relazioni costitutive della magnetizzazione . . . . . . . . . . . 36
3.5 Equazioni generali della magnetostatica . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Mezzi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Condizioni di raccordo dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Energia del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8 Meccanismi microscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8.1 Diamagnetismo - Teoria di Langevin . . . . . . . . . . 43
3

4 INDICE
3.8.2 Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 Materiali ferromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.10 Esercizio campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Onde elettromagnetiche 55
4.1 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Notazione simbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Spettro delle onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Le equazioni di Maxwell in presenza di mezzi materiali . . . . 60
4.4.1 Onde nei mezzi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Onde nei dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.1 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.2 Polarizzazione elettronica per campi variabili nel tempo 63
4.5.3 Teoria microscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.4 Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Onde nei conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.1 Teoria di Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.2 Equazioni di Maxwell nei conduttori . . . . . . . . . . 75
4.6.3 Teoria microscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6.4 Basse frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.5 Alte frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.6 Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.7 Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Ottica ondulatoria 85
5.1 Riflessione e rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Leggi di Cartesio e Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Intensità delle onde riflesse e rifratte . . . . . . . . . . 89
5.1.3 Riflessione su conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Interferenza e diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.1 Interferenza di due sorgenti . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2 Esperienza di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Interferenza di N sorgenti . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.4 Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Struttura della materia 101
6.1 Elementi di meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Il corpo nero e crisi della teoria classica . . . . . . . . . 101

INDICE 5
6.1.2 Ipotesi di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.3 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.4 Natura duale della radiazione . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.5 Struttura dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.6 Natura duale della materia . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.7 Indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.8 Equazione di Schrodinger e struttura degli atomi . . . 107
6.2 Proprietà degli elettroni nei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.1 Legami chimici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.2 Bande. Isolanti e conduttori . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.3 Semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 INDICE
0.1 IMPORTANTE
Queste dispense integrano e non sostituiscono il libro di testo e vanno
considerate come riferimento per la struttura delle lezioni e la successione dei
vari argomenti all’interno di esse. Sono inclusi vari esercizi rappresentativi.
Si fa presente che il materiale è in forma preliminare, incompleto e contiene
imprecisioni. Si prega pertanto di segnalarmi gli eventuali refusi ed errori in
modo che possa correggerli ed aggiornare di conseguenza le dispense.
0.2 Copyright
Questo documento può essere liberamente diffuso e distribuito nel suo formato
originale. Non può tuttavia essere modificato senza il consenso
dell’Autore.

0.3. MOTIVAZIONE DEL CORSO 7
0.3 Motivazione del corso
Il corso propone lo studio dell’interazione dei campi elettromagnetici con
la materia e la delineazione di semplici concetti di struttura della materia.
Pertanto i punti essenziali che verranno studiati sono i seguenti:
• Riassunto delle equazioni di Maxwell nel vuoto.
• Reazione dei materiali a un campo elettrico statico: dielettrici.
• Reazione dei materiali a un campo magnetico statico: mezzi magnetici.
• Polarizzazione di onde elettromagnetiche.
• Interazione del campo elettromagnetico con la materia: onde in dielettrici
e conduttori.
• Ottica ondulatoria: rifrazione e riflessione, interferenza e diffrazione.
• Elementi di struttura della materia: struttura atomica e dei solidi,
semiconduttori.
Riferimenti:
• Testo consigliato: Mazzoldi, “Fisica” secondo volume, seconda edizione.
Casa editrice Edises.
• Sito Web: http://fisica.ing.unict.it/didattica/fisica.php
• Docente A. Mastellone, orario di ricevimento: Martedì dalle 11 alle 13,
studio 218, primo piano DMFCI, tel. 0957382822,
email andrea@femto.dmfci.unict.it .
• Docente E. Paladino, orario di ricevimento: Giovedì dalle 14:30 alle
16:30, studio 205, primo piano DMFCI, tel. 0957382803,
email elisa@femto.dmfci.unict.it .
Esami. Il corso non prevede prove in itinere. L’esame scritto consta in
due problemi, ciascuno dei quali con 3 domande, di cui 2 obbligatorie. Per
essere ammessi all’orale è necessario rispondere alle 2 domande obbligatorie
per ciascun problema.

8 INDICE

Capitolo 1
Richiami
1.1 Matematica vettoriale
Nello studio degli argomenti inerenti il corso (e dei relativi esercizi !) è di
basilare importanza la conoscenza del calcolo vettoriale. Iniziamo prima
di tutto dalla nozione di campo vettoriale. Un campo è un modello matematico
che permette di associare ai punti di una certa regione di spazio una
particolare proprietà fisica. La proprietà può avere natura scalare (se è descritta
da un numero) o vettoriale (se descritta da modulo, direzione e verso,
ossia un vettore), perciò si distingue tra campi scalari (come un campo di
temperatura) e campi vettoriali (come un campo di velocità o un campo di
forza). Tutte le grandezze del corso qui presenti riguarderanno campi scalari
o vettoriali, se non altrimenti specificato. Detto ciò, ricapitoliamo qui alcune
operazioni, insieme alle loro espressioni esplicite in coordinate cartesiane,
nelle quali possiamo scrivere in termini di componenti il generico vettore
A = Ax î + Ay ˆj + Az ˆ k.
• Prodotto scalare:
a = A · B
che, applicato ai vettori A e B restituisce il numero reale, ossia lo
scalare a. In termini di componenti risulta
e di moduli
a = AxBx + AyBy + AzBz,
a = AB cos ϑ,
essendo ϑ l’angolo formato dai due vettori. Due vettori si dicono ortogonali
quando il loro prodotto scalare è nullo, ossia quando essi formano
un angolo ϑ = π/2. Il prodotto scalare è commutativo:
A · B = B · A.
9

10 CAPITOLO 1. RICHIAMI
• Prodotto vettoriale:
C = A × B
che, applicato ai vettori A e B restituisce il vettore C. In termini di
componenti risulta
Cx = AyBz − AzBy,
Cy = AzBx − AxBz,
Cx = AxBy − AyBx,
che possono essere meglio ricordate facendo uso del determinante simbolico
î
C =
Ax
ˆj
Ay
kˆ
Az
,
Bx By Bz
sviluppato in termini dei minori della prima riga contentente i versori 1 .
In termini di moduli si ha
C = AB sin ϑ,
essendo ϑ l’angolo formato dai due vettori. Il prodotto vettoriale è
nullo quando i vettori A e B sono parallelio antiparalleli, ossia quando
essi formano un angolo ϑ = 0 o ϑ = π, rispettivamente. Il prodotto
vettoriale è anticommutativo:
• Prodotto misto:
A × B = − B × A.
a = A × B · C
che, applicato ai vettori A, B e C restituisce lo scalare a. In particolare,
se due vettori qualunque sono paralleli, il loro prodotto misto è
sempre nullo. Geometricamente il loro prodotto misto, in valore assoluto,
equivale al volume del prisma individuato da essi e non dipende
dall’ordine con cui si considerano i tre vettori.
In particolare, per i versori coordinati cartesiani si hanno i seguenti risultati
î · î = 1 î · ˆj = 0 î × ˆj = ˆ k
ˆj · ˆj = 1 ˆj · ˆ k = 0 ˆj × ˆ k = î
ˆk · ˆ k = 1 ˆ k · î = 0 ˆ k × î = ˆj
î × ˆj · ˆ k = 1
1 Si rinvia a un testo di algebra lineare per i concetti testè definiti.

1.1. MATEMATICA VETTORIALE 11
che sanciscono la loro ortonormalità.
La definizione dei prodotti ci permette di facilitare l’introduzione di alcuni
operatori, nei quali un termine del prodotto diventa l’operatore differenziale
vettoriale ∇ (nabla), che in termini di componenti cartesiane risulta ∇ =
∂x î + ∂y ˆj + ∂z ˆ k 2 . Essi sono (tutti gli scalari e i vettori qui presenti sono
implicitamente assunti dipendere dalle coordinate x, y, z)
• operatore gradiente:
A = ∇a ≡
grad a,
che, applicato su uno scalare a, restituisce il vettore A. In termini di
componenti si ha
• operatore divergenza:
Ax = ∂xa,
Ay = ∂ya,
Az = ∂za.
a = ∇ · A ≡ div A,
che, applicato su un vettore A, restituisce lo scalare a. In termini di
componenti si ha
a = ∂xAx + ∂yAy + ∂zAz.
• operatore rotore:
B = ∇ × A ≡ rot A,
che, applicato su un vettore A, restituisce un vettore B. In termini di
componenti basta ripetere il caso del prodotto vettoriale, considerando
∇ come primo vettore e A come secondo
Bx = ∂yAz − ∂zAy,
By = ∂zAx − ∂xAz,
Bx = ∂xAy − ∂yAx
equivalenti al solito determinante simbolico
B =
î
∂x
ˆj
∂y
kˆ
∂z
,
2 Usiamo la notazione abbreviata ∂x = ∂/∂x.
Ax Ay Az

12 CAPITOLO 1. RICHIAMI
Alcune considerazioni sugli operatori differenziali introdotti sinora:
• sono lineari, ossia per essi vale la proprietà:
div (a A + b B) = a div A + b div B,
valida anche nel caso del rotore. Tale proprietà deriva dalla linearità
dell’operatore derivata ed è fondamentale nello studio dei campi, in
quanto tiene perfettamente conto, attraverso le equazioni di Maxwell,
del principio di sovrapposizione : “Il campo totale emesso da più sorgenti
in un punto equivale alla somma dei campi generati dalle singole
sorgenti considerate separatamente”.
• identità utili per il seguito:
rot
gradf = ∇ × ∇ f = 0,
div rot A = ∇ · ∇ × A = 0
(il prodotto misto con due vettori uguali è sempre nullo),
rot rot A =
grad div A − ∇ 2 A,
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − ∇ 2 A.
Tali identità sono valide sotto determinate condizioni: i campi devono
essere derivabili sino al secondo ordine ed avere derivata prima continua,
condizione che noi assumeremo soddisfatta quasi ovunque, ossia a
meno di un insieme di punti a misura nulla (secondo Lebesgue). Ad
esempio l’espressione del potenziale elettrico generato da una carica
puntiforme q posta nell’origine di un riferimento cartesiano è
V (x, y, z) = q
4πɛ0
1
x 2 + y 2 + z 2 ,
dalla quale si evince un campo elettrico E definito in tutti i punti dello
spazio, tranne nell’origine, ossia nel punto in cui è posta la stessa carica.
Flusso e circuitazione. Definiamo ora due importanti concetti su cui
si basa l’elettromagnetismo classico.
• Flusso. Consideriamo una zona in cui sia definito un campo vettoriale
A e una superficie S all’interno di tale zona. Su tale superficie denotiamo
una faccia “positiva”. Su tale faccia consideriamo un elemento

1.1. MATEMATICA VETTORIALE 13
di superficie infinitesima con area dS, e sia d S il vettore ortogonale a
tale superficie. Il flusso del campo A attraverso la superficie sarà
dΦ( A) = A · d S = A · ˆn dS = A dS cos ϑ,
dove ovviamente il vettore A va considerato in corrispondenza del punto
in cui si trova l’elemento dS. Il flusso totale attraverso S si ottiene
integrando su tutta la superficie
ΦS(
A) = A · d S.
• Circuitazione. Consideriamo una zona in cui sia definito un campo
vettoriale A e un circuito, ovvero una linea chiusa C all’interno di tale
zona. Su tale circuito denotiamo un verso “positivo”. Consideriamo
un tratto del circuito infinitesimo con lunghezza dl, e sia d l il vettore
tangente al circuito nel tratto considerato, di lunghezza dl e verso coincidente
con quello fissato come positivo. Il contributo alla circuitazione
del campo A in tale tratto risulta
dC( A) = A · d l = A · ˆt dl = A dl cos ϑ,
dove ovviamente il versore ˆt indica la direzione tangente al circuito nel
punto corrispondente al tratto dl. La circuitazione lungo C si ottiene
integrando su tutto il cammino
CS(
A) = A · dl, dove il simbolo sta a indicare l’integrale di linea su un circuito chiuso.
1.1.1 Esercizio campione
Si consideri il campo scalare f(x, y, z) nei seguenti casi:
⎧
Si richiede di:
⎪⎨
f(x, y, z) =
⎪⎩
S
C
x 2 y + xyz + xy + y 2
sin(xy) + cos(yz)
√ 1
x2 +y2 +z2 .

14 CAPITOLO 1. RICHIAMI
• determinare il campo vettoriale A = ∇f;
• verificare che il rotore B = ∇ × A del campo A sia identicamente nullo
e dare le motivazioni;
• calcolare la divergenza di A;
• determinare il flusso di A attraverso la superficie S data dal quadrato
delimitato dai vertici Q1 = (1, 0, 0), Q2 = (0, 0, 0), Q3 = (0, 1, 0) e
Q4 = (1, 1, 0).
1.2 Equazioni di Maxwell nel vuoto
La summa dell’elettromagnetismo (classico) sono le equazioni di Maxwell,
formulate dal fisico scozzese James Clerk Maxwell nel 1873. Come vedremo,
alcune di esse erano già note, ma è stato merito di Maxwell l’aver proposto
una forma unificata. Da tali equazioni è difatti possibile desumere tutte le
leggi inerenti i fenomeni elettromagnetici. Partiremo proprio da esse per affrontare
l’elettromagnetismo nella materia. Di conseguenza, è utile ricordarle
nella seguente tabella, sia in forma integrale che differenziale.
equazione differenziale integrale
1 div E = ρ
ɛ0
S E · d S = Q
ɛ0
2 div
B = 0
S B · d S = 0
3 rot E = − ∂ B
∂t
4 rot B = µ0 J + µ0ɛ0 ∂ E
∂t
C E · dl = − ∂φS( B)
∂t
C B · dl = µ0i + µ0 ∂φS( E)
∂t
La forma integrale e differenziale sono completamente equivalenti tra loro:
l’uso di una particolare forma dipende quindi solo da scelta di opportunità.
Le relazioni differenziali sono del tipo punto a punto, e sono quindi utili
quando è neccesario studiare proprietà locali. Viceversa, quelle integrali
esprimono proprietà globali, e sono più utili in condizioni di simmetria o uniformità
dei campi, nel qual caso il calcolo degli integrali diventa più semplice.
Per passare da una forma all’altra basta usare i teoremi di Gauss e di Stokes3 Il teorema di Gauss, o della divergenza, conduce alla seguente relazione
φS(
A) = A · d
S = div AdV,
S
3 Come tutti i teoremi matematici, esistono precisi limiti di applicabilità delle relazioni.
Tutti i campi da noi considerati nel corso li soddisfanno, e non ci preoccuperemo oltre.
V

1.2. EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO 15
ossia Il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa equivale all’integrale
della sua divergenza nel volume racchiuso della superficie stessa. Ricordiamo
ora che il flusso del vettore A va calcolato, nel primo integrale,
attraverso una superficie chiusa, che definisce al suo interno il volume V
specificato nel secondo integrale.
Passiamo ora al teorema di Stokes, o del rotore:
A · d
l = rot A · d S,
C
ossia la circuitazione di un vettore lungo una linea chiusa equivale al flusso
del rotore attraverso una qualunque superficie aperta concatenata alla
linea. Particolare attenzione va prestata alla scelta del verso di d S nel
calcolo del flusso nel secondo integrale: la faccia positiva della superficie S
va scelta in modo da vedere come antiorario il verso positivo nel calcolo della
circuitazione.
Soffermiamoci brevemente sulle implicazioni fisiche di ciascuna equazione.
S
• Prima equazione: è il teorema di Gauss per il campo elettrico E. Essa
consente, una volta nota la distribuzione delle sorgenti del campo (la
funzione densità di carica libera ρ), di determinare il campo elettrico
nello spazio.
• Seconda: teorema di Gauss per il campo magnetico B. Esso stabilisce
che il campo magnetico è sempre solenoidale, ossia a divergenza nulla,
o in modo equivalente, il flusso del vettore campo magnetico attraverso
una qualunque superficie chiusa è sempre nullo.
• Terza: legge di Faraday-Neumann e Lenz: variazioni nel tempo del
campo magnetico generano un campo elettrico.
• Quarta: legge di Maxwell-Ampere: le sorgenti del campo magnetico
sono variazioni nel tempo del campo elettrico e le correnti elettriche.
Proviamo a formulare alcune considerazioni sulle equazioni di Maxwell
nel loro insieme.
• Supponiamo che in una zona dello spazio non vi siano cariche e correnti,
ma un campo magnetico variabile nel tempo. La terza equazione
asserisce che di conseguenza comparirà un campo elettrico variabile nel
tempo. Esso a sua volta, in virtù della quarta equazione, genera di
nuovo un campo magnetico variabile nel tempo. Ne consegue quindi
l’esistenza di una realtà fisica autonoma, il campo elettromagnetico.

16 CAPITOLO 1. RICHIAMI
Esso si propaga, come predisse Maxwell, sotto forma di onde. Egli predisse
anche la loro velocità c = 1/ √ ɛ0µ0, esattamente quella della luce,
che è essa stessa un’onda elettromagnetica. In seguito alla previsione di
Maxwell nel 1885 il fisico tedesco Hertz rilevò sperimentalmente le onde,
e in suo onore venne denominata l’unità di misura della frequenza,
l’hertz appunto.
• Le equazioni delle onde sono equazioni differenziali del secondo ordine
nello spazio-tempo (si pensi alle equazioni di d’Alembert che se ne possono
derivare, come vedremo nel seguito del corso). La loro soluzione
richiede quindi due condizioni iniziali: le condizioni al contorno, ossia
i valori dei campi alla “periferia” della regione di spazio considerata e
quelle iniziali, ossia a t = 0.
• Una volta risolte le equazioni è nota l’espressione del campo elettromagnetico
nello spazio e nel tempo. Da essa possiamo analizzare il moto
di una carica tramite la legge di Lorentz:
F = q( E + v × B),
dove q è il valore della carica, sufficientemente piccola in modo da
non alterare la configurazione del campo, e v la sua velocità. Date la
posizione e la velocità iniziali della carica, il suo moto risulta quindi
completamente determinato in virtù delle leggi di Newton.
• Le equazioni di Maxwell sono 8 (la prima e la seconda sono scalari,
ma la terza e quarta sono vettoriali con vettori a tre componenti) in
sei incognite, ossia le componenti del campo elettrico E e di induzione
magnetica B. Questo implica che le equazioni non sono indipendenti tra
di loro, ma che possono essere ricavate alcune da altre. Ad esempio, la
seconda può essere ricavata dalla terza (provate a farlo), mentre dalla
prima e dalla quarta si ricava la legge di conservazione della carica,
esposta nel punto seguente.
• Nelle equazioni di Maxwell è inglobata l’equazione della continuità:
div J + ∂ρ
∂t
= 0,
che esprime in forma microscopica la basilare legge di conservazione
della carica. È possibile passare alla forma globale, di significato
più immediato, integrando tale legge su un volume V racchiuso dalla

1.2. EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO 17
superficie S facendo ricorso al teorema della divergenza e ricordando
che la corrente è uguale a i =
S J · d S. Il risultato finale diventa
i + ∂Q
∂t
= 0,
e di facile interpretazione: se attraverso una superficie S passa una
corrente i, di conseguenza si ha una variazione della carica Q nel volume
V delimitato da S.
• Le equazioni sono asimmetriche nei confronti dei campi E e B. Difatti,
nella seconda manca l’equivalente della carica elettrica nella prima
come sorgente del campo. Di contro, nella terza non esiste una “corrente
magnetica” che ricopra un ruolo equivalente alla corrente elettrica
nella quarta. Questo implica l’assenza del cosiddetto monopolo
magnetico, ossia della carica magnetica isolata, ed esistono solo dipoli
magnetici 4 .
È noto che spezzando ad esempio una calamita (un caso di
dipolo magnetico) in due parti, i due pezzi diventano a loro volta altre
due calamite.
1.2.1 Esercizi campione
Proponiamo alcuni semplici esercizi concernenti le equazioni di Maxwell nel
vuoto. La loro soluzione aiuterà l’assimilazione dei concetti di base che
verranno usati nel corso.
• 1. Una carica q si trova nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale. Si calcoli il flusso del campo elettrico E da essa
generato attraverso una superficie sferica di centro l’origine e raggio R,
e si verifichi la validità del teorema di Gauss.
• 2. Ricavare l’equazione di continuità della carica dalle equazioni di
Maxwell (suggerimento: usare le equazioni in cui compaiono le sorgenti
dei campi).
• 3. Una lastra piana infinitamente estesa e di spessore trascurabile possiede
una densità di carica uniforme σ. Calcolare il campo elettrico
generato dalla lastra (suggerimento: in base a considerazioni di simmetria
si dimostri che il campo è ortogonale alla lastra, indi si applichi
il teorema di Gauss).
4 Nei limiti della tecnologia attuale, non si è ancora potuta constatare sperimentalmente
l’esistenza di tale particella.

18 CAPITOLO 1. RICHIAMI
• 4. Due lastre piane infinitamente estese e di spessore trascurabile con
densità di cariche uguali ed opposte uniformi σ e −σ sono parallele.
Si calcoli il campo elettrico tra le due lastre e nello spazio al di fuori
di esse (suggerimento: si usi il risultato dell’esercizio precedente e si
applichi il principio di sovrapposizione del campo elettrico).
• 5. Due fili infinitamente lunghi di spessore trascurabile sono paralleli
tra di loro a distanza d ed attraversati da una stessa corrente i. Calcolare
il campo magnetico prodotto dai due fili lungo la retta equidistante
i due fili nei casi in cui le correnti che li attraversano abbiano stesso
verso ed opposto.

Capitolo 2
Dielettrici
Scopo della lezione: studiare il comportamento di materiali in campo elettrico.
Dalla fenomenologia, si passerà alla definizione del vettore P e alle sue
relazioni con le densità di cariche di polarizzazione. Verranno introdotte le
equazioni generali dell’ elettrostatica in mezzi materiali e si definirà il vettore
D. Infine si analizzeranno le condizioni di raccordo dei campi alla superficie
di separazione tra mezzi materiali e l’energia del campo elettrico in mezzi
materiali. Si conclude con una descrizione microscopica della polarizzabilità
elettronica.
2.1 Fenomenologia e costante dielettrica
L’elettrostatica nel vuoto determina la configurazione del campo elettrico
nel vuoto una volta nota la distribuzione di cariche, e anche di conduttori,
ossia di quei materiali al cui interno è possibile un moto di cariche (ossia
gli elettroni). Vogliamo adesso comprendere come si modificano tali campi
allorché nello spazio sono presenti dei materiali isolanti, che da ora in poi
chiameremo dielettrici. In essi il moto degli elettroni non è possibile, in
quanto sono fortemente legati agli atomi di appartenenza.
A tale scopo consideriamo un condensatore piano carico ed isolato, in
modo tale che la carica Q0 sulle armature, uniforme con densità σ0 costante,
rimanga fissa nel tempo. In tal caso si creerà tra le armature un campo
elettrico E0 = σ0/ɛ0 e una differenza di potenziale (ddp) tra le armature
V0 = E0d, dove d è la distanza tra di esse. Introduciamo una lastra di dielettrico
di spessore d (occupando tutto lo spazio del condensatore), si trova
sperimentalmente che la ddp tra di esse diminuisce: Vκ < V0. Quindi, essendo
la carica costante sulle armature, da Q0 = C0V0 = CκVκ si ha Cκ > C0
e inoltre sarà Eκ < E0, dato che il campo elettrico è proporzionale alla ddp
19

20 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
(nell’ipotesi che esso rimanga costante all’interno del dielettrico). Inoltre, si
verifica anche che la V0/Vκ = κ > 1 dipende esclusivamente dal materiale,
ma non dalla forma del condensatore (si sarebbe ricavato lo stesso risultato
anche se si fosse considerato un condensatore cilindrico o sferico) e dalla carica
accumulata sulle armature (tali esperienze fuorno condotte per la prima
volta in modo sistematico da Faraday nel 1831). Definiamo κ come costante
dielettrica relativa del materiale, e ɛ = κɛ0 come costante dielettrica assoluta.
Dal contesto sperimentale si evince che la costante dielettrica κ è sempre
maggiore o al limite uguale ad uno. Dalla relazione V0/Vκ = κ ricaviamo
E0/Eκ = κ, e Cκ = κC0, quindi il campo elettrico nel dielettrico diminuisce
rispetto al vuoto, mentre la capacità del condensatore è aumentata. Capiremo
i motivi fisici quando affronteremo la trattazione a livello microscopico
dei dielettrici. Le unità di misura di κ e ɛ sono, rispettivamente, nessuna
(adimensionale) e F/m (come ɛ0). Valori tipici di κ sono circa 2-5 per i solidi
isolanti, 1 per l’aria, alta per i liquidi polari (28 per l’alcol etilico e 80 per
l’acqua).
Un dielettrico non può sopportare al suo interno campi oltre un certo
limite. Tale limite viene definito rigidità dielettrica ed è dell’ordine tipicamente
di 10 6 V/m. Oltre di esso, avvengono fenomeni di scarica che
danneggiano irreversibilmente il materiale nel caso in cui esso sia solido.
2.2 Meccanismi di polarizzazione
A livello microscopico un dielettrico è sostanzialmente diverso da un conduttore.
Difatti in quest’ultimo esistono cariche libere di muoversi al suo interno,
gli elettroni. Di contro, nel dielettrico gli elettroni rimangono fortemente legati
ai nuclei atomici. Quando un dielettrico si trova in un campo elettrico,
gli elettroni risentono della presenza del campo e si spostano di un piccolissimo
tratto (dell’ordine di 10 −15 m per campi intorno a pochi V/m), essendo
essi legati ai nuclei. Tale spostamento viene però effettuato in contemporanea
dal grandissimo numero di elettroni presenti nel dielettrico (tipicamente
10 25 per unità di volume nei gas e 10 28 nei solidi) e si misurano così degli
effetti. Questo movimento degli elettroni produce uno scompenso della distribuzione
di carica negli atomi, fenomeno noto come polarizzazione. I due
fondamentali meccanismi di polarizzazione sono elencati qui di seguito.
• Elettronica. In un atomo neutro in assenza di campi elettrici esterni,
il centro delle cariche positive, il nucleo, coincide con quello delle
cariche negative, ossia quello della nuvola elettronica. Difatti il mo-

2.2. MECCANISMI DI POLARIZZAZIONE 21
to dell’elettrone 1 intorno al nucleo è così rapido da, anche per piccoli
intervalli di tempo, occupare in modo uniforme lo spazio intorno al
nucleo con un raggio R 10 −10 m. In presenza di un campo elettrico,
gli elettroni subiscono uno spostamento in direzione opposta al
campo, viceversa il nucleo, carico positivamente, si muove nella stessa
direzione del campo. Va notato tuttavia che lo spostamento nucleare
è da considerarsi trascurabile, in quanto, anche nel più leggero degli
atomi, l’idrogeno, il nucleo ha massa circa duemila volte maggiore. Di
conseguenza noi trascureremo gli spostamenti del nucleo degli atomi
nel seguito del corso. La separazione tra il centro delle cariche positive
e negative produce un momento di dipolo atomico
pa = Zex,
dove Z è il numero atomico (ossia il numero uguale di protoni ed elettroni),
e la carica dell’elettrone, e x il vettore orientato dal centro delle
cariche negative verso quello delle cariche postive. In particolare, quando
il campo esterno viene spento, i due centri tornano a coincidere e la
polarizzazione si annulla.
• Orientamento. In diverse sostanze, ad esempio l’acqua, sono presenti
molecole polari. Esse sono molecole che per effetto della loro geometria
e delle diverse proprietà chimiche degli atomi di cui sono composti, presentano
una separazione del centro di cariche positive e negative anche
in assenza di un campo elettrico esterno. Ognuna di tali molecole possiede
quindi un momento di dipolo permanente p0. In assenza di campi
esterni tali dipoli molecolari sono orientati a caso per effetto dell’agitazione
termica e hanno un momento complessivo nullo. In presenza
di un campo esterno, essi tenderanno ad orientarsi nella stessa direzione
del campo acquistando così un momento di dipolo complessivo non
nullo. Tale tendenza è tanto più marcata quanto più intenso e il campo
esterno e più bassa è la temperatura, in quanto si riduce l’agitazione
termica che si oppone all’allineamento indotto dal campo esterno.
Riassumendo, ciascun atomo o molecola acquista, per effetto di un campo
esterno, un momento di dipolo elettrico medio parallelo e concorde al campo
elettrico esterno. Nel seguito giustificheremo quantitativamente questa
affermazione limitatamente alla polarizzazione elettronica.
Consideriamo ora un punto O all’interno del dielettrico, e definiamo intorno
a tal punto una zona di volume ∆τ. In essa vi saranno ∆N atomi o
1 Consideriamo per semplicità soltanto un elettrone per volta all’interno dell’atomo e
ignorando le interazioni con gli altri elettroni all’interno dello stesso atomo.

22 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
molecole. Nel seguito noi considereremo materiali composti da atomi, senza
ledere la generalità. Se 〈p〉 è il momento di dipolo medio degli atomi in questo
volume, il momento di dipolo totale sarà evidentemente ∆p = ∆N〈p〉.
Definiamo il vettore polarizzazione P nel punto O come il momento di dipolo
per unità di volume:
P = ∆p
∆τ
∆N
= 〈p〉 = n〈p〉.
∆τ
Qui n = ∆N/∆τ è il numero di atomi per unità di volume. Nella determinazione
del vettore polarizzazione nel punto O dobbiamo eseguire un compromesso
nella scelta del volume ∆τ. Difatti, esso non deve essere troppo grande
in modo da poter definire P come una funzione della posizione nell’interno
del materiale; ma allo stesso tempo non deve essere troppo piccolo in modo
da avere un numero alto di atomi e fare sì che il valor medio del momento
di dipolo non sia soggetto a fluttuazioni (i valori statistici sono più stabili
all’aumentare del campione). Un buon compromesso è scegliere un cubetto
con spigolo di 10 −6 m. Il suo volume sarà quindi 10 −18 m 3 . Un valore tipico
del numero di atomi per unità di volume in un gas 2 n = 10 25 atomi/m 3
conduce a un numero di atomi in tale cubetto ∆N = 10 7 , sufficientemente
elevato per evitare le suddette fluttuazioni.
In molti dielettrici si osserva una relazione di proporzionalità tra la polarizzazione
e il campo elettrico:
P = ɛ0(κ − 1) E = ɛ0χ E,
dove abbiamo definito la quantità adimensionale χ = κ − 1, la suscettività
dielettrica. Tali mezzi vegono definiti lineari.
Unità di misura. Il vettore polarizzazione è definito dividendo un momento
di dipolo, misurato in C·m, per un volume, misurato in m 3 . Ne segue
che esso si misura in C/m 2 . Ha quindi le stesse dimensioni della densità
superficiale di carica.
2.3 Relazioni costitutive della polarizzazione
Un campo elettrico all’interno di un dielettrico produce cariche di polarizzazione.
Vogliamo ora determinare la relazione tra il vettore polarizzazione e
le densità di carica di polarizzazione, sia di superficie che di volume.
Iniziamo da un caso semplice: poniamo una lastra di dielettrico ad occupare
interamente lo spazio tra le armature di un condensatore piano e
2 In un solido, come affermato precedentemente, tale numero è ancora maggiore.

2.3. RELAZIONI COSTITUTIVE DELLA POLARIZZAZIONE 23
supponiamo che il materiale acquisti una polarizzazione uniforme, ossia che
il vettore P sia lo stesso in tutti i punti del dielettrico. Suddividiamoli in
cubetti di volume ∆τ in modo che esso soddisfi i requisiti delineati nel paragrafo
precedente. Inoltre orientiamo i cubetti in modo che due facce opposte
si trovino ad essere ortogonali al vettore P . Sia dΣ0 la misura dell’area di
una faccia e dh la misura dello spigolo del cubetto avente la stessa direzione
del vettore P , il suo volume sarà allora dτ = dΣ0dh (il volume in effetti è
esattamente dh 3 , ma esiste una convenienza ad usare la notazione introdotta,
come si vedrà nel seguito). Per definizione di P segue
dp = P dτ = P dΣ0d h,
in seguito alla scelta che uno spigolo del cubetto e P abbiano la stessa direzione.
Ricordiamo ora che le proprietà elettrostatiche di un momento di dipolo,
ossia campi e potenziali generati da esso, non dipendono dalla distribuzione
di carica effettiva del dipolo: esse saranno le stesse per diversi sistemi
che però abbiano lo stesso momento di dipolo. In virtù di questa equivalenza,
possiamo sostituire al cubetto di dielettrico considerato precedentemente
due distribuzioni piane, a quadrato, di carica dqP , di segno opposto scelte in
modo che il momento di dipolo sia uguale a quello determinato precedentemente
dp = dqP d h, avendo cura di disporre la distribuzione di carica positiva
e negativa in modo che il verso di h coincida con quello di P . Tale carica avrà
una densità superficiale σP = dqP /dΣ0. Inserendo la relazione precedente in
quella del momento di dipolo avremo
dp = σP dΣ0d h
da cui segue la relazione σP = P per confronto con la relazione iniziale. Considerando
che su una faccia del cubetto la distribuzione di carica è negativa,
in essa varrà la relazione σP = −P . Consideriamo ora due cubetti attigui
lungo la direzione della polarizzazione: in base all’argomento precedente la
faccia in comune ad essi ha una carica totale data dalla somma delle due
cariche uguali ed opposte ±dqP , e sarà quindi nulla. Il caso limite è rappresentato
dai cubetti a contatto con le armature del condensatore, non avendo
essi altri attigui. Ne concludiamo che sulla superficie del dielettrico a contatto
delle armature del condensatore compare una distribuzione uniforme
di carica superficiale di polarizzazione con densità di carica σP = ±P 3 .
3 Più precisamente, a contatto con l’armatura positiva la densità è −P e viceversa.
Questo segue da una considerazione microscopica: in presenza di un campo elettrico esterno
un momento di dipolo si orienta in modo parallelo e concorde al campo, che in un
condensatore è diretto dall’armatura positiva verso quella negativa

24 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
Supponiamo ora che il dielettrico all’interno del condensatore abbia ancora
una polarizzazione uniforme, ma sia invece di forma qualunque, in modo
da non occupare più necessariamente in modo completo lo spazio tra le
armature. Suddividendolo in cubetti, può presentarsi il caso che in quelli
posti alla superficie del dielettrico la faccia esterna non sia più ortogonale
al vettore P (si faccia riferimento alle figura 5.11 del Mazzoldi). Sia quindi
ϑ l’angolo tra la polarizzazione e il versore normale alla superficie ûn. La
carica dqP = P dΣ0 (uguale in modulo a quella situata sulla faccia opposta)
sarà quindi distribuita su una superficie dΣ, e vale evidentemente la relazione
geometrica dΣ0 = dΣ cos ϑ. Su tale faccia la densità superficiale sarà quindi:
σP = dqp
dΣ
dΣ0
= P cos ϑ =
dΣ0
P · ûn,
avendo ricordato che P cos ϑ è esattamente il risultato del prodotto scalare
del vettore polarizzazione per il versore normale alla superficie, di modulo
unitario, e che ϑ è esattamente l’angolo tra di essi. In particolare, ritroviamo
il caso precedente per i valori degli angoli ϑ = 0 e π. Nel caso ϑ = π/2, ossia
quando la superficie del dielettrico è parallela al vettore polarizzazione, la
densità di carica di polarizzazione è nulla. Negli altri casi 0 < ϑ < π/2
essa sarà positiva; negativa se π/2 < ϑ < π. Ne segue che un dielettrico
con polarizzazione uniforme (e quindi senza cariche al suo interno) dovrà
presentare zone con densità superficiale di carica positive alterne a quelle
con densità di carica negative, in modo da preservare la sua neutralità: anche
durante la polarizzazione, non escono o entrano cariche dal dielettrico. In
termini matematici, questo equivale a dire
σP dS = P · d S = 0,
S
laddove l’integrale va esteso a tutta la superficie S del dielettrico.
Passiamo ora al caso in cui la polarizzazione P non sia uniforme. All’interno
di un qualunque dielettrico, consideriamo due cubetti, denominati 1
e 2, in modo che essi siano contigui lungo l’asse x di un riferimento cartesiano,
con posizioni dei centri x e x+dx rispettivamente. Siano dati i vettori P1
e P2, ossia polarizzazione del cubetto 1 e 2 rispettivamente, e determiniamo
le cariche di polarizzazione sulla faccia comune ai due cubetti, ortogonale
all’asse x (questa configurazione porta alle evidenti uguaglianze ûn,1 = î e
ûn,2 = −î ):
dqP,1 = σP,1dΣ = P1 · ûn,1dydz = Px1dydz,
e
dqP,2 = σP,2dΣ = P2 · ûn,2dydz = −Px2dydz.
S

2.4. EQUAZIONI GENERALI DELL’ELETTROSTATICA 25
La carica totale sulla faccia in comune tra i cubetti risulta
δqx = dqP,1 + dqP,2 = −(Px2 − Px1)dydz = −[P (x + dx) − P (x)]dydz.
Essendo la differenza nella coordinata x tra il centro del cubetto 1 x e quello
del cubetto 2 x + dx molto piccola, potremo usare il teorema del differenziale
nella differenza P (x + dx) − P (x). Avremo
−[P (x + dx) − P (x)]dydz = − ∂Px
dxdydz = −∂Px
∂x ∂x dτ
Allo stesso modo si considerano i contributi derivanti da cubetti contigui
sugli assi y e z per arrivare, tramite somma, alla
ρp = δqx
+ δqy + δqz ∂Px ∂Py ∂Pz
= − + + = −div
dxdydz
∂x ∂y ∂z
P .
Concludiamo quindi che in un dielettrico con polarizzazione non uniforme,
oltre alla densità superificiale di carica compare una di volume al suo interno.
La neutralità generale del dielettrico deve continuare però ad essere valida,
quindi:
σP dS + ρP dτ = 0,
S
con integrali estesi alla superficie S e al volume V del dielettrico.
Osservazione. Nel caso di polarizzazione uniforme, il vettore P è costante,
ha quindi divergenza nulla e densità di volume di carica di polarizzazione
ρP = 0. Non è vera invece l’implicazione contraria: ci sono casi in cui ρP = 0,
anche con P non costante (basta che abbia divergenza nulla, appunto). Concludiamo
che generalmente il contributo più importante alla polarizzazione
di un dielettrico proviene dalle cariche superficiali.
2.4 Equazioni generali dell’elettrostatica
Possiamo ora affrontare il problema di come modificare le equazioni di Maxwell
dell’elettrostatica in presenza di dielettrici per campi stazionari. All’interno
di un dielettrico il campo totale è la somma di quello esterno e dei campi
generati dalle cariche interne (atomi, elettroni). Si verifica che tali campi dovuti
a cariche interne mantengono sempre le caratteristiche coulombiane
a livello microscopico, e rimangono quindi conservativi. Esso rimane quindi
irrotazionale, a circuitazione nulla ed esprimibile come gradiente di un
potenziale (in condizioni statiche, beninteso): rot E = 0 e E = − ∇V . La
presenza di dielettrici non modifica quindi la terza equazione di Maxwell.
τ

26 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
Per quanto riguarda la prima equazione,
div E = ρ
,
che lega il campo elettrico alle sue sorgenti, ossia la densità di volume di
carica, nel caso di dielettrici dovremo evidentemente aggiungere il contributo
originante dalle cariche di polarizzazione
div E =
ɛ0
ρ + ρP
.
Ricordando che ρP = −div P , e moltiplicando ambo i membri dell’equazione
per ɛ0, avremo
ɛ0div E = ρ − div P .
Riscriviamo la relazione nel seguente modo
ɛ0
div(ɛ0 E + P ) = ρ.
Definiamo ora il vettore induzione dielettrica D = ɛ0 E + P . Ne consegue
che esso ha le stesse dimensioni del vettore polarizzazione P e si misurerà in
C/m 2 . In termini dell’induzione dielettrica la prima equazione di Maxwell si
scrive
div D = ρ.
La corrispettiva equazione integrale si ottiene con il teorema della divergenza:
D · d S = Q,
S
ossia il flusso del vettore induzione dielettrica attraverso una superficie chiusa
è uguale alla carica libera interna alla superficie. Il risultato è notevole,
poichè sancisce l’indipendenza del vettore D dalle cariche di polarizzazione
e quindi dalla presenza di dielettrici. Il problema dell’elettrostatica in presenza
di dielettrici passa attraverso la determinazione del vettore D: una
volta noto, con l’ausilio della relazione D = ɛ0 E + P e di un’altra relazione
ausiliaria (ci sono infatti due relazioni per tre incognite, ossia i campi stessi),
si determinano anche i campi E e P .
Esempio per capire il ruolo di D. Calcoliamo il flusso di E attraverso
una superficie chiusa contenente cariche libere (in questo caso una sola e

2.4. EQUAZIONI GENERALI DELL’ELETTROSTATICA 27
puntiforme) e in parte un dielettrico. Avremo per il teorema di Gauss per il
campo elettrico:
E · d S = 1
q0 + σpdS + ρP dτ.
S
ɛ0
Per le relazioni tra il vettore P e le densità di cariche di polarizzazione avremo
σpdS = P · d S
Σ1
e
ρP dτ = − div
τ
τ
P dτ == − P · d
Σ1+Σ2
S,
l’ultimo passaggio in virtù del teorema della divergenza. Si noti che qui Σ1 è
la superficie del dielettrico interna alla superficie di integrazione S, mentre
Σ2 è la superficie del dielettrico comune a quella di integrazione S. Avremo
P · d
S = P · d S,
Σ2
(sul resto della superficie fuori dal dielettrico P è nullo) e in definitiva
D · d S = q0,
S
avendo definito D = ɛ0 E + P .
In assenza di cariche libere (come nell’interno di un dielettrico) il vettore
D è solenoidale. Esso non è però conservativo. Infatti il rotore di questo
vettore equivale al rotore della polarizzazione
che è generalmente non nullo.
2.4.1 Mezzi lineari
Σ1
Σ1
rot D = ɛ0rot E + rot P = rot P
Tornando al problema generale dell’elettrostatica in presenza di dielettrici,
avevamo notato come servisse una relazione ausiliara tra i vettori D, E e
P . Questa relazione, che dipende dal materiale del dielettrico, viene definita
equazione di stato del dielettrico. Nel caso particolare di dielettrici lineari
vale la relazione di proporzionalità tra il campo elettrico e la polarizzazione
P = ɛ0χ E. Ne ricaviamo
D = ɛ0 E + P = ɛ0 E + ɛ0χ E = ɛ0(1 + χ) E = ɛ0κ E = ɛ E
S
τ

28 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
dove abbiamo adoperato la definizione della costante dielettrica assoluta del
materiale ɛ = κɛ0. In tali materiali, i vettori D, E, e P sono paralleli e concordi.
Determiniamo la relazione diretta tra la polarizzazione e l’induzione
dielettrica:
P
κ − 1
=
κ D = χ
χ + 1 D.
Nel caso in cui il dielettrico sia lineare ed omogeneo, ossia ha proprietà
fisiche costanti in tutti i suoi punti con riferimento, in questo caso alla costante
dielettrica relativa κ o alla suscettività χ, calcoliamo la divergenza di
ambo i membri dell’ultima relazione
div P = div
κ − 1
κ
D
= κ − 1
κ div D.
Ora vale la relazione div D = ρ, densità di volume di carica libera. Ma nell’interno
del dielettrico non vi sono cariche libere: ρ = 0. Ne segue div D = 0
e anche div P = 0. Essendo = ρP = −div P = 0, desumiamo che in un
dielettrico lineare ed omogeneo la densità di volume di carica di polarizzazione
è nulla. Si noti però che P può non essere nullo ma avere comunque
divergenza nulla. Verificare questo asserto nel caso di una polarizzazione
P = yî + zˆj + x ˆ k.
2.5 Condizioni di raccordo dei campi
• Campo elettrico E: si considera una circuitazione molto schiacciata attraverso
i due mezzi, e dall’irrotazionalità (circuitazione nulla) si ricava,
considerando il tratto di circuito ortogonale alla superficie di separazione
come infinitesimo di ordine superiore, la continuità della componente
tangenziale E1t = E2t, ossia E1 sin θ1 = E2 sin θ2, essendo θ l’angolo che
il campo forma con la normale alla superficie nel punto di passaggio.
• Induzione dielettrica D: si considera un cilindro molto schiacciato attraverso
i due mezzi, e dalla solenoidalità (assenza di cariche libere) si
ricava, considerando la superficie laterale come infinitesimo di ordine
superiore, la continuità della componente normale D1n = D2n. Scrivendo
in termini di moduli Dn = ɛ0En + Pn e ricordato che Pn = σP ,
avremo
E2n − E1n = − σP 2 − σP 1
,
relazione che lega la discontinuità della componente normale del campo
elettrico alla carica contenuta nella superficie attraverso la quale il
campo passa.
ɛ0

2.6. ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO 29
• Nel caso di dielettrici lineari, da D1n = D2n usando la D = ɛ0κE
ricaviamo κ1E1 cos θ1 = κ2E2 cos θ2, che, unita alla legge per la componente
tangenziale del campo, dà la legge di rifrazione delle linee di
forza del campo elettrico
tan θ1
κ1
= tan θ2
Se ne ricava che, se κ2 > κ1 (ad esempio nel passaggio dal vuoto o
dall’aria, mezzo 1, a un qualunque altro materiale, mezzo 2), si ha
θ2 > θ1: le linee di forza si allontanano dalla normale.
2.6 Energia del campo elettrostatico
• L’energia di un condensatore avente una carica Q sulle sue armature e il
vuoto tra di esse è U = q 2 /2C, con C la sua capacità. Se consideriamo
ora un condensatore piano con lo spazio tra le armature interamente
riempito da un dielettrico di costante κ, la sua energia diventerà
U = Q2
2C
= Q2
2κC0
κ2
= Q2d 2ɛΣ = σ2Σ2d 2ɛΣ = σ2Σ2dɛ 2ɛ2Σ .
= 1
2 ɛE2 V,
dove abbiamo usato le relazioni Q = σΣ, E = σ/ɛ, Σd = V . Detta
u = U/V la densità di energia, avremo quindi
uC = 1
2 ɛE2 = 1 D
2
2
ɛ
= 1
2 D · E,
laddove l’ultima espressione è valida nel caso generale, ossia per dielettrici
anche non lineari.
• Mostriamo che tale energia è pari a quella richiesta per polarizzare
il dielettrico, ossia per creare i momenti di dipolo. Consideriamo per
semplicità un dipolo in un volume unitario. La differenza tra l’energia
in un dielettrico e nel vuoto, ossia l’energia di polarizzazione, risulta,
a parità di campo elettrico E,
uκ − u0 = 1
2 (ɛ − ɛ0)E 2 = 1
2 ɛ0(κ − 1)E 2 = 1
2 ɛ0χE 2 .
Ora, per creare un dipolo elettrico, devo fornire un lavoro per separare le
due cariche q e −q per portarle a una distanza d. Per uno spostamento

30 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
infinitesimo si ha dW = qEdx = Edp. Per un dipolo in un volume
unitario si ha P = p da cui
dW = EdP = ɛ0χEdE,
da cui per integrazione si ha W = (ɛ0χE 2 )/2, che è esattamente l’energia
di polarizzazione determinata precedentemente.
2.7 Polarizzazione elettronica
Ci proponiamo di dimostrare a livello microscopico la validità della relazione
P ∝ E, almeno nel caso della polarizzazione elettronica.
Consideriamo un gas monoatomico con numero atomico Z in un campo
elettrico E. A causa del campo il nucleo positivo e il centro della nube
elettronica si separano fino a raggiungere una distanza di equilibrio d. In tali
condizioni l’atomo acquista un momento di dipolo pa = Ze d.
Studiamo la dinamica della nuvola elettronica, o meglio, del suo centro,
nel sistema di riferimento solidale al nucleo atomico che, in virtù della massa
molto superiore, rimarrà pressochè fermo.
La nuvola elettronica ha densità di carica ρ− = − Ze
4/3πR 3 con R raggio
dell’atomo. In tal caso il nucleo, spostato di d rispetto al centro della nuvola,
risente di un campo elettrico generato dalla nuvola e schematizzabile come
quello di una distribuzione sferica uniforme di carica al suo interno
E− = ρ− d.
3ɛ0
e quindi subirà la corrispondente forza F− = Ze E−. La forza esercitata invece
dal nucleo sulla nuvola sarà uguale ed opposta: FNUC = − F− = −Ze E−.
All’equilibrio, la forza sulla nuvola esercitata dal nucleo equilibra quella sulla
nuvola per effetto del campo E:
FNUC + F E = −Ze ρ−
d − Ze
3ɛ0
E = 0,
da cui troviamo l’espressione della distanza di equilibrio in funzione del
campo elettrico E:
d = − 3ɛ0 E.
Inserendo tale risultato nella definizione di momento di dipolo dell’atomo e
ricordato il valore di ρ−, avremo alfine
ρ−
pa = ɛ04πR 3 E = ɛ0αe E,

2.8. ESERCIZIO CAMPIONE 31
avendo definito la polarizzabilità elettronica αe = 4πR 3 . Introducendo il
numero di atomi per unità di volume na, ricaviamo P :
P = napa = ɛ0naαe E = ɛ0χ E,
la relazione cercata che sancisce la proporzionalità tra i campi, laddove
χ = naαe.
Per i gas monoatomici valori tipici sono R ∼ 10 −10 m, na ∼ 10 25 atomi/m 3 ,
da cui si desume χ ∼ 10 −4 .
2.8 Esercizio campione
Considerare un condensatore piano con armature di superficie Σ e distanza
d, all’interno del quale vi è una lastra di dielettrico di spessore h ≤ d. In
particolare, la posizione della lastra all’interno del condensatore si dimostererà
essere indifferente. Il dielettrico è lineare ed omogeneo con costante
relativa κ. Tra le armature del condensatore viene stabilita una differenza
di potenziale ∆V . Si determinino tutte le proprietà elettriche del sistema,
ossia: i campi P , D e E nel dielettrico e nel vuoto, la densità di carica libera
sulle armature del condensatore σ, le densità di carica di polarizzazione nel
dielettrico σP e ρP , e la capacità del condensatore.
I passi da compiere, sono, nell’ordine:
• Calcolare il vettore D in funzione della carica libera nello spazio tra le
armature, essendo tale calcolo indipendente dal dielettrico;
• Noto D, si determinano i campi P e E sia nel vuoto che nel dielettrico,
dato che possiamo usare la relazione P = ɛ0χ E per ipotesi di linearità
del dielettrico.
• Dal vettore P si calcolano le densità di carica di polarizzzazione, sia
di superficie che di volume, in particolare questa ultima risulta nulla
(anche per la linearità del dielettrico).
• Determinati il campo E, dalla relazione con la differenza di potenziale
tra le armature ∆V = − E · d l, tenuto conto del valore diverso nel
campo nel vuoto e nel dielettrico, si collega così la differenza di potenziale
alla carica sulle armature σ. Inoltre si dimostra in questa sede
che il problema dipende dagli spessori h e d, ma non dalla posizione
relativa della lastra tra le due armature.

32 CAPITOLO 2. DIELETTRICI
• Infine, determinata la carica sulle armature del condensatore, si può
passare al calcolo della sua capacità C = Q/∆V .

Capitolo 3
Mezzi magnetici
Scopo della lezione: studiare il comportamento di materiali in campo magnetico.
Dalla fenomenologia, assodati i tre tipi di materiali, si passerà alla
definizione del vettore M e alle sue relazioni con le correnti microscopiche
amperiane. Verranno introdotte le equazioni generali della magnetostatica in
mezzi materiali e si definirà il vettore H. Infine si analizzeranno le condizioni
di raccordo dei campi alla superficie di separazione tra mezzi materiali e
l’energia del campo magnetico in mezzi materiali. Si conclude con una descrizione
microscopica di diamagnetismo e paramagnetismo attraverso le teorie
di Larmor e Langevin rispettivamente per concludere con una descrizione
qualtitativa del ferromagnetismo.
3.1 Fenomenologia
• Si considera un solenoide percorso da una corrente costante i e avente
n spire per unità di lunghezza, con l’asse disposto lungo la direzionez.
Nel suo interno si crea un campo di induzione magnetica B = µ0ni ˆ k
costante e coassiale, tranne che ai bordi, dove il campo diminuisce
(effetti di bordo). Esso sarà diretto verso l’asse z positivo se guardando
dall’alto il solenoide, la corrente i circola in verso antiorario. Una spira
percorsa da una corrente i ′ immersa in tale campo interagirà con esso
e subirà una forza
F = − ∇Um ′ = ∇(m ′ · B),
ove m ′ = i ′ πr ′2ˆ k è il momento magnetico della spira, supposta circolare
di raggio r ′ . Tale momento sarà concorde al campo B del solenoide
a seconda che i ′ sia concorde o discorde ad i. Eseguendo il prodotto
33

34 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
nell’ipotesi che la spira abbia forma costante e non si muova, avremo
Fz = ∓m ′
∂B
∂z ,
a seconda che la corrente nella spira abbia verso concorde o discorde a
quella del solenoide (si noti che ∂B < 0 nel bordo alto del solenoide),
∂z
di conseguenza la spira sarà attratta o respinta verso l’interno del
solenoide, rispettivamente.
• Ripetendo la stessa esperienza con piccoli volumetti di diversi tipi di
materiali al posto della spira, si possono classificare tre tipi di situazioni:
1. alcuni materiali vengono debolmente attratti verso l’interno del
solenoide: essi vengono definiti paramagnetici, e sono equivalenti
a spire il cui momento proprio m è parallelo a quello del campo
B;
2. altri materiali vengono debolmente respinti dall’interno del solenoide:
essi vengono definiti diamagnetici, e sono equivalenti a
spire il cui momento proprio m è antiparallelo a quello del campo
B;
3. altri materiali (ferro, nichel, cobalto) ancora vengono fortemente
attratti verso l’interno del solenoide: essi vengono definiti
ferromagnetici, anche essi sono equivalenti a spire il cui momento
proprio, di valore molto alto, m è parallelo a quello del campo B.
3.2 Permeabilità e suscettività magnetica
• E’ possibile misurare sperimentalmente il campo di induzione magnetica
all’interno di un solenoide, anche in presenza di un mezzo materiale.
La presenza del mezzo modifica il campo, che dal valore nel vuoto B0
passa a quello B.
• Consideriamo la quantità
κm = B
.
Si verifica che essa dipende esclusivamente dal materiale selezionato,
e non dalla forma del materiale e dalla corrente nel solenoide (e quindi
dal valore di B0), almeno per i materiali diamagnetici e paramagnetici.
La definiamo permeabilità magnetica relativa del mezzo materiale. E’
ovviamente una quantità adimensionale.
B0

3.2. PERMEABILITÀ E SUSCETTIVITÀ MAGNETICA 35
• Vale la seguente serie di uguaglianze
B − B0 = κmB0 − B0 = (κm − 1)B0 = χmB0,
dove abbiamo definito la suscettività magnetica χm = κm − 1. Si verifica
che χ ≷ 0, e quindi B ≷ B0, a seconda che il materiale sia
paramagnetico o diamagnetico. Riscrivendo la relazione precedente
come
B = B0 + χmB0,
possiamo quindi considerare il campo misurato nel mezzo materiale
come la sovrapposizione di quello generato dalla corrente nel vuoto B0
e di un campo χmB0 generato invece all’interno del materiale. Siccome
nella magnetostatica la sorgente di un campo magnetico deve essere
una corrente, desumiamo l’esistenza di correnti microscopiche (dette
amperiane), dovute ad esempio al moto di elettroni intorno ai nuclei.
• Nei diamagneti si ha χm < 0 e di conseguenza κm < 1. I valori tipici
per χm sono −10 −5 nei solidi e −10 −8 nei gas (dipende dalla densità).
• Nei paramagneti si ha χm > 0 e di conseguenza κm > 1. I valori tipici
per χm sono 10 −5 nei solidi e 10 −8 nei gas (dipende dalla densità). In
essi vale poi la legge di Curie χm = Cρ/T , con C una costante, ρ la
densità e T la temperatura assoluta. Di conseguenza il paramagnetismo
aumenta al diminuire della temperatura.
• Nei ferromagneti la situazione è piuttosto complessa. Si verifica che
non solo non esiste una relazione lineare tra i campi, ma che i campi
stessi dipendono anche dalla storia nel materiale (fenomeno dell’ isteresi).
Per essi può esere definita una suscettività (e una permeabilità)
differenziale, punto per punto, funzione non univoca dei campi, dell’ordine
di 10 3 ∼ 10 5 . Ad ogni modo, in molte situazioni si osserva
un parallelismo tra i campi, beninteso che in genere tra i loro moduli
non vengono rispettate relazioni di proporzionalità. Nei ferromagneti
esiste una temperatura critica oltre la quale il materiale diventa
paramagnetico.
• La trattazione che noi seguiremo, in fisica classica, permette di capire
qualitativamente l’origine microscopica del diamagnetismo e paramagnetismo,
ma non del ferromagnetismo. Inoltre la teoria classica non
fornisce previsioni numeriche accurate, per le quali bisogna ricorrere
alla meccanica quantistica, nella quale ancora non è stata formulata
una teoria rigorosa e soddisfacente per il comportamento dei materiali
ferromagnetici.

36 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
3.3 Il vettore magnetizzazione
Consideriamo all’interno di un mezzo materiale un volumetto dτ, sufficientemente
piccolo in modo da associare ad esso una funzione delle coordinate
spaziali, ma allo stesso tempo sufficientemente grande in modo che abbia un
numero elevato di atomi al suo interno e poter quindi definire la media delle
grandezze fisiche definite per gli elementi al suo interno (atomi o molecole
per esempio). Se l’elemento i-esimo possiede un momento magnetico mi,
definiamo il momento magnetico medio del volumetto la quantità
〈m〉 = 1
dN
N
mi,
essendo dN il numero di elementi all’interno del volumetto. Definito n =
dN/dτ il numero di elementi per unità di volume, il vettore
i=1
M = dN
〈m〉 = n〈m〉
dτ
viene definito magnetizzazione del volumetto considerato. Esso equivale
quindi alla magnetizzazione totale del volumetto per unità di volume. Esso
non è altro che la somma dei momenti magnetici all’interno del volumetto
m divisa per il suo volume dτ, analogamente alla definizione del vettore di
polarizzazione elettrica per i dielettrici ( P = n〈p〉). Siccome il momento
magnetico si misura in Ampere per metro quadro, ne segue che la magnetizzazione,
ottenuta dividendo un momento magnetico per un volume, si misura
in Ampere su metro.
3.4 Relazioni costitutive della magnetizzazione
Definito il vettore magnetizzazione ed assodato che il campo magnetico presente
all’interno dei materiali è generato da correnti microscopiche, dobbiamo
ora determinare il legame tra magnetizzazione e tali correnti. Come nel caso
dei dielettrici, consideriamo dapprima il caso di magnetizzazione uniforme
per poi passare a quello più generale di magnetizzazione non uniforme.
Magnetizzazione uniforme. Si consideri un cilindro di materiale con
una magnetizzazione uniforme M diretta lungo il suo asse, poniamo coincidente
con z positivo. Suddividiamolo in fettine di spessore infinitesimo dz
ortogonali al suo asse, e in tale fetta consideriamo tanti volumetti a forma
di prisma, di dimensioni infinitesime, in modo analogo per la definizione del

3.4. RELAZIONI COSTITUTIVE DELLA MAGNETIZZAZIONE 37
vettore magnetizzazione. Ciascun volumetto avrà superficie dΣ e ovviamente
spessore dz, in modo che il suo volume sia dτ = dΣdz. Per definizione del
vettore magnetizzazione, avremo dm = Mdτ = MdΣdz ˆ k. Per il principio di
equivalenza di Ampere, il momento dm del volumetto può essere visto come
quello generato da una spira di superficie dΣ e percorsa da una corrente dim
in modo che dm = dimdΣ ˆ k per cui ne ricaviamo l’uguaglianza
dim = Mdz,
ricordando che tale equivalenza è esatta ai fini delle conseguenze fisiche.
Sostituendo nella fetta dz tutti i volumetti con i nastri (spire allungate) e
considerando che, essendo M lo stesso per tutti i volumetti, anche le correnti
dim su ogni nastro sono uguali, in modo che su due nastri contigui esse
si elidono, lasciando quindi solo le correnti nei nastri in prossimità della
superficie laterale. Sommando le correnti di tutte le fette abbiamo per il
cilindro intero
im = Mdz = Mh,
essendo h l’altezza del cilindro. Riscriviamo questo risultato definendo una
densità lineare di corrente amperiana
Jlm = im
h
= dim
dz
= M
dove abbiamo usato i sottoscritti l per ricordare che si tratta di una densità
lineare di corrente e m per rimarcare la sua origine microscopica. Tenuto
conto che im nel cilindro è diretta lungo la direzione tangente alla superficie
in senso antiorario, possiamo scrivere la definizione in termini vettoriali
Jlm = M × ˆn (3.1)
dove ˆn è il versore normale alla superficie e diretto verso l’esterno, nel punto
in cui si desidera calcolare la densità lineare di corrente. Si noti che questa
densità si misura in Ampere su metro, essendo lineare. Vale la relazione
integrale
M · dl = im,
C
dove C è un percorso chiuso che concatena la corrente im.
Magnetizzazione non uniforme. Consideriamo ora un materiale in
cui la magnetizzazione M non sia uniforme. All’interno di esso consideriamo
due cubetti attigui secondo la direzione y, chiamiamoli 1 e 2 1 . In ciascuno
1 Tale scelta è la più immediata da visualizzare in un sistema di riferimento cartesiano
destrogiro, come è nello standard.

38 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
di essi avremo per il principio di equivalenza di Ampere di1 = Mz1dz e
di2 = Mz2dz. La corrente netta sulla faccia comune ai cubetti disposta nel
piano yz, è diretta lungo x e vale:
dix(1,2) = −di1 + di2 = (Mz2 − Mz1)dz,
avendo constatato che la corrente dovuta al cubetto 1 ha verso opposto a
quella del cubetto 2. Considerando 2 Mz ≡ Mz(y) come funzione di y, e,
essendo i cubetti 1 e 2 situati a coordinate y e y + dy, dato che essi sono di
dimensioni infinitesime, avremo Mz1 = Mz(y) e Mz2 = Mz(y + dy). Per il
teorema del differenziale Mz2 − Mz1 = [∂Mz(x)/∂y]dy e quindi
dix(1,2) = ∂Mz(y)
dydz.
∂y
Un altro contributo alla corrente lungo x deriva da due cubetti contigui
secondo l’asse z e considerando stavolta la componente My in funzione di z.
Detti 3 e 4 tali cubetti, con il 3 più in basso, si ricava per la corrente sulla
faccia contigua xy:
dix(3,4) = dim3 − dim4 = −(My4 − My3)dy,
e, ripetendo il teorema del differenziale sulla funzione My(z), si ottiene
dix(3,4) = − ∂My(z)
dydz.
∂z
La corrente netta lungo la direzione x è allora
∂Mz
dix = dix(1,2) + dix(3,4) =
∂y
∂My
− dydz,
∂z
dove per semplicità abbiamo omesso la dipendenza dalle coordinate delle
componenti del vettore magnetizzazione. La corrispettiva densità si ottiene
dividendola per la superficie dydz ad essa ortogonale:
Jmy = dix
dydz
= ∂Mz
∂y
− ∂Mz
∂y = |rot M|x,
in quanto questa non è altro che l’espressione della componente x del rotore
della magnetizzazione. E‘ facile ripetere lo stesso discorso per le altre due
componenti, ricaviamo quindi la relazione finale
Jm = rot M. (3.2)
2 Per la precisione, Mz sarà in genere una funzione di tutte e tre le coordinate x, y e z,
ma qui ci interessa in modo particolare la dipendenza da y.

3.5. EQUAZIONI GENERALI DELLA MAGNETOSTATICA 39
A differenza di quella lineare, questa è una densità superficiale di corrente
(microscopica) e come tale si misura in Ampere su metro quadro.
Noto quindi il vettore magnetizzazione, le due relazioni (3.1) e (3.2)
permettono di risalire alla densità lineare di corrente amperiana sulla sua
superficie e alla densità di corrente amperiana nel suo interno.
3.5 Equazioni generali della magnetostatica
Ricordiamo le equazioni generali della magnetostatica nel vuoto (la seconda
e quarta di Maxwell):
div B = 0 (3.3)
rot B = µ0 J.
Passando ai mezzi materiali si nota che la seconda continua a sussistere
anche per i campi microscopici generati dalle correnti amperiane, e anche
considerando invece dei campi microscopici quello macroscopico misurato.
Invece nella quarta, oltre alle correnti libere, vanno incluse anche le correnti
amperiane:
rot B = µ0( J + Jm).
Ma vale la rot M = Jm. Inserendo questa relazione nella precedente e
definendo il vettore campo magnetico
H = B
la quarta equazione si riscrive come
oppure, in forma integrale:
µ0
− M. (3.4)
rot H = J, (3.5)
C
H · d l = i.
L’ultima relazione in particolare, ci dice che la circuitazione del vettore campo
magnetico attraverso una linea chiusa dipende esclusivamente dalle correnti
di conduzione, anche in presenza di correnti microscopiche concatenate
dovute a mezzi materiali. Il vettore H ha le stesse dimensioni, come si vede
dalla definizione, di M: pertanto si misura anche esso in Ampere su metro. Si
noti che il vettore H non è solenoidale, a differenza di quello di induzione
magnetica, dato che in genere non lo è nemmeno M.
Le (3.3) e (3.5), con la definizione dei campi (3.4), costituiscono le equazioni
generali della magnetostatica nei mezzi materiali.

40 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
Problema della magnetostatica. In un problema di magnetostatica
in presenza di mezzi materiali sono note la distribuzione delle correnti di
conduzione e la disposizione dei mezzi magnetici. Siccome i campi incogniti
sono tre ( H, B e M), mentre le equazioni sono due 3 , ossia le (3.4) e (3.5),
serve un’ulteriore relazione per risolvere il problema, la cosiddetta equazione
di stato del mezzo magnetico, ossia una relazione che lega i campi all’interno
dei mezzi materiali, ad esempio M ≡ M( H).
3.5.1 Mezzi lineari
In questi mezzi i campi sono paralleli tra di loro. Possiamo scrivere quindi
M = χm H.
Dalla definizione del campo magnetico si ha allora
B = µ0( H + M) = µ0( H + χm H) = µ0(1 + χm) H = µ0κ H = µ H
avendo definito la permeabilità magnetica assoluta del materiale µ = κmµ0.
Essa si misura come µ0, ossia in H/m. Si noti che i campi sono tutti paralleli,
ma non necessariamente concordi, siccome nei materiali diamagnetici il
vettore M è opposto ai vettori B e H. Se il mezzo è anche omogeneo, ossia
in esso le costanti magnetiche sono uniformi in tutto il materiale, allora vale
la seguente catena di relazioni
Jm = rot M = rot (χm H) = χmrot H = 0,
in quanto nel mezzo lineare non vi sono correnti di conduzione. Di conseguenza
in tali materiali sono presenti solo le correnti lineari sulla superficie.
Si noti che spesso il vettore M è non nullo in tali materiali, ma risulta irrotazionale
(allo stesso modo per cui P è solenoidale nei dielettrici lineari ed
omogenei senza cariche libere).
3.6 Condizioni di raccordo dei campi
Determiniamo ora le condizioni di raccordo dei campi magnetici H e B al
passaggio attraverso la superficie di separazione tra due materiali. In analogia
al discorso svolto nel caso elettrostatico, notiamo che a vettore solenoidale
3 L’equazione div B = 0 non lega il campo alle sorgenti e non è quindi di aiuto, dato che
essa sancisce esclusivamente la solenoidalità del vettore induzione magnetica, allo stesso
modo dell’equazione rot E = 0 nel caso dell’elettrostatica in mezzi materiali.

3.6. CONDIZIONI DI RACCORDO DEI CAMPI 41
( D, B) corrisponde una componente normale continua, mentre a vettore
irrotazionale ( E, H) corrisponde una componente tangenziale continua.
Ad ogni modo, ricordiamo brevemente i due casi:
• campo magnetico H: si considera una circuitazione molto schiacciata
attraverso i due mezzi, e dall’irrotazionalità (circuitazione nulla) in
assenza di correnti libere, si ricava, considerando il tratto di circuito
ortogonale alla superficie di separazione come infinitesimo di ordine
superiore, la continuità della componente tangenziale H1t = H2t, ossia
H1 sin ϑ1 = H2 sin ϑ2, essendo ϑ l’angolo che il campo forma con la
normale alla superficie nel punto di passaggio;
• induzione magnetica B: si considera un cilindro molto schiacciato
attraverso i due mezzi, e dalla solenoidalità si ricava, considerando la
superficie laterale come infinitesimo di ordine superiore, la continuità
della componente normale B1n = B2n.
Nel caso di mezzi magnetici lineari, da B1n = B2n usando la B = µ0κH
ricaviamo κ1mH1 cos ϑ1 = κ2mH2 cos ϑ2, che, unita alla legge per la componente
tangenziale del campo, dà la legge di rifrazione delle linee di forza del
campo magnetico H:
tan ϑ1
= tan ϑ2
.
κ1m
Se ne ricava che, se κ2m > κ1m (ad esempio nel passaggio dal vuoto o dall’aria,
mezzo 1, a un qualunque altro materiale, mezzo 2), si ha ϑ2 > ϑ1: le linee di
forza si allontanano dalla normale.
Schermi magnetici. Nel caso in cui il mezzo 1 sia “normale”, ossia con
κm ∼ 1, e il 2 un ferromagnete 4 , essendo κ2m ∼ 10 3 κ1m si ha θ2 → π/2: nel
ferromagnete le linee di forza del campo non penetrano, ma rimangono in
prossimità della superficie. Questo è il principio di costruzione degli schermi
magnetici (tipicamente nella configurazione ad anello).
4Sebbene nei ferromagneti i campi non siano lineari e di conseguenza non siano definite
la permeabilità e suscettività magnetica, nella maggioranza dei casi i campi rimangono
paralleli. Possiamo quindi lavorare in termini dei loro moduli, e definire la permeabilità
magnetica relativa differenziale
κm = 1 ∂B
∂H ,
µ0
che è quella a cui si fa riferimento nel presente paragrafo, principalmente in termini di
ordini di grandezza.
κ2m

42 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
3.7 Energia del campo magnetico
Nel vuoto, come per il campo elettrico, possiamo associare alla presenza di
un campo di induzione magnetica una densità di energia magnetica
um = 1
B
2µ0
2
che rappresenta il lavoro richiesto per la creazione del campo in quella zona
dello spazio. Ci chiediamo ora come cambia tale energia nel caso in cui nella
zona dove viene creato il campo siano presenti mezzi magnetici. Si potrebbe
procedere come nel caso dielettrico, sostituendo µ0 con µ, ma preferiamo
seguire un’impostazione più generale, valida anche per mezzi non lineari e
per comprendere meglio la fisica del sistema. A tal scopo, consideriamo un
solenoide ideale, di sezione Σ e lunghezza L avente N spire, il numero di spire
per unità di lunghezza sarà dunque n = N/L, e al suo interno poniamo un
materiale magnetico qualunque.
Le spire del solenoide vengono poi chiuse su un circuito dove sono presenti
una resistenza R e un generatore di fem E, tutti posti in serie. Sotto tali
condizioni, al passaggio di una corrente i in tale circuito si creerà un campo
di induzione magnetica uniforme all’interno del solenoide. Attiviamo il
circuito, facendo passare la corrente dallo zero iniziale fino a un valore finale,
poniamo i. In tale lasso di tempo il flusso del campo (che cambia cambiando
la corrente) concatenato con le spire varia, nascerà quindi una fem indotta
Ei = − d d
d
Φ(B) = − NΣB = −NΣ
dt dt dt B,
avendo opportunamente scelto il sistema di riferimento e ricordando che il
flusso concatenato si ottiene moltiplicando il flusso di B per il numero di spire
N. Si noti che la derivata rispetto al tempo è totale, in quanto in questo caso
il flusso e il campo B dipendono solo dal tempo. L’equazione della maglia
per il circuito risulta
E − Ri + Ei = 0,
ossia
E = Ri + NΣ d
dt B.
Moltiplicando ambo i membri di tale relazione per l’elemento infinitesimo
di carica trasferito dq = idt abbiamo un’uguaglianza tra lavoro fornito dal
generatore di fem da un lato e quello speso nella resistenza per effetto Joule
e nel solenoide per la creazione del campo magnetico dall’altro:
Edq = Ri 2 dt + NΣidB.

3.8. MECCANISMI MICROSCOPICI 43
In particolare, l’ultimo termine rappresenta la variazione dell’energia magnetica
dUm = NΣidB = HΣLdB,
dato che in un solenoide il campo è dato dalla relazione H = ni. Notiamo
che ΣL = V , volume del solenoide, che è lo stesso della zona dove è presente
il campo uniforme H. Dividendo quindi ambo i membri della relazione
precedente per tale volume avremo la densità di energia magnetica
dum = dUm
ΣL
= HdB.
Di conseguenza l’energia richiesta per portare il campo B da 0 al valore finale
B sarà
um =
B
0
HdB.
Per il calcolo dell’integrale serve la curva di magnetizzazione (ossia l’equazione
di stato magnetica): una relazione tra i campi H e B. Nel caso di materiale
lineare ed omogeneo, con permeabilità magnetica relativa κm, avremo
B = µH e quindi
um =
B
0
HdB = 1
B
BdB =
µ 0
1
2µ B2 = 1
2 µH2 = 1
2 B · H.
3.8 Meccanismi microscopici
Poniamo ora l’accento sulla relazione M = χm H. Vedremo come la fisica
classica sia in grado di spiegare l’origine microscopica del diamagnetismo
e del paramagnetismo, e di fornire la linearità tra magnetizzazione e campo
magnetico. Tuttavia vedremo anche che numericamente i risultati della teoria
classica non corrispondono a quelli sperimentali e che la teoria classica stessa
è incapace di fornire una teoria del ferromagnetismo a livello miscroscopico.
3.8.1 Diamagnetismo - Teoria di Langevin
Vediamo ora come possiamo ricondurre il diamagnetismo al moto orbitale
degli elettroni negli atomi. A tal scopo, prima di effettuare il calcolo
si rende necessario aprire una breve parentesi sulla relazione tra momento
magnetico e momento orbitale di un elettrone.

44 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
Rapporti giromagnetici dell’elettrone
Moto orbitale. Modello di Bohr-Sommerfeld dell’atomo: l’elettrone percorre
determinate orbite circolari intorno al nucleo. Posizioniamo il piano
dell’orbita perpendicolare all’asse z di un sistema di riferimento cartesiano.
Il momento angolare orbitale dell’elettrone sarà diretto lungo tale asse z in
verso positivo se scegliamo il riferimento in modo che l’elettrone ruoti in senso
antiorario vedendo dall’alto (direzione z positiva) la sua orbita. Avremo
quindi un momento angolare costante (la forza di attrazione coulombiana è
centrale) pari a
L = rp = rmev
ove r indica il raggio dell’orbita atomica, p, me e v il momento, la massa
e la velocità dell’elettrone. Tale moto orbitale ha un periodo T = 2πr/v.
Siccome una carica in moto produce una corrente, il suo valore in un periodo
sarà i = −e/T = −ev/2πr. Possiamo quindi vedere l’orbita dell’elettrone
come una spira percorsa da tale corrente ed associare ad essa il momento
magnetico
mL = iπr 2 = − ev
2πr πr2 = − ev
2 r
diretto anche esso lungo la direzione z, ma in verso negativo, dato che tale è
la carica dell’elettrone. Riscriviamo opportunamente il momento magnetico
mL = − ev e
r = − rmev = −
2 2me
e
L,
2me
relazione che può essere riscritta in forma vettoriale siccome i due vettori
hanno la stessa direzione:
mL = −gL
dove la quantità gL = 1/2 viene definita fattore giromagnetico orbitale dell’elettrone.
In tale relazione appaiono solo costanti fondamentali e difatti si
dimostra che è valida in generale anche per orbite non circolari.
Spin. La teoria quantistica dimostra che l’elettrone possiede anche un
momento angolare intrinseco, detto di spin (dall’inglese to spin = ruotare).
Classicamente si può immaginare tale momento come derivato dalla rotazione
dell’elettrone su sè stesso (notare che la teoria classica non può prevedere
questo risultato siccome essa assegna all’elettrone una struttura puntiforme
e di conseguenza privo di momenti angolari). Inoltre tale momento è
quantizzato su due soli valori lungo una direzione, poniamo z:
e
me
S = ±
2 ˆ k,
L,

3.8. MECCANISMI MICROSCOPICI 45
dove = h/2π e h è la costante di Planck con valore 6.626 · 10 −34 Js (ha
difatti le dimensioni di un momento angolare). A tale momento angolare si
associa pure un momento magnetico
mS = −gS
dove stavolta il fattore giromagnetico di spin gS vale 1. Il momento magnetico
totale dell’elettrone sarà allora
m = mL + mS = − e
e
me
me
L,
(gL L + gS S).
Infine, in un atomo bisognerebbe considerare anche i momenti (sia orbitali
che di spin) dovuti ai costituenti del nucleo, protoni e neutroni. Si dimostra
però che tali momenti sono molto minori, di tre ordini di grandezza, di quelli
elettronici e possiamo in prima approssimazione ignorarli tranquillamente.
Teoria di Langevin del diamagnetismo
Esaminiamo ora la teoria classica del diamagnetismo, dovuta a Langevin.
Consideriamo quindi una sostanza senza alcun momento magnetico proprio
(come ad esempio avviene invece nelle molecole polari). Consideriamo all’interno
di tale sostanza un elettrone che ruota in senso antiorario intorno a un
nucleo in modo che il piano orbitale sia ortogonale all’asse z di un sistema
di riferimento, ed attiviamo un campo di induzione magnetica B = B ˆ k nella
direzione z positiva. Per il calcolo di tutti i momenti useremo come polo il
centro dell’atomo, fisso nel riferimento prescelto. Per effetto dell’induzione
elettromagnetica (legge di Faraday-Neumann-Lenz) lungo l’orbita elettronica
si creerà un campo elettrico E
C
E · dl = − ∂Φ( B)
.
∂t
In questo caso il campo elettrico sarà costante in modulo e diretto lungo la
tangente all’orbita punto per punto. Avremo dunque
2 dB
2πrEt = −πr
dt ,
dove si è tenuto conto che B è diretto lungo la direzione z positiva. La derivata
è totale in quanto in questo caso B dipende esclusivamente dal tempo.
In particolare, essendo dB/dt > 0 in quanto il campo B viene attivato, si
avrà Et < 0: il campo elettrico sarà diretto nel senso orario. Tale campo

46 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
eserciterà una forza F = −eEt > 0 diretta in senso antiorario sull’elettrone.
Siccome l’elettrone sta percorrendo un’orbita circolare, è utile considerare
il momento di tale forza
τ = rF = −reEt = er2
2
dB
dt .
Un momento di una forza esercita una variazione del momento angolare secondo
il teorema del momento angolare τ = dL/dt (considerando che tali
vettori sono tutti diretti lungo z possiamo usare direttamente i moduli).
Avremo quindi
dL er2 dB
=
dt 2 dt ,
e passiamo dal momento orbitale a quello magnetico mL = −e/(2me)L per
avere
dmL
dt = −e2 r2 dB
4me dt .
Si noti che la variazione nel tempo del momento magnetico è opposta a quella
del campo B, a conferma del diamganetismo. Moltiplicando ambo i membri
della relazione precedente per dt ed integrandoli nell’intervallo di tempo da
0 a t in corrispondenza del quale il campo di induzione passa dal valore nullo
iniziale a quello finale B avremo
t
dmL = −
t=0
e2r2 B
4me 0
Detta ∆mL la corrispondente variazione del momento magnetico orbitale
avremo alfine
∆mL = − e2r2 B < 0.
4me
Passiamo ora a un caso più generale, in quanto sinora abbiamo considerato
un elettrone con un momento orbitale parallelo all’asse z. Rigettiamo
questa ipotesi e supponiamo ora che il piano orbitale sia inclinato, in modo
che il vettore mL formi un angolo θ con il campo B che rimane allineato sulla
direzione z positiva. E’ possibile rifare i calcoli precedenti apportando due
modifiche. 1, il flusso di B va moltiplicato per cos θ in quanto tale è ora l’angolo
formato da B e dalla normale al piano orbitale ˆn. 2, la variazione ∆m
va espressa attraverso la variazione della componente lungo la stessa direzione
di B, ossia quella z e quindi a primo membro della precedente relazione
scriveremo ∆m = ∆m,z/ cos θ. Ricapitolando:
∆mz = − cos 2 θ e2 r 2
dB.
Bz,
4me

3.8. MECCANISMI MICROSCOPICI 47
dove per comodità abbiamo omesso il sottoscritto L nei momenti magnetici.
Ora, noi non conosciamo il valore esatto di r nelle orbite atomiche in
quanto esso varia in genere nel tempo. Ad ogni modo, possiamo usare il
valore medio su un orbita e suppore con buona generalità la simmetria sferica
nella distribuzione degli elettroni intorno all’atomo. Avremo dunque:
e passando ai valori medi:
ossia
r 2 cos 2 θ = (r cos θ) 2 = x 2 + y 2
〈x 2 〉 = 〈y 2 〉 = 1
3 〈r2 〉,
〈x 2 〉 + 〈y 2 〉 = 2
3 〈r2 〉.
Considerando quindi in genere i vettori momento magnetico e induzione magnetica,
sommiamo la relazione precedente con le medie sugli Z elettroni
dell’atomo:
∆ma =
Z
∆mi = − e2
B
6me
i=1
Z
i=1
〈r 2 i 〉 = − Ze2
〈r
6me
2 〉 B,
dove abbiamo definito il valore medio di r 2 sugli Z elettroni atomici 〈r 2 〉 =
1/Z Z
i=1 〈r2 i 〉. Infine, non ci rimane che calcolare il vettore magnetizzazione
ed usare il fatto che nei diamagneti B = µ H ∼ µ0 H siccome essi sono lineari
e si ha κm ∼ 1. Avremo quindi
M = na∆ma = − µ0Ze2na 〈r
6me
2 〉 H,
relazione che, confrontata con la definizione di suscettività magnetica M =
χm H ci restituisce il suo valore
χm = − µ0Ze2na 〈r
6me
2 〉.
La teoria quindi tiene conto del comportamento diamgnetico e della proporzionalità
tra la suscettività e la densità (na), ma i valori numerici forniti
non corrispondono ai dati sperimentali effettivi, anche se corretti come ordine
di grandezza. Ad esempio per il rame la teoria di Langevin prevede
χm = −0.98 · 10 −5 , ma sperimentalmente risulta χm = −28.8 · 10 −5 .

48 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
3.8.2 Paramagnetismo
Abbiamo notato nella sezione precedente che, per tutti i materiali, ogni atomo
darà un contributo al diamagnetismo. Ad ogni modo, esiste una classe di
sostanze in cui atomi o molecole presentano un momento di dipolo magnetico
intrinseco (sostanze polari), poniamo m0, in genere uguale in modulo per tutti
gli atomi o molecole. In tal caso sarà quest’ultimo a dominare le proprietà
magnetiche e il materiale sarà paramagnetico.
A livello microscopico, i vari dipoli magnetici elementari (permanenti)
in assenza di un campo esterno saranno orientati in modo completamente
casuale per effetto dell’agitazione termica. Di conseguenza il momento magnetico
complessivo del materiale sarà nullo. Invece, in presenza di un campo
di induzione B tali momenti subiranno un momento meccanico τ = m0 × B
che tenderà a farli allineare in direzione del campo: difatti in tale configurazione
l’energia magnetica dei dipoli Um = −m0 · B risulta minima. La
termodinamica mostra che uno stato con energia Um a temperatura assoluta
T ha una probabilità data dalla legge di Boltzmann
p = e−βUm
Z ,
dove β = 1/KT con K = 1.381 · 10−23 J/K costante di Boltzmann e Z è la
funzione di partizione, ossia la somma Z =
i exp(−βUmi) su tutti gli stati
i accessibili al sistema (il dipolo in questo caso), ognuno dei quali con energia
Umi. Considerando quindi tutti i possibili stati in cui può trovarsi un singolo
momento magnetico ed estendendo il calcolo a un insieme di na dipoli per
unità di volume, la magnetizzazione risulta essere
M = nam0L(a) = MsatL(a),
dove la magnetizzazione di saturazione Msat = nam0 rappresenta il valore
della magnetizzazione acquistato dal materiale in condizioni di saturazione,
ossia con tutti i dipoli allineati in direzione del campo esterno, mentre L(a)
denota la funzione di Langevin, definita come
laddove l’argomento risulta
L(a) = cotgh a − 1
a = ea + e−a ea − e
a = m0B
KT .
1
− −a a ,
La funzione di Langevin (mostrata in figura 3.1) ha un’interpretazione fisica.

3.8. MECCANISMI MICROSCOPICI 49
L(a)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5
a
Figura 3.1: L’andamento della funzione di Langevin L(a) in termini della
quantità a = m0B/KT . La linea rossa rappresenta il limite per a → 0
L(a) a/3.
Scrivendola come un rapporto
L(a) = M
Msat
indica la frazione di momenti magnetici del materiale allineati al campo
etserno.
Di solito i campi B nel materiale non sono troppo intensi, ossia si è nella
situazione a ≪ 1 a tempreatura ambiente. In tal caso possiamo usare lo
sviluppo in serie di L(a) per a → 0 e si ha
L(a) a a3
− + . . .
3 45
Fermandoci al primo termine dello sviluppo troviamo in termini della magnetizzazione
M = nam 2 0B
3KT ,
laddove, essendo il materiale paramagnetico, possiamo scrivere B = µH =
µ0κmH µ0H essendo κm 1. Avremo in definitiva
M = naµ0m 2 0H
3KT
= χmH,

50 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
ritrovando così la linearità tra i vettori M e H, laddove la suscettività
magnetica vale
χm = naµ0m2 0 Cρ
=
3KT T
che è esattamente la legge di Curie, con ρ = na e C = µ0m 2 0/3K.
3.9 Materiali ferromagnetici
In questa classe di materiali le relazioni tra i campi B, H e M non sono
più lineari, ma nemmeno univoche: l’andamento dei valori dipende anche
dalla storia degli stessi campi nel materiale, fenomeno che abbiamo definito
come isteresi. Ad ogni modo essi sono di grande utilità tecnologica, vale
quindi la pena soffermarsi sul loro studio, seppur qualitativo. Sebbene nei
ferromagneti i campi non siano lineari, nella maggioranza dei casi essi rimangono
paralleli. Possiamo quindi lavorare in termini dei moduli, e definire
alcune grandezze magnetiche, come la suscettività differenziale
χm = ∂M
∂H
e la permeabilità magnetica relativa differenziale
κm = 1
µ0
∂B
∂H ,
ponendo ancora una volta l’accento sul fatto che tali quantità possono essere
non univoche (invece nei materiali lineari esse sono costanti). In particolare,
l’ordine di grandezza di tali quantità è circa 10 3 , per raffronto ricordiamo
che nei materiali lineari (diamagneti e paramagneti) la suscettività è dell’ordine
di 10 −5 e la permeabilità vale circa 1. Le proprietà microscopiche dei
ferromagneti sono complesse e non inquadrabili nell’ambito della fisica classica.
Ci limiteremo qui a notare che esse dipendono in modo critico dalla
composizione chimica, dalla temperatura, e anche dai trattamenti termici
subiti nella loro produzione. Per alcuni materiali si è addirittura osservata
una dipendenza da eventuali sollecitazioni meccaniche esterne.
Curva di isteresi. Per comprendere al meglio le proprietà magnetiche
di un ferromagnete qualitativamente, studiamo la curva che mostra la dipendenza
della magnetizzazione M dal campo H ( o in modo equivalente la
dipendenza di B da H). Tale curva si dice curva di isteresi. Esaminiamo i
punti salienti di tale curva, considerando l’andamento della magnetizzazione
in funzione di H.

3.9. MATERIALI FERROMAGNETICI 51
1. Si parte dallo stato vergine del materiale: tutti i campi all’interno di
esso sono nulli. Esistono infatti delle tecniche per portare a tale stato
un materiale ferromagnetico, vedremo un’esempio nel seguito.
2. Si aumenta il campo H, e corrispondentemente si osserva un aumento
della magnetizzazione decisamente non lineare. La pendenza della
curva (ossia il valore della suscettività differenziale) è molto elevata nei
confronti dei materiali lineari.
3. Oltre un certo valore del campo, detto di saturazione Hs, la magnetizzazione
non cresce più, attestandosi al valore Ms, o almeno cresce
molto lentamente. In tali condizioni essa cresce ulteriormente solo per
effetto della corrente di conduzione che genera il campo H, siccome il
contributo del materiale è saturato.
4. A questo punto si comincia a diminuire il campo H: la magnetizzazione
segue una nuova curva al di sopra della precedente e in particolare si
nota, che, una volta azzerrato il campo, rimane una magnetizzazione
non nulla: essa viene definita magnetizzazione residua. Il materiale
presenta quindi una magnetizzazione permamente anche in assenza di
campo.
5. Per annullare la magnetizzazione bisogna quindi diminuire ulteriormente
il valore del campo, e quindi invertirlo rispetto alla direzione
originaria. Si raggiungerà così tale valore, detto coercitivo.
6. Diminuendo ulteriormente il valore del campo si ripresenta la stessa
condizione di saturazione incontrata precedentemente, ma stavolta
con una magnetizzazione opposta, il fenomeno è quindi completamente
speculare.
7. A tale punto si aumenta di nuovo il campo e la magnetizzazione segue
ancora una nuova curva al di sotto della precedente, con una nuova
magnetizzazione residua opposta alla precedente e un nuovo campo
coercitivo per poi ritornare alla saturazione in direzione positiva. La
curva diventa chiusa e abbiamo così il ciclo di isteresi.
Per le definizioni date precedentemente, è evidente che la curva di isteresi
rappresenta l’equazione di stato magnetica del materiale, ossia una relazione
che lega i valori dei campi all’interno di esso.
Smagnetizzazione. Se si fanno eseguire al materiale cicli di isteresi
sempre più stretti, ossia diminuendo gradualmente i valori dei campi massimi
H, si arriva all’origine, ossia al punto in cui la magnetizzazione è nulla

52 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
in corrispondenza di un campo nulla. Questa è la procedura standard per
smagnetizzare un materiale ferromagnetico.
A seconda della forma del ciclo di isteresi, si possono distinguere due
classi di materiali ferromagnetici:
• Materiali dolci. Essi presentano una curva di isteresi molto stretta.
Sono facili quindi da magnetizzare o smagnetizzare, e presentano
una pendenza della curva pressochè costante lontano dalla saturazione:
sono quindi ideali per la realizzazione di elettromagneti, in quanto
disattivando il campo H la magnetizzazione è pressochè annullata.
• Materiali duri. Essi presentano una curva di isteresi molto larga.
Sono quindi utili per la realizzazione di calamite e magneti permamenti,
dato che hanno una magnetizzazione residua molto alta e pressochè
uguale a quella di saturazione.
In ogni materiale feromagnetico le sue proprietà magnetiche dipendono
dalla temperatura. In particolare, le proprietà ferromagnetiche diventano
meno marcate all’aumentare della temperatura, ed esiste una temperatura
critica TC oltre la quale il materiale smette di essere ferromagnetico e diventa
paramagnetico, seguendo la legge di Curie:
χm = Cρ
.
T − TC
Generalmente le temperature critiche sono dell’ordine di 10 3 K.
3.10 Esercizio campione
Si consideri un filo conduttore rettilineo indefinito, percorso da una corrente
i con densità costante, composto di un materiale magnetico lineare con permeabilità
relativa κm,f di seziore circolare con raggio Rf. Il filo è avvolto in
una guaina di materiale plastico, anche esso lineare agli effetti delle proprietà
magnetiche e con permeabilità relativa κm,g. Inoltre la guaina ha raggio interno
uguale a quello del filo, e raggio esterno Rg > Rf. Risolvere completamente
il problema della magnetostatica nello spazio, ossia determinare i
valori dei campi e delle correnti microscopiche.
• Primo passo: calcolo del campo H non dipendente da correnti microscopiche,
da fare in due stadi. 1) calcolo dentro il filo 2) fuori il
filo.

3.10. ESERCIZIO CAMPIONE 53
• Noto H, si possono facilmente determinare i campi B e M per la
linearità dei materiali.
• Infine, da M si determinano le densità di corrente microscopiche.
• A margine, osservare le discontinuità dei campi alle superfici di separazione
tra diversi mezzi e rilevare come siano soddisfatte le condizioni
di raccordo ricavate nella teoria.

54 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI

Capitolo 4
Onde elettromagnetiche
4.1 Riepilogo
4.1.1 Onde
Cosa è un’onda ? In modo molto qualitativo, essa è la propagazione di una
grandezza fisica nello spazio. Essa può trasportare energia e quantità di
moto.
Equazione di d’Alembert delle onde
ξ = 0 ≡ ∇ 2 − 1
v 2
∂2 ,
∂t2 rappresenta una grandezza fisica ξ che si propaga con velocità v. La grandezza
può essere scalare o vettoriale.
Le onde possono essere trasversali o longitudinali
Onde piane e sferiche. Si dice fronte d’onda il luogo dei punti dove
ξ assume lo stesso valore, fissato t. La relazione ξ = cost a tempo fissato
individua nello spazio una superficie, tali sono quindi i fronti d’onda. Di
conseguenza le onde piane e sferiche hanno come fronti d’onda superfici
piane e sferiche rispettivamente.
L’equazione è lineare: corrispettivo matematico dell’importantissimo
principio fisico di sovrapposizione dei campi.
Risolvono tale equazione le funzioni del tipo
ξ ≡ f(x ∓ vt).
che sono onde progressive o regressive, ossia propagantesi nella direzione delle
x positive o negative, rispettivamente.
55

56 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
Tra le varie funzioni soluzioni dell’equazione di D’Alembert particolare
importanza sono quelle armoniche:
f(x − vt) = sin[k(x − vt)] f(x − vt) = cos[k(x − vt)],
laddove abbiamo introdotto la grandezza k, il numero di onda, per rendere
adimensionale l’argomento delle funzioni seno e coseno. In particolare,
esse sono soluzioni completamente equivalenti per l’equazione delle onde: se
il seno è soluzione, lo sarà anche il coseno dato che differisce dal seno a meno
di un fattore di fase costante non influente nell’equazione delle onde (in cui
sono presenti solo derivate).
Per le onde armoniche definiamo:
• la lunghezza di onda e il numero di onda;
• la pulsazione e la frequenza;
• le corrispettive unità di misura;
• la fase: argomento della funzione seno o coseno;
• λν = v;
• ω = kv;
• k = 2π/λ.
Importanza delle funzioni armoniche in virtù dell’analisi di Fourier: ogni
funzione periodica si può sviluppare in una serie di funzioni armoniche.
4.1.2 Notazione simbolica
Numeri complessi. Sono nella forma z = a + bi con a parte reale e b
coefficiente dell’immaginario. L’unità immaginaria è definita in modo tale
che √ −1 = i. Anche i numeri complessi costituiscono un campo: in essi sono
definite delle operazioni di addizione e moltiplicazione godenti delle stesse
proprietà delle corrispettive in campo reale. Tuttavia il campo complesso
non è ordinato: non è possibile definire in esso una relazione di ordine
completa come quella reale.
Modulo. Dato il numero complesso z = a + ib, il suo modulo sarà:
|z| = √ a 2 + b 2 . In particolare, si dice coniugato di z il numero complesso
¯z = a − ib. Vale l’uguaglianza |z| 2 = z¯z.
Notazione simbolica Siccome l’operatore è lineare, se ξ1 e ξ2 sono
soluzioni dell’equazione delle onde anche ξ = aξ1 + bξ2 lo sarà, pure nel caso

4.2. SPETTRO DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE 57
in cui consideriamo funzioni analitiche nel campo complesso. Se scegliamo
in particolare ξ1 = cos(kx − ωt), a = 1, ξ2 = sin(kx − ωt), b = i e ricordata
la formula di Eulero
e iα = cos α + i sin α,
essendo α un numero reale, allora la soluzione dell’equazione delle onde si
potrà riscrivere secondo il formalismo complesso
ξ = ξ0e i(kx−ωt)
Accennare alla rappresentazione di un numero complesso nel piano di Argand.
La grandezza fisica oscillante può ottenersi poi da quella complessa determinandone,
a seconda del contesto, la sua parte reale (coseno) od immaginaria
(seno).
Perché usare il metodo simbolico ? Più compatto e potente, evita una
mole di calcoli, in particolare nella sovrapposizione di onde.
Esercizio Dimostrare che la funzione complessa definita poco fa soddisfa
l’equazione delle onde.
4.2 Spettro delle onde elettromagnetiche
Costante “intrinseca” di un’onda elettromagnetica è la frequenza, essa non
varia quando l’onda si propaga in diversi materiali, pur cambiando invece la
lunghezza d’onda e la velocità.
• Radioonde Intervallo di frequenze 10 2 < ν < 10 9 Hz. Sono divise
in onde corte, onde medie e lunghe. Prodotte da circuiti oscillanti ed
usate per trasmissioni radiotelevisive.
• Microonde Intervallo di frequenze 10 9 < ν < 3 · 10 11 Hz. Prodotte da
circuiti elettronici o all’interno di fenomeni atomici. Usate per comunicazioni
(Telefonini e reti Wireless) e sistemi radar. Forni a microonde
(ν = 2.4 Ghz).
• Infrarossi Intervallo di frequenze 3 · 10 11 < ν < 3.8 · 10 14 Hz. Estremo,
medio e vicino infrarosso. Prodotti dalla radiazione termica a temperatura
ambiente. Usati per medicina, fotografia, spettroscopia dei livelli
rotazionali e vibrazionali delle molecole.
• Luce visibile Intervallo di frequenze 3.8 · 10 14 < ν < 7.9 · 10 14 Hz. Radiazione
termica ad alta temperatura, scariche elettriche in gas, o processi
coinvolgenti gli elettroni più esterni degli atomi. Inutile specificare
gli usi...

58 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
• Raggi ultravioletti Intervallo di frequenze 7.9 · 10 14 < ν < 5 · 10 17
Hz. Emessi da radiazioni termiche ad altissime temperature e processi
coinvolgenti elettroni un pò più interni degli atomi. Sono anche prodotti
da frenamento di particelle cariche. Prodotti dal sole e responsabili
dell’abbronzatura (melanina).
• Raggi X Intervallo di frequenze 5 · 10 17 < ν < 5 · 10 19 Hz. Prodotti
da frenamento di particelle cariche e da eccitazione degli elettroni più
interni degli atomi. Usati per medicina e cristallografia.
• Raggi gamma Intervallo di frequenze 5 · 10 19 < ν Hz. Nascono da
processi nucleari e subparticellari. Usati per terapie antitumorali.
La radiazione elettromagnetica secondo la teoria quantistica ha una doppia
natura, sia di onde che corpuscolare. I quanti del campo elettromagnetico
sono detti fotoni. Il carattere quantistico della radiazione e di conseguenza
la sua natura corpuscolare, aumenta con la sua energia e quindi con la sua
frequenza in quanto un fotone di frequenza ν possiede un’energia E = hν
con h la costante di Planck. In pratica, solo con la luce visibile si comincia
a notare l’aspetto corpuscolare ad esempio nell’effetto fotoelettrico. A
frequenze inferiori tale energia è troppo bassa, mentre a frequenze superiori
l’aspetto corpuscolare diventa man mano predominante, fino al caso limite
dei raggi gamma, dove esso è praticamente l’unico rilevabile in virtù della
loro cortissima lunghezza d’onda.
4.3 Polarizzazione
Riguarda le onde trasversali, la esamineremo quindi nel caso specifico delle
onde elettromagnetiche. In esse, sia k il vettore numero di onda, il cui modulo
equivale al numero di onda definito prima e avente come direzione quella di
propagazione della stessa onda. Quindi, essendo l’onda trasversale, in ogni
momento i campi E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione, k.
Inoltre E e B sono ortogonali tra di loro e vale la relazione E × B = EB k/k.
Quindi, in un’onda, noti la direzione di propagazione e il campo elettrico,
il campo di induzione magnetica rimane determinato. Da ora in poi quindi
considereremo soltanto il campo elettrico in un’onda.
• L’estremo libero del vettore campo elettrico E descriverà quindi una
traiettoria sul piano ortogonale alla direzione di propagazione. Si presentano
due casi. Nel primo, tale traiettoria è completamente casuale;
nel secondo invece essa segue una legge precisa. Diremo che l’onda non
od è polarizzata rispettivamente.

4.3. POLARIZZAZIONE 59
• Potremo scrivere in tutta generalità, per un’onda armonica propagantesi
nella direzione z positiva E = Ex î + Ey ˆj dove
Ex = Ex0 sin(kz − ωt)
Ey = Ey0 sin(kz − ωt + δ)
dove δ rappresenta uno sfasamento tra le due componenti armoniche.
Consideriamo il caso in cui essa sia costante nel tempo (in genere può
variare in modo più o meno regolare nel tempo, conducendo a casi
più complessi di polarizzazione) ed esaminiamo alcuni casi interessanti
nell’intervallo di periodicità δ ∈ [0, 2π).
– δ = 0, π. In tal caso avremo
Ex = Ex0 sin(kz − ωt)
Ey = ±Ey0 sin(kz − ωt),
le componenti dell’onda sono in fase. L’estremo libero del campo
elettrico descriverà quindi un segmento di retta di lunghezza E0 =
E 2 x0 + E 2 y0. In particolare è costante la quantità
tan φ = Ey
Ex
= ± Ey0
,
Ex0
dove φ rappresenta l’angolo che la suddetta retta forma con l’asse
delle x. Si dice che l’onda presenta una polarizzazione rettilinea, e
la direzione su cui oscilla il campo elettrico si definisce direzione
di polarizzazione.
– δ = π/2, 3π/2. In tal caso avremo
Ex = Ex0 sin(kz − ωt)
Ey = ±Ey0 cos(kz − ωt),
le componenti dell’onda sono sfasate in quadratura. Quadrando
le due equazioni si ha
Ex
Ex0
+ Ey
Ey0
= 1.
L’estremo libero del campo elettrico descriverà quindi un’ellisse i
cui assi coincidono con quelli coordinati, di lunghezze Ex0 e Ey0.
Il periodo di rotazione risulta T = 2π/ω, e il verso di rotazione

60 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
risulta (guardando il piano xy dall’alto, ossia da z positivo) orario
od antiorario rispettivamente. Si dice che l’onda presenta una
polarizzazione ellittica. Nel caso particolare in cui sia anche Ex0 =
Ey0 l’ellisse diventa una circonferenza e l’onda si dirà polarizzata
circolarmente.
– δ = 0, π/2, π, 3π/2. In questo caso l’onda è ancora polarizzata
ellitticamente, ma gli assi dell’ellisse non coincidono con quelli
coordinati. Si dimostra che l’asse maggiore dell’ellisse forma con
l’asse x un angolo β/2 dove β è dato dalla relazione
tan β = 2Ex0Ey0
E2 x0 − E2 cos δ.
y0
Accenno alle lenti polarizzanti negli occhiali da sole, usati per ridurre
il riverbero della luce solare riflessa, dato che essa non è polarizzata, e che il
nostro occhio non è in grado di discernere la polarizzazione.
4.3.1 Esercizio
4.4 Le equazioni di Maxwell in presenza di
mezzi materiali
Riepiloghiamo le equazioni di Maxwell nel vuoto.
1.
2.
3.
4.
div E = ρ
ɛ0
div B = 0
rot E = − ∂ B
∂t
rot B = µ0 ∂
J + µ0ɛ0
E
∂t
Come cambiano queste equazioni nei mezzi materiali ? In sostanza dobbiamo
riformulare i discorsi fin qui svolti per dielettrici e mezzi magnetici, ma con
campi variabili nel tempo. Esaminiamo una per una le equazioni.

4.4. LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN PRESENZA DI MEZZI MATERIALI61
1. Questa nel caso dei mezzi dielettrici diventa
div D = ρ,
si dimostra che tale relazione rimane valida anche se D e ρ dipendono
dal tempo sotto ampi limiti.
2. Tale equazione, insieme alla successiva
3. non contengono le sorgenti, essendo espressione unicamente di proprietà
dei campi microscopici B e E. Esse quindi sono valide anche nei mezzi
materiali senza alcuna modifica.
4. Questa è la più complessa. Assumendo valida la dipendenza dal tempo
delle quantità in essa contenute, possiamo tenere conto dei mezzi
magnetici e delle relative correnti amperiane definendo il vettore H.
Avremo quindi
rot H = ∂
J + ɛ0
E
∂t .
Tale equazione non è però corretta in quanto, calcolando la divergenza
di ambo i membri, si trova
0 = div rot H = div ∂
J + ɛ0
∂t div E.
La divergenza di J è pari per l’equazione di continuità a ∂ρL/∂t, ossia
la corrente di conduzione è dovuta al moto di cariche libere, la seconda
invece per la prima equazione di Maxwell è pari alla somma della
densità di carica libere e di polarizzazione a meno della costante ɛ0.
Avremo quindi
div ∂
J + ɛ0
∂t div E = − ∂ρL
∂t
+ ∂ρL
∂t
+ ∂ρP
∂t
= ∂ρP
∂t
= 0.
Il problema evidentemente si supera se al posto di E includiamo un
vettore la cui divergenza, anche nei mezzi materiali, è pari alla sola
densità di cariche libere. Questo vettore esiste ed è proprio D. In
definitiva, la quarta equazione di Maxwell si riscrive
rot H = J + ∂ D
∂t .

62 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
Queste quattro equazioni, insieme alle relazioni tra i vettori dell’elettromagnetismo
nei mezzi materiali
e
D = ɛ0 E + P
B = µ0( H + M),
corredate dalle equazioni di stato del mezzo dielettrico e magnetico, risolvono
il problema dell’elettromagnetismo generale in presenza di mezzi materiali.
Anche da esse si può desumere, come nel caso del vuoto, la propagazione
di onde, ma i calcoli sono più complessi, in particolare per quei materiali
per cui la dipendenza tra i campi non è lineare.
4.4.1 Onde nei mezzi lineari
Nel caso invece di mezzi lineari, è facile desumere la propagazione di onde
all’interno di essi. Supponiamo quindi di avere un mezzo in cui non vi siano
cariche libere e correnti di conduzione. Tenuto conto che per i mezzi lineari
valgono le relazioni D = ɛ E e B = µ H le quattro equazioni diventano
e
div E = 0,
div B = 0,
rot E = − ∂ B
∂t ,
rot B = µɛ ∂ E
∂t ,
identiche a quelle nel vuoto a parte la sostituzione di ɛ0 e µ0 con ɛ e µ. Esse
quindi ammetteranno come soluzione la propagazione di onde elettromagne-

4.5. ONDE NEI DIELETTRICI 63
tiche 1 con una velocità
v = 1
√ =
ɛµ 1 1
√ √
κκm ɛ0µ0
c
√ κ = c
n ,
dove si è tenuto conto del fatto che i materiali magnetici lineari sono quasi
tutti diamagnetici o paramagnetici per i quali si ha κm 1 e definito l’indice
di rifrazione assoluto del materiale n = √ κ. Dato che nei materiali, a parte
il vuoto, è sempre κ > 1, si ha quindi v < c: l’onda in un materiale lineare è
sempre più lenta che non nel vuoto.
4.5 Onde nei dielettrici
4.5.1 Riepilogo
Siccome nei dielettrici lineari vale la κ = 1 + χ, possiamo scrivere
n = 1 + χ,
che, nel caso di un gas monoatomico, dove χ = naαe, diventa
n = √ 1 + naαe.
Ma il discorso sin qui svolto presenta un errore di fondo: il valore della polarizzabilità
elettronica αe = 4πR 3 è stato desunto per un campo elettrostatico,
qui invece abbiamo il campo variabile nel tempo dell’onda che si propaga nel
dielettrico.
4.5.2 Polarizzazione elettronica per campi variabili nel
tempo
Consideriamo il caso semplice di un atomo di idrogeno (Z = 1). Applicando
il campo elettrico E l’atomo si polarizza, in quanto il centro della nube
1 Ad esempio, calcolando il rotore di ambo i membri della terza equazione si ha
rot E = grad div E − ∇ 2 E = − ∂
∂t rot B.
Tenuto conto che div E = 0 ed inserendo nel secondo membro la quarta equazione si ha
∇ 2 E ∂
− ɛµ 2E = 0,
∂t2 che è l’equazione di d’Alembert di un’onda con velocità v 2 = 1/ɛµ. Allo stesso modo
si ottiene per il campo B un’equazione di d’Alambert con la stessa velocità inserendo il
rotore della quarta nella terza.

64 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
elettronica (carica negativa) non coincide più con il nucleo (carica positiva).
La densità di carica della nuvola elettronica sarà
ρ− = 3e
.
4πR3 Poniamo che i due centri siano allineati sull’asse z, e che il nucleo sia nell’origine
del riferimento, e il centro della nuvola si trovi alla coordinata positiva
z. Il nucleo risentirà del campo elettrico della nube elettronica, modellata
come una distribuzione uniforme di carica, dato da
E= − ρ−z
,
3ɛ0
laddove il segno - tiene conto del fatto che il campo visto dal nucleo deve
essere diretto verso il centro della carica negativa (verso la direzione positiva
dell’asse delle z) e del fatto che ρ− ha già segno negativo. Tale campo
eserciterà sul nucleo una forza
e
F−→+ = eE=
2z ,
4πɛ0R3 uguale ed opposta a quella esercitata dal nucleo sulla nuvola elettronica
F+→− = −F−→+ = − e2z .
4πɛ0R3 Quindi l’elettrone sull’asse z avrà un moto regolato dalla legge
d
F = me
2z dt2 = − e2z 4πɛ0R3 analoga all’equazione di un oscillatore armonico z ′′ + ω 2 0z = 0 con pulsazione
ω 2 0 =
e2 .
4πɛ0meR3 Una carica in moto oscillatorio è accelerata. La teoria classica prevede che
una carica in moto accelerato emetta una radiazione elettromagnetica di
frequenza pari a quella del corrispettivo moto armonico. Per valori tipici
dell’atomo di idrogeno si ha R 10 −10 m e me 10 −30 kg, il che porta a
una stima di ν0 = ω0/2π 10 15 Hz, nella zona ultravioletta della radiazione
elettromagnetica. Moti vibrazionali si presentano anche nelle molecole, dove
le masse oscillanti sono maggiori di quelle elettroniche di un fattore 10 4 . Ciò
conduce a una stima per la frequenza della radiazione emessa di circa 10 12
Hz (lontano infrarosso).

4.5. ONDE NEI DIELETTRICI 65
4.5.3 Teoria microscopica
• Questione di energia. Se l’elettrone accelera nel moto di oscillazione,
esso emetterà onde elettromagnetiche. Ma per irradiarle, esso
consuma energia a spese di quella meccanica, smorzando così il suo
moto. Inoltre ci saranno perdite di energia dovute anche ad urti con
altri elettroni ed atomi circostanti. Descriveremo tutti questi effetti in
modo fenomenologico tramite una forza viscosa
Fvis = −meγ dz
dt
dato che lo smorzamento è proporzionale alla velocità dell’elettrone e
γ un’opportuna costante che riassume tutti gli effetti succitati.
• Arriva l’onda sull’elettrone. Se il nostro elettrone nell’atomo di
idrogeno è investito da un’onda elettromagnetica, esso subirà una forza
dovuta al campo elettrico di tale onda. Consideriamo il caso semplice
di un’onda piana armonica propagantesi lungo l’asse x positivo e
polarizzata sulla direzione z in notazione simbolica
Ez = E0e i(kx−ωt)
dove si presti attenzione al fatto che la pulsazione ω dell’onda non coincide
con quella propria ω0 del moto oscillatorio dell’elettrone intorno al
nucleo. La forza subita dall’elettrone sarà allora
Fem = −eEz = −eE0e i(kx−ωt)
• Campo magnetico. Qualcuno si chiederà ora: in un’onda e.m. esiste
anche il campo B, che dovrebbe esercitare sull’elettrone in moto la
forza di Lorentz. Questo è vero, ma in un’onda il modulo del campo
magnetico B = E/v = nE/c è molto minore di quello del campo
elettrico e i suoi effetti sono dunque trascurabili.
• Diamoci una mossa. Possiamo quindi riformulare l’equazione del
moto dell’elettrone sulla direzione z includendo le diverse forze sin qui
considerate, ossia quella di richiamo armonica Far = −meω 2 z, quella
viscosa e quella elettromagnetica:
d
me
2z dt2 = Far + Fvis + Fem = −meω 2 0z − meγ dz
dt − eE0e −iωt ,
dove abbiamo scelto il riferimento lungo l’asse x di propagazione dell’onda
in modo che l’atomo si trovi nella posizione x = 0. Eseguendo

66 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
tale approssimazione si ammette che il campo elettrico dell’onda incidente
non vari molto su scala atomica, in modo da considerarlo costante
all’interno dell’atomo. Deve essere quindi λ R 10 −10 m,
il che equivale a frequenze nel vuoto minori di 10 18 Hz, ossia fino ai
raggi ultravioletti. Per lunghezze d’onda minori è richiesta invece una
trattazione quantistica, che esula dai limiti del presente corso.
• Soluzione. Riscriviamo l’equazione del moto dell’elettrone in forma
compatta
z ′′ = −γz ′ − ω 2 0z − eE0
me
e −iωt ,
e cerchiamo soluzioni del tipo z(t) = z0 exp(−iωt). Avremo immediatamente
z ′ = −iωz(t) e z ′′ (t) = −ω 2 z(t) e sostituendo nell’espressione
precedente si ha, eliminando il fattore exp(−iωt)
che risolta rispetto a z0, dà
−ω 2 z0 = iωγz0 − ω 2 0z0 − eE0
z0 = −
eE0
me
me(ω 2 0 − iωγ − ω 2 ) .
Riscrivendo in termini delle quantità z(t) ed Ez (semplicemente moltiplicando
l’ultima equazione per exp(−iωt) si ha
z(t) = −
e
me(ω 2 0 − iωγ − ω 2 ) Ez(t).
• Polarizzabilità elettronica. L’atomo ora presenterà un momento di
dipolo pa = −ez, laddove il segno - tiene conto del fatto che per andare
dall’elettrone nel nucleo nel riferimento prescelto devo percorrere l’asse
z in direzione negativa. Potremo quindi scrivere
pa = −ez(t) =
e 2
me(ω 2 0 − iωγ − ω 2 ) Ez(t). = ɛ0α(ω)Ez(t),
dove abbiamo definito la nuova polarizzabilità elettronica
α(ω) =
e 2
ɛ0me(ω 2 0 − iωγ − ω 2 ) .
Doverose sono ora alcune considerazioni.
,

4.5. ONDE NEI DIELETTRICI 67
– La polarizzabilità è ora un numero complesso. Questo implica
che esiste uno sfasamento tra l’oscillazione del dipolo atomico pa
e il campo elettrico Ez(t). Far vedere come sia evidente questo
sfasamento dalla forma polare di un numero complesso.
– Nel limite ω → 0 la polarizzabilità si riduce a quella statica αe =
4πR 3 .
• Polarizzazione di un gas. Passando ora da un solo atomo a na
atomi per unità di volume in un gas rarefatto ed usando il formalismo
vettoriale per un mezzo isotropo (siccome la scelta della direzione è alla
fine ininfluente) avremo quindi
P = napa = naɛ0α(ω) E = ɛ0χ E
da cui troviamo per la suscettività elettrica
χ(ω) = naα(ω) =
nae 2
ɛ0me(ω 2 0 − iωγ − ω 2 ) .
Ne consegue che anche la suscettività diventa una funzione complessa
della frequenza ω dell’onda incidente.
• Sfasamento. Proviamo ora a separare parte reale ed immaginaria
nella suscettività. Avremo, a parte il fattore reale nae 2 /(ɛ0me)
1
ω2 0 − ω2 − iωγ = ω2 0 − ω2 + iωγ
(ω2 0 − ω2 ) 2 + ω2 ,
γ2 per cui la suscettività reale ed immaginaria sono rispettivamente:
ℜ[χ(ω)] =
ℑ[χ(ω)] =
nae 2
ɛ0me
nae 2
ɛ0me
ω 2 0 − ω 2
(ω 2 0 − ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2
ωγ
(ω2 0 − ω2 ) 2 + ω2 .
γ2 Passiamo poi alla forma polare della suscettività χ(ω) = |χ(ω)| exp(iδ)
dove si ha
e
|χ(ω)| = ℜ[χ(ω)] + ℑ[χ(ω)] =
tan δ = ℑ[χ(ω)]
ℜ[χ(ω)]
nae 2
ɛ0me
1
(ω 2 0 − ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2
γω
=
ω2 .
0 − ω2 Considerazioni: Tipicamente nei materiali vari γ è dello stesso ordine
di ω0. Avremo due casi limite per lo sfasamento in termini di ω ed ω0:

68 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
– ω ≪ ω0, basse frequenze. In tal caso si ha
tan δ = γω
ω 2 0
≪ 1 δ 0,
lo sfasamento risulta quindi trascurabile;
– ω = ω0, risonanza. In tal caso si ha
tan δ → ∞ δ π
2 ,
lo sfasamento risulta massimo e l’ampiezza di oscillazione della
polarizzazione risulta massima (così come il modulo della suscettività):
l’onda sta trasferendo la massima quantità di energia
all’elettrone.
• Indice di rifrazione complesso. Una volta nota la suscettività
in termini di quantità microscopiche possiamo determinare l’indice di
rifrazione tramite la relazione
n(ω) = 1 + χ(ω),
dalla quale si desume, che essendo χ complesso e funzione di ω, tale
lo sarà anche l’indice di rifrazione n. Sarebbe utile quindi determinare
parte reale ed immaginaria di n, come fatto per la suscettività. La
presenza della radice quadrata rende tale separazione piuttosto complicata,
ma possiamo usare il fatto che nei gas la suscettività è molto
minore di 1 (in modulo, è dell’ordine di circa 10 −5 ) ed usare la formula
di approssimazione del binomio di Newton
(1 + x) α 1 + αx x → 0,
valida anche nel dominio complesso (in tal caso si richiede che sia il
modulo di x ad essere molto minore di 1). Nel nostro caso α = 1/2 ed
avremo
n(ω) = 1 + χ(ω) 1 + 1
2 χ(ω).
Il calcolo di parti reali ed immaginarie diventa così immediato, ricordando
le analoghe espressioni determinate perecedentemente per la
suscettività:
2 nae
nR(ω) = ℜ[n(ω)] = 1 + ℜ[χ(ω)] = 1 +
2ɛ0me
nI(ω) = ℑ[n(ω)] = ℑ[χ(ω)] =
nae 2
2ɛ0me
ω2 0 − ω2 (ω2 0 − ω2 ) 2 + ω2 ,
γ2 ωγ
(ω2 0 − ω2 ) 2 + ω2 .
γ2

4.5. ONDE NEI DIELETTRICI 69
• Indice di rifrazione complesso: significato fisico. Per capire il
significato fisico di un’indice di rifrazione complesso, fino ad ora inteso a
livello puramente matematico, riconsideriamo l’onda incidente sul gas,
armonica piana propagantesi lungo la direzione x positiva e polarizzata
linearmente lungo l’asse z:
Ez = E0e i(kx−ωt) .
Consideriamo ora la fase dell’onda ed eseguiamo una serie di passaggi,
ricordando che ω = kv, n = c/v e di scrivere l’indice di rifrazione come
una quantità complessa n = nR + inI. Avremo
k
x
i(kx − ωt) = iω x − t = iω − t = iω n
ω v x
− t =
c
iω (nR + inI) x
c
− t = iω
1
iω x − t −
ve
nIωx
c
nR
c
ω
= i x − ωt
ve
i(kex − ωt) − nIωx
,
c
x − t − nIωx
c =
− nIωx
c =
dove abbiamo definito una velocità effettiva ve(ω) = c/nR(ω) e il relativo
numero d’onda effettivo ke(ω) = ω/ve(ω) = nR(ω)ω/c. Riscriviamo
l’espressione dell’onda in termini della fase riformulata:
Ez = e i(kex−ωt)
1
E0e − nI ωx
c
2
• Dispersione. Nell’ultima espressione il termine 1 rappresenta un’onda
che si propaga nel dielettrico con una velocità ve(ω) dipendente dalla
pulsazione e quindi dalla frequenza della onda incidente. Questo
fenomeno, ossia la dipendenza della velocità dell’onda dalla frequenza,
viene detto dispersione e il mezzo viene definito dispersivo. Il significato
fisico è chiaro: nel vuoto un pacchetto d’onda, dato dalla sovrapposizione
di onde a diversa frequenza ω, rimane “concentrato” in quanto esse
si propagano con la stessa velocità c; invece nel dielettrico le componenti
acquisteranno diverse velocità ve(ω) e il pacchetto si “disperde”.
Si noti che anche il numero d’onda ke(ω) e quindi anche la lunghezza
d’onda λe(ω) = 2π/ke(ω) dipendono dalla frequenza in un mezzo
dispersivo.
.

70 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
• Assorbimento. Nell’ultima espressione invece il termine 2 rappresenta
un campo elettrico che si riduce esponenzialmente, ossia si smorza
all’interno del mezzo, appena la parte immaginaria dell’indice di rifrazione
diventa diversa da zero, cosa che invece non accade nel vuoto.
L’interpretazione fisica dell’assorbimento è immediata: l’onda trasferisce
energia agli elettroni degli atomi a spese della propria e si attenua.
E’ noto che in un’onda la sua energia è legata all’intensità, proporzionale
al quadrato del campo elettrico (o al modulo quadro in notazione
complessa). Ci aspettiamo quindi nel materiale in funzione dello
spessore x un’attenuazione dell’intensità del tipo
I = I0e −βx .
Recuperiamo ora l’ultima equazione dell’onda e determiniamo il modulo
quadro di ambo i membri. Avremo
|Ez| 2 = E 2 0e − 2n I ω
c x ,
avendo ricordato che un numero complesso del tipo exp(iα) ha modulo
pari a uno. Difatti | exp(iα)| 2 = exp(iα) · exp(−iα) = 1 2 . Inoltre
|E0| = E0 dato che E0 è una quantità reale. Siccome vale I ∝ |E| 2 , dal
confronto delle ultime due relazioni ricaviamo β(ω) = 2nI(ω)ω
. Il termine
c
β viene definito coefficiente di assorbimento e il suo inverso (avente le
dimensioni di una lunghezza) lass(ω) = 1/β(ω) = c/2nI(ω)ω lunghezza
di assorbimento. Essa rappresenta il percorso che l’onda compie nel
dielettrico in corrispondenza dal quale la sua intensità si riduce a un
valore √ e−1 di quello iniziale, ossia al 61% circa.
• Validità generale. Il significato fisico di un’ indice di rifrazione complesso
è valido a prescindere dalla natura del materiale in cui l’onda
si propaga: non solo quindi nei dielettrici, oggetto del presente studio,
ma anche nei conduttori, che saranno trattati prossimamente.
• Dispersione nei dielettrici. In un dielettrico (gassoso monoatomico,
per essere precisi, ma qualitativamente la discussione è valida in genere
anche per gli altri mezzi dielettrici) la velocità di un onda dipende
2 Il complesso coniugato di exp(iα) è proprio exp(−iα). Dalla formula di Eulero:
e iα = cos α + i sin α = cos α − i sin α = e −iα .

4.5. ONDE NEI DIELETTRICI 71
dalla sua frequenza ve(ω) = c/nR(ω) dove la parte reale dell’indice di
rifrazione è
2 nae ω
nR(ω) = 1 +
2ɛ0me
2 0 − ω2 (ω2 0 − ω2 ) 2 + ω2 ,
γ2 che nel limite statico (ω = 0) si riduce a
nR(0) = 1 +
2 nae
= 1 + 1
2 naαe(0)
1 + 1
2 naαe(0) =
2ɛ0meω 2 0
= 1 + χ(0) = κ(0),
dove abbiamo usato il passaggio inverso del binomio di Newton. In tale
limite nR si riduce al suo valore statico (maggiore di uno, come noto),
mentre ad altissime frequenze è immediato notare che nR(ω) → 0, il che
porterebbe a una velocità infinita dell’onda nel mezzo, un assurdo, ma
in tal caso la trattazione classica non è più valida, come asserito precedentemente.
Possiamo rappresentare l’andamento di nR(ω)/nR(0) in
funzione di ω/ω0 per diversi valori rappresentativi di γ/ω0 = 0, 0.15, 0.5
(il primo caso rappresenta un atomo ideale in cui non vi è smorzamento
del moto elettronico, ma privo di significato fisico) in quanto nei sistemi
reali si osserva che γ è dell’ordine di ω0, anche se più piccolo in termini
di valore.
n R (ω)/n R (0)
10
5
0
-5
0
0.15
0.5
-10
0 0.5 1 1.5 2
ω/ω
0
Figura 4.1: L’indice di rifrazione reale nR(ω), normalizzato al valore statico
nR(0) in funzione della pulsazione dell’onda incidente ω/ω0 per diversi valori
dello smorzamento γ/ω0 = 0 (nero), 0.15 (rosso) e 0.5 (blu). Si ricorda che
per un atomo di idrogeno la teoria classica prevede ω0 10 17 rad/s.

72 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
β/β MAX
1
0.8
0.6
0.4
0.2
~0
0.15
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2
ω/ω
0
Figura 4.2: Il coefficiente di assorbimento β(ω/ω0), normalizzato al valore
massimo βMAX = β(1) in funzione della pulsazione dell’onda incidente ω/ω0
per diversi valori dello smorzamento γ/ω0 = 0 (nero), 0.15 (rosso) e 0.5 (blu).
Si ricorda che per un atomo di idrogeno la teoria classica prevede ω0 10 17
rad/s.
• Considerazioni sulla dispersione. Esaminando la figura 4.1 si nota
che, a parte la regione ω ω0, il valore di γ non influisce molto sull’andamento
della parte reale dell’indice di rifrazione, ossia sulle proprietà
dispersive del dielettrico. In genere, a parte la regione succitata, nR
cresce con ω, condizione questa definita di dispersione normale. Invece
per ω ω0 si osserva, quando γ > 0, l’andamento opposto, regione
questa definita quindi di dispersione anomala. In particolare, in questa
regione nR < 1 e di conseguenza risulta v = c/nR > c: l’onda si propagherebbe
nel mezzo con una velocità superiore a quella della luce ! Il
paradosso viene superato ricordando che la velocità qui considerata è
quella di fase, coincidente con quella reale (di gruppo) esclusivamente
per un’onda infinitamente estesa piana monocromatica, che è in effetti
un’astrazione matematica, concordemente con il fatto che nessun segnale
fisico può propagarsi a velocità superiore a quella della luce nel
vuoto.
• Considerazioni sull’assorbimento. Nella figura 4.2 andiamo invece
ad esaminare la dipendenza dell’assorbimento, precisamente del relativo
coefficiente β in termini della frequenza ω dell’onda incidente sul dielettrico.
Si nota che il massimo dell’assorbimento βMAX = nae 2 /γmeɛ0c
si ha sempre in corrispondenza di ω = ω0: risultato naturale, dato che

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 73
in condizioni di risonanza l’onda trasferisce la massima energia all’elettrone
atomico venendo così maggiormente assorbita (o compiendo il
minimo percorso di assorbimento). Se si definiscono i valori ω1 e ω2
ai lati del massimo in corrispondenza dei quali l’assorbimento si riduce
a metà del valore massimo si verifica che questa finestra di massimo
assorbimento ha uno spessore ∆ω = ω2 − ω1 = γ 3 , ossia uguale allo
stesso coefficiente di smorzamento. Nei vari materiali γ/ω0 ≪ 1 e la
finestra diventa abbastanza stretta, e di conseguenza essi sono in grado
di assorbire selettivamente una ristretta regione dello spettro elettromagnetico:
questo fenomeno spiega il colore degli oggetti. Ad esempio
un dielettrico che ha la frequenza ω0 corrispondente al rosso, quando
investito da luce bianca, assorbirà tale componente lasciando passare le
altre: la luce risultante avrà tutte le componenti meno quella rossa e ci
apparirà del colore complementare, ossia celeste (difatti, se riflettesse
tutta la radiazione ci apparirebbe bianco). Per i metalli il discorso è
diverso, come vedremo nello studio delle onde nei conduttori.
4.5.4 Esercizio
Un’onda elettromagnetica piana di lunghezza d’onda λ0 = 3 mm propagantesi
nel vuoto incide su una lastra di vetro piana avente indice di rifrazione
n = 1.5 + i0.2. Valutare la velocità, la lunghezza d’onda, la frequenza e la
lunghezza di assorbimento dell’onda nel vetro.
Soluzione Prima di tutto l’onda ha frequenza ν = c/λ0 = 10 11 Hz, che
rimane la stessa sia nel vuoto che nel vetro. Invece la velocità dell’onda nel
vetro sarà data dalla relazione v = c/nR = 2 · 10 8 m/s, dove nR = 1.5 è la
parte reale dell’indice di rifrazione. Per la lunghezza d’onda nel vetro usiamo
la relazione λν = v, dove λ e v sono lunghezza e velocità nel vetro. Ricordato
che nel vuoto λ0ν = c e che v = c/nR, avremo alla fine λ = λ0/nR = 2 mm.
Infine la lunghezza di assorbimento sarà lass = c/(2ωnI) = c/(4πνnI) =
7.96 · 10 −4 m, essendo nI = 0.2 il coefficiente dell’immaginario dell’indice di
rifrazione.
4.6 Onde nei conduttori
4.6.1 Teoria di Drude
La teoria classica della conduzione nei metalli è dovuta a Drude. Adottando
un modello di elettroni liberi all’interno del solido, l’unica interazione per essi
3 Si provi ad eseguire questo calcolo come esercitazione.

74 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
sono gli urti con altri elettroni o con gli ioni del reticolo cristallino. In assenza
di campo elettrico (o magnetico) esterno, la velocità media dell’elettrone
dopo un gran numero di urti sarà nulla in quanto completamente casuali e
scorrelati: l’ipotesi di base è l’assenza di effetti di memoria, ossia l’elettrone
“dimentica” la dinamica precedente dopo un urto. In tal modo non ci saranno
correnti di conduzione nel metallo. Definito il cammino libero medio l come
il percorso medio compiuto dall’elettrone tra un urto e il successivo, e il
corrispettivo tempo libero medio τ, vale ovviamente la relazione l = vτ, dove
v 10 6 m/s è la velocità media degli elettroni nel solido. Tale velocità
viene fornita dalla teoria quantistica (viene detta di Fermi), in quanto quella
classica è incapace di fornire una stima corretta di essa. Valori tipici per i
metalli sono l 10 −8 m e τ 10 −14 s.
Quando viene applicato un campo elettrico statico E, gli elettroni tra un
urto e il successivo risentono della sua influenza e piegano le traiettorie in
direzione di esso. Nel risulta che acquistano una velocità di deriva proporzionale
al campo vd = −(eτ/me) E. Non si confonda la velocità di deriva
(dell’ordine di cm al secondo) con quella media dell’elettrone. La prima è
legata al moto effettivo acquistato in virtù del campo, la seconda è legata al
moto casuale tra un urto e il successivo. Dimostriamo che in un conduttore
la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico E. A tal scopo, con-
sideriamo un urto di un elettrone, poniamo l’i-esimo, e definiamo v p
i e vd i le
velocità che l’elettrone possiede prima e dopo l’urto, rispettivamente. In as-
senza di campo elettrico la velocità prima dell’urto i+1-iesimo è ovviamente
uguale a quella dopo l’urto i-esimo: v p
i+1 = vd i . In presenza del campo invece
il moto tra i due urti diventa uniformemente accelerato con accelerazione
a = F /me = −e E/me. La relazione tra le due velocità considerate prima
diventa pertanto
v p
i+1 = vd i − eτ
in quanto il tempo tra due urti successivi per definizione è proprio τ. La
velocità di deriva sarà quella media acquistata dopo un gran numero di urti.
Avremo quindi, per un numero N grande di urti (in modo tale che l’intervallo
di tempo in cui essi si verificano sia molto maggiore di τ)
vd = 1
N
N
i=1
v p 1
i+1 =
N
N
i=1
me
v d i − 1
N
E,
N
i=1
eτ
me
E = − eτ
laddove il termine N
i=1 vd i è nullo siccome la velocità subito dopo gli urti
è completamente casuale (l’elettrone si è scordato della dinamica precedente),
mentre la media delle velocità prima degli urti è non nulla poichè le
traiettorie saranno state influenzate dal campo elettrico.
me
E,

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 75
In virtù di una velocità di deriva nascerà nel metallo una corrente con
densità J = −neevd = nee 2 τ/me E, che possiamo riscrivere nella forma J =
σ0 E, dove σ0 = nee 2 τ/me viene definita conducibilità statica del metallo. ne
è il numero di elettroni per unità di volume, che per un metallo è dell’ordine
di 10 28 elettroni per metro cubo. Si ricava così per σ0, misurata in (Ohm
per metro) −1 una stima di 10 7 . In particolare la relazione J = σ0 E viene
definita legge di Ohm microscopica e sancisce in un conduttore la linearità
tra densità di corrente e campo applicato 4 , analoga a quella tra polarizzazione
e campo elettrico nei dielettrici lineari. La legge di Ohm microscopica è
la relazione costitutiva dei conduttori, ossia un’equazione di stato tra le
sue grandezze elettriche, laddove la costante σ0 dipende esclusivamente da
parametri strutturali del conduttore, ma non dai campi ad esso applicati.
Si dimostra che la legge di Ohm microscopica è valida anche nel caso
di campi variabili nel tempo. La condizione di base è che il campo E non
vari “troppo” tra un urto e il successivo. In termini matematici, questo
equivale alla condizione ωτ ≪ 1, dove ω è la pulsazione del campo elettrico
di un’onda incidente sul conduttore. Si ricava che la corrispondente frequenza
deve soddisfare la relazione ν ≪ 10 13 Hz, ossia fino all’infrarosso. Si dice che
ci si trova in condizioni di campi lentamente variabili nel tempo (rispetto ai
tempi caratteristici degli elettroni nel metallo, beninteso !), e tale condizione
verrà verificata nella trattazione microscopica delle onde nei conduttori.
4.6.2 Equazioni di Maxwell nei conduttori
A questo punto dobbiamo riscrivere le equazioni di Maxwell per un conduttore,
tenuto conto che in esso vale la relazione costitutiva tra densità di
corrente e campo elettrico appilcato J = σ0 E. A tal scopo notiamo che in un
conduttore, non potendo esserci cariche fisse (statiche), la densità di carica,
sia libere che di polarizzazione, sarà nulla: ρ = 0 5 . Inoltre consideriamo
tale conduttore come lineare dal punto di vista magnetico, ossia come un
paramagnete o un diamagnete. In tal caso µ µ0 e possiamo usare il campo
B nelle equazioni di Maxwell. Riassumendo, le equazioni di Maxwell in un
conduttore sono formalmente identiche a quelle nel vuoto, tranne che per la
presenza della corrente di conduzione J = σ0 E. Avremo quindi
4Difatti tale relazione porta, nel caso di un conduttore macroscopico omogeneo, alla
nota legge di Ohm usuale V = iR.
5Si noti che l’assenza di cariche statiche ρ = 0 non porta automaticamente a una densità
di corrente nulla in quanto in tali condizioni l’equazione di continuità div J + ∂ρ/∂t = 0
sancisce (ρ = 0 ⇒ ∂ρ/∂t = 0 ⇒ div J = 0) la solenoidalità di J.

76 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
1.
2.
3.
4.
div E = 0,
div B = 0,
rot E = − ∂ B
∂t ,
rot B = µ0σ0 ∂
E + µ0ɛ0
E
∂t .
Calcoliamo ora il rotore di ambo i mebri della terza equazione. Avremo
rot rot E = − ∂
∂t rot B,
ed inseriamo la quarta equazione a secondo membro dopo aver adoperato la
solita identità vettoriale al primo membro:
grad div E − ∇ 2 E
∂
= −µ0σ0
E
∂t
− µ0ɛ0
∂2E ,
∂t2 ricordiamo dalla prima equazione div E = 0 per avere alla fine
∇ 2 E − µ0ɛ0
∂2E ∂
= µ0σ0
∂t2 E
∂t .
In questa equazione il primo membro è chiaramente il termine di D’Alembert
che conduce alla propagazione di un’onda con velocità uguale a quella della
luce, ma a differenza del vuoto, a secondo membro è presente un termine di
tipo viscoso (legato alla drivata prima nel tempo del campo elettrico), che
esprime la perdita di energia dell’onda per muovere gli elettroni nel metallo.
Per cercare soluzioni ondulatorie per l’equazione delle onde nei metalli,
proviamo a verificare che la nostra onda standard, ossia piana armonica propagantesi
nella direzione positiva delle x e polarizzata linearmente lungo la
direzione z
Ez(x, t) = E0e i(kx−ωt)
soddisfi tale equazione. Avremo
∇ 2 Ez(x, t) = E0
∂ 2
∂x 2 ei(kx−ωt) = −k 2 E0e i(kx−ωt) = −k 2 Ez(x, t),

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 77
∂
∂t Ez(x,
∂
t) = E0
∂t ei(kx−ωt) = iωE0e i(kx−ωt) = iωEz(x, t),
∂2 ∂t2 Ez(x,
∂
t) = E0
2
∂t2 ei(kx−ωt) = −ω 2 E0e i(kx−ωt) = −ω 2 Ez(x, t),
inserendo tali relazioni nell’equazione delle onde avremo (ricordando che c2 =
1/(ɛ0µ0)
−k 2 Ez(x, t) + ω2
c 2 Ez(x, t) = −iωµ0σ0Ez(x, t).
In tale equazione il fatto che Ez(x, t) compaia ad ambo i membri senza altre
funzioni dello spazio e del tempo conferma che tale funzione sia soluzione
di questa equazione, con una relazione tra k ed ω che si ottiene dividendo
ambo i membri dell’ultima equazione per Ez(x, t):
−k 2 + ω2
= −iωµ0σ0.
c2 Scriviamo ora nel secondo membro µ0 = µ0ɛ0/ɛ0 = 1/(c 2 ɛ0) ed avremo
k 2 = ω2 ω
+ i
c2 c2 σ0 =
ɛ0
ω2
c2
1 + i σ0
ɛ0ω
Ora in un’onda piana armonica si ha ω = kv, e l’indice di rifrazione è dato
per definizione dal rapporto n = c/v. Inserendo tali definizioni nell’ultima
relazione avremo
n(ω) = c ck
=
v ω =
1 + i σ0
ɛ0ω .
Quindi, esattamente come nel caso dei dielettrici, l’indice di rifrazione è complesso
e dipendente dalla pulsazione ω: l’onda presenterà fenomeni di dispersione
ed assorbimento anche nei conduttori. Qui la quantità iσ0/ɛ0ω
ha lo stesso ruolo della suscettività complessa χ(ω) nei dielettrici. Ancora,
come nei dielettrici, la formula dell’indice di rifrazione n è parzialmente
corretta: la conducibilità σ0 è valida per campi statici o lentamente variabili
nel tempo (fino agli infrarossi), ma non per quelli ad alte frequenze (dalla luce
visibile in su), occorre quindi trovare una formula per la conducibilità per
questi casi (molto utili in pratica), esattamente come nei dielettrici gassosi si
è passati da una polarizzabilità elettronica statica a quella valida anche per
campi variabili nel tempo.
4.6.3 Teoria microscopica
A questo punto si rende necessaria la descrizione a livello microscopico del
moto dell’elettrone all’interno di un conduttore. Studiamo il moto lungo una
.

78 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
direzione, poniamo sull’asse z includendo le diverse forze considerate allo
stesso modo dei dielettrici, tranne quella di richiamo armonica, qui assente
dato che l’elettrone non è più vincolato all’atomo. Riformuliamo la forza
viscosa come
1 dz
Fvis = −me
τ dt
in modo tale che la perdita di energia dell’elettrone sia dovuta agli urti,
riassunti nel tempo libero medio di cammino τ. Si dimostra che questo è il
meccanismo dominante della perdita di energia degli elettroni nei conduttori,
laddove i processi radiativi hanno qui importanza molto minore. Per quanto
riguarda l’onda elettromagnetica, consideriamo anche in questo caso un’onda
armonica piana propagantesi lungo l’asse x positivo e polarizzata sulla
direzione z in notazione simbolica
Ez = E0e i(kx−ωt) .
La forza subita dall’elettrone ad opera dell’onda sarà allora
Fem = −eEz = −eE0e i(kx−ωt)
L’equazione del moto sull’asse z dell’elettrone in un conduttore sarà allora
d
me
2z dt2 = Fvis
1 dz
+ Fem = −me
τ dt − eE0e −iωt ,
dove abbiamo scelto il riferimento lungo l’asse x di propagazione dell’onda
in modo che l’elettrone si trovi nella posizione x = 06 .
Soluzione. Riscriviamo l’equazione del moto dell’elettrone in forma
compatta
z ′′ = − 1
τ z′ − eE0
e −iωt ,
e cerchiamo soluzioni del tipo z(t) = z0 exp(−iωt). Avremo immediatamente
z ′ = −iωz(t) e z ′′ (t) = −ω 2 z(t) e sostituendo nell’espressione precedente
si ha, eliminando il fattore exp(−iωt) (cosa che conferma la validità della
soluzione, non essendo comparse altre funzioni del tempo)
me
−ω 2 z0 = i ω
τ z0 − eE0
,
6 Siccome l’elettrone è puntiforme secondo la trattazione classica, non è qui richiesto
che la lunghezza d’onda sia di molto superiore allo stesso raggio dell’elettrone. Inoltre,
per lo stesso motivo esaminato nel caso dei dielettrici, sono stati trascurati gli effetti del
campo magnetico dell’onda.
me

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 79
che risolta rispetto a z0, dà
z0 =
eτE0
meω(i + ωτ) .
Ricordando che la velocità è data dalla z ′ = −iωz(t) = −iωz0 exp(−iωτ),
avremo
z ′ eτE0
(t) = −i
me(i + ωτ) e−iωt .
Tale velocità non sarà altro che la componente su z della velocità di deriva
dell’elettrone. Passando alla densità di corrente potremo quindi scrivere
Jz = −neez ′ = J0z exp(−iωτ) dato che anche essa oscillerà con frequenza ω,
essendo legata a z ′ da una relazione lineare. Avremo quindi
J0z = nee 2 τ
me
1
1 − iωτ =
σ0
1 − iωτ ,
dove la σ0 = nee 2 τ/me è la conducibilità statica ricavata dal modello di
Drude. Confrontando l’ultima relazione con la J = σ E, avremo alla fine
σ(ω) =
σ0
1 − iωτ .
Ne risulta che la conducibilità è una quantità complessa dipendente da ω,
proprio come la suscettività di un gas monoatomico per campi variabili nel
tempo nel caso dei dielettrici.
La conducibilità nei metalli è quindi una funzione complessa della pulsazione
dell’onda incidente ω. Agli scopi pratici si presentano due situazioni
limite, ωτ ≪ 1 (limite di basse frequenze) e ωτ ≫ 1 (limite di alte frequenze).
Nei casi intermedi ωτ 1 va usata la formula generale appena ricavata.
4.6.4 Basse frequenze
In tali condizioni si ha ωτ ≪ 1. Come discusso precedentemente, valori tipici
di τ per i metalli sono dell’ordine di 10 −14 s, cosa che porta quindi alla parte
dello spettro delle onde con frequenze inferiori a 10 13 Hz, ossia nell’infrarosso.
In tali condizioni nella conducibilità il termine iωτ si trascura rispetto a 1
(ricordiamo che i ha modulo 1) e avremo
σ = σ0 = nee2τ ,
che è il valore statico del modello di Drude. In tale caso l’indice di rifrazione
equivale a quello già determinato precedentemente
n(ω) = 1 + i σ0
ɛ0ω .
me

80 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
Consideriamo la frazione sotto il segno di radice quadrata. Valgono evidentemente
i seguenti passaggi
σ0
ɛ0ω = nee2τ meɛ0ω
nee
≫
ωτ≪1⇒1/ω≫τ
2τ 2
meɛ0
17
laddove la cifra 17 vale nel caso del rame ma l’ordine di grandezza si mantiene
lo stesso per tutti gli altri conduttori. Ne consegue che nell’espressione
dell’indice di rifrazione possiamo trascurare il termine 1 nella radice quadrata:
n(ω) =
1 + i σ0
ɛ0ω
i σ0
ɛ0ω = √ i
σ0
ɛ0ω .
Tramite la relazione di Eulero è semplice calcolare la radice quadrata di i:
√ i =
π
π
i i
e 2 = (e 2 ) 1 π
i 2 = e 4 = 1
√ + i
2 1
√ .
2
Inseriamo tale risultato nell’espressione di n(ω):
σ0 σ0
n(ω) = + i
2ɛ0ω 2ɛ0ω
da cui otteniamo immediatamente parte reale ed immaginaria dell’indice:
σ0
nR(ω) = ℜ[n(ω)] =
2ɛ0ω
e
nI(ω) = ℑ[n(ω)] =
σ0
2ɛ0ω
= nR(ω).
Avremo di conseguenza dispersione con velocità dipendente dalla frequenza
ω
v(ω) = c
2ɛ0ω
= c ,
nR(ω)
ed assorbimento con lunghezza di assorbimento data da
lass(ω) = 1
β =
c
2ωnI(ω) =
σ0
ɛ0
2σ0
c
√ ω .
Tale assorbimento è dovuto alla cessione di energia dall’onda agli elettroni,
energia che poi viene persa negli urti con il reticolo (effetto Joule). Di
conseguenza il conduttore si riscalderà in seguito ad irraggiamento. Per una

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 81
ɛ0
stima dei valori numerici, si ha che il fattore c 2σ0
vale circa 0.1 nel rame
(e mantiene lo stesso ordine di grandezza negli altri conduttori). Avremo
quindi lass(ω) 0.1/ √ ω m √ s. Per un’onda di pulsazione ω = 10 10 rad/s
(microonde) si ricava lass 10 −6 m: una lunghezza dell’ordine dei micron,
ossia l’onda viene immediatamente assorbita sullo strato superficiale del metallo,
senza raggiungere il suo interno (effetto pelle). Un conduttore quindi
non è trasparente a un’onda a basse frequenze.
4.6.5 Alte frequenze
In questo limite si ha ωτ ≫ 1. Dalla relazione della conducibilità
σ(ω) =
σ0
1 − iωτ .
si ricava
σ(ω) = i σ0
ωτ ,
per cui l’indice di rifrazione diventa
Definiamo la quantità
n(ω) =
1 + i σ
ɛ0ω =
σ0
ɛ0τ = nee2τ ɛ0τme
= nee 2
1 − σ0
ɛ0ω 2 τ .
ɛ0me
= ω 2 P
come frequenza di plasma. Per il rame si ha ωP 2.62 · 1015 rad/s. Essa
rappresenta una frequenza legata a un moto oscillatorio collettivo degli elettroni
nel metallo. Per una sua piena comprensione è però richiesta la teoria
quantistica. In termini della frequenza di plasma l’indice di rifrazione va
riscritto come
n(ω) = 1 − ω2 P
.
ω2 Avremo quindi due casi, a seconda dei valori di ω e ωP .
• Caso ω < ωP . Si avrà quindi ωP /ω > 1 e di conseguenza l’indice di
rifrazione diventa immaginario puro: l’onda viene completamente
assorbita dal metallo, senza dispersione. Si ha
nI(ω) =
2 ωP − 1.
ω2

82 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
• Caso ω > ωP . Si avrà quindi ωP /ω < 1 e di conseguenza l’indice di rifrazione
diventa puramente reale: l’onda si propaga nel metallo, senza
alcun assorbimento. Il metallo diventa così trasparente all’onda,
con dispersione. Si ha
4.6.6 Riassunto
nR(ω) =
1 − ω2 P
.
ω2 Ricapitoliamo quindi le proprietà di un’onda di frequenza ω in un metallo in
cui siano quindi assegnati il tempo libero medio τ e la frequenza di plasma.
• ω ≪ 1/τ. Regime di basse frequenze. L’indice di rifrazione è complesso,
sono presenti quindi assorbimento e dispersione. Si ha
σ0
nR(ω) = = nI(ω).
2ɛ0ω
Fisicamente, gli elettroni del conduttore seguono le oscillazioni del campo
e.m. dell’onda, sottraendo così ad essa energia, smorzandola. Nel
limite ω → 0, caso statico, gli elettroni si distribuiscono sulla superficie
in modo da annullare il campo all’interno del conduttore, e si ha
assorbimento totale.
• ω 1/τ. Anche in tal caso l’indice di rifrazione è complesso e va
usata la formula generale della conducibilità nel calcolo dell’indice di
rifrazione:
n(ω) = 1 + i σ0 1
ɛ0ω 1 − iωτ .
Anche qui si presentano sia dispersione che assorbimento.
• 1/τ ≪ ω < ωP . L’indice di rifrazione è immaginario puro, con valore
nI(ω) =
2 ωP − 1.
ω2 L’onda viene completamente assorbita dal conduttore.
• ω > ωP . L’indice di rifrazione è puramente reale, con valore
nR(ω) =
1 − ω2 P
.
ω2

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 83
L’onda si propaga con dispersione senza alcun assorbimento, il conduttore
è quindi trasparente. Fisicamente, il campo e.m. oscilla troppo
rapidamente e gli elettroni del metallo non riescono a “seguirlo”. Sperimentalmente
si verificano invece fenomeni di assorbimento anche ad
altissime frequenze ed è necessaria la teoria quantistica per una piena
comprensione dei meccanismi di assorbimento.
4.6.7 Esercizio
Un’onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente, di lunghezza d’onda
λ = 6·10 −4 m si propaga nel vuoto fino a quando incide su una superfice piana
di rame. Sapendo che alla frequenza angolare dell’onda ω0 risulta nR(ω0) =
1.04 · 10 3 e che il tempo medio fra due urti consecutivi di un elettrone con il
reticolo nel rame τ = 2.51 · 10 −14 s, valutare, nel rame, la frequenza dell’onda
ω0, la velocità con cui essa si propaga, la parte immaginaria dell’indice di
rifrazione ad ω0, giustificando la risposta; infine la lunghezza di assorbimento
dell’onda.
Soluzione Prima di tutto anche nel rame la frequenza angolare rimane la
stessa, essendo una proprietà intrinseca dell’onda. Essa risulta ω0 = 2πν =
2πc/λ = 3.14·10 12 rad/s. Essendo il rame un conduttore, dobbiamo valutare
il prodotto ω0τ. Si ricava, con i valori dati, ω0τ = 7.88·10 −2 ≪ 1. Ci troviamo
dunque nel regime di basse frequenze, dove la parte immaginaria dell’indice di
σ0
rifrazione risulta uguale a quella reale: nI(ω0) = nr(ω0) = 2ɛ0ω0 = 1.04·103 .
La velocità dell’onda nel rame sarà allora v = c/nR(ω0) = 2.88 · 10 5 m/s, e
la sua lunghezza di assorbimento vale lass = c/[2ω0nI(ω0)] = 4.59 · 10 −8 m.

84 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE

Capitolo 5
Ottica ondulatoria
5.1 Riflessione e rifrazione
La propagazione, e quindi la velocità di un’onda elettromagnetica, dipendono
dal mezzo materiale in cui essa si viene a trovare. In particolar modo,
abbiamo ricavato come varia la velocità in termini di modulo, grazie all’indice
di rifrazione, o meglio, alla sua parte reale, e sottolineato il fenomeno
della dispersione. Ci ripromettiamo ora di esaminare come vari la velocità
in termini di direzione. All’atto pratico, quando un’onda incide sulla superficie
di separazione tra due mezzi materiali, essa si divide in due parti: una
torna indietro nel materiale di provenienza, l’onda riflessa, mentre un’altra
si propaga avanti nel nuovo mezzo, l’onda rifratta. Determineremo quindi
le relazioni tra le direzioni e i moduli delle velocità delle onde incidente, riflessa
e rifratta (ricordiamo che in questi processi si mantengono costanti la
pulsazione e la frequenza), che saranno anche indipendenti dal tipo di onda,
dato che la derivazione di tali relazioni fa uso di nozioni generali di onde.
Tali leggi, note come leggi della riflessione e della rifrazione, sono alla base
dell’ottica geometrica. Invece la relazione tra le ampiezze (e di conseguenza
anche tra le intensità) dipende dalla particolare natura delle onde. Nel caso
di onde elettromagnetico le relazioni tra le ampiezze dei campi delle onde
incidente, riflessa e rifratta prendono il nome di formule di Fresnel, ma ci
limiteremo a un riassunto molto sommario delle loro conseguenze.
5.1.1 Leggi di Cartesio e Snell
Supponiamo quindi di avere due mezzi materiali separati da un piano xy a
quota z = 0 in un oppportuno sistema di riferimento. Denominiamo 1 il
mezzo in cui si propaga l’onda incidente e in cui si propagherà quella riflessa,
mentre il mezzo 2 sarà quello in cui si avrà la propagazione dell’onda rifratta.
85

86 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
Consideriamo tale onda incidente piana armonica, di vettore d’onda ki e di
pulsazione ω:
ξi = ξ0ie i( ki·r−ωt) ,
di conseguenza la direzione di propagazione dell’onda incidente è individuata
dal vettore ki. Da essa avranno origine l’onda riflessa
ξr = ξ0re i( kr·r−ωt) ,
nel mezzo 1 e quella trasmessa (rifratta)
ξt = ξ0te i( kt·r−ωt) ,
nel mezzo 2. Naturalmente, tutte le tre onde hanno medesima pulsazione
ω. Ora, su ogni punto della superficie di separazione le fasi delle tre onde
devono essere uguali, siccome si tratta dello stesso fenomeno fisico. Da tale
ugualgianza ricaviamo le seguenti relazioni:
ki · r = kr · r = kt · r.
Orientiamo ora in modo opportuno il sistema di riferimento in modo che il
vettore di onda incidente si trovi nel piano yz. Tale scelta del riferimento
non altera i risultati dell’uguaglianza delle fasi delle tre onde, in quanto essa
è indipendente da tale scelta. Inoltre, il vettore r ha componente z = 0 in
quanto per ipotesi giace sul piano di separazione tra i due mezzi materiali.
Avremo quindi
r = xî + yˆj, ki = kiy ˆj + kiz ˆ k,
kr = krx î + kry ˆj + krz ˆ k, kt = ktx î + kty ˆj + ktz ˆ k,
in quanto nulla possiamo dire a priori sulle direzioni delle onde riflessa e rifratta,
che hanno quindi di conseguenza tutte e tre le componenti. Eseguendo
i prodotti scalari derivati dall’uguaglianza delle tre fasi, e tenuto conto della
scelta del sistema di riferimento, avremo
kiyy = krxx + kryy = ktxx + ktyy.
Queste uguaglianze devono essere valide per ogni scelta di x e y,dato che il
fenomeno fisico non dipende dal particolare punto di incidenza. Dal principio
di identità dei polinomi ricaviamo quindi
e
krx = ktx = 0
kiy = kry = kty.

5.1. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 87
Esaminiamo le conseguenze di queste due relazioni. Per quanto riguarda la
prima, definiamo come piano di incidenza quello individuato dal vettore ki
e dalla normale alla superficie di separazione nel punto di incidenza. Nel
nostro caso, il piano di incidenza è yz, e dalla prima relazione segue che
anche i vettori kr e kt giacciono su tale piano, avendo nulla la componente
x. Questa è la prima legge della rifrazione e riflessione: le direzioni
delle onde riflessa e trasmessa giacciono anche esse sul piano di
incidenza, ossia quello definito dalla direzione dell’onda incidente
e perpendicolare alla superficie di separazione tra i due mezzi
materiali.
Per quanto riguarda la seconda relazione, in termini degli angoli formati
con la normale alla superficie di separazione avremo kiy = ki sin θi, kry =
kr sin θr e kty = kt sin θt. La seconda relazione in termini di tali angoli diventa
ki sin θi = kr sin θr = kt sin θt.
Per ciascuna onda vale la relazione ω = ki,r,tv1,1,2 essendo la pulsazione ω la
stessa per tutte. In particolare, le onde incidenti e riflessa avranno la stessa
velocità v1 dato che si propagano nello stesso mezzo. Avremo quindi
1
v1
sin θi = 1
v1
sin θr = 1
v2
sin θt.
Dalla prima uguaglianza si ha θi = θr. Dall’uguaglianza tra primo e terzo
membro discende la relazione
sin θi
sin θt
= v1
v2
= n2
n1
= n2,1
avendo usato la relazione v = c/n, dove ovviamente con n si intende la parte
reale dell’indice di rifrazione, siccome essa è legata alle proprietà di propagazione
dell’onda in un mezzo. Qui la quantità n2,1 = n2/n1 viene definita
come indice di rifrazione relativo del secondo mezzo rispetto al primo. Le relazioni
appena desunte costituiscono la seconda e terza legge della riflessione
e rifrazione:
• l’angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza;
• il rapporto tra i seni degli angoli di incidenza e trasmissione è costante
ed uguale a quello tra le velocità delle onde nei rispettivi mezzi, ossia al
reciproco dei rispettivi indici di rifrazione (parti reali). Questa legge è
nota anche con il nome di legge di Snell.

88 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
Tali leggi possono essere ovviamente generalizzate al caso di superfici non
piane, considerando punto per punto la normale alla superficie individuata
secondo le leggi della geometria. Ad esempio per una superficie sferica la
direzione normale coincide punto per punto con quella radiale.
In particolare, la seconda legge è relativa alla riflessione e vi compaiono
solo gli angoli: essa è un fenomeno indipendente dal tipo di onda (ossia dalla
frequenza) e non è dispersiva.
Invece la terza legge dipende dagli indici di rifrazione, che presentano
dispersione, ossia dipendenza dalla pulsazione dell’onda incidente.
Dispersione della luce
Se un fascio di onde non monocromatiche incidono con lo stesso angolo su
una superficie di separazione, le onde trasmesse avranno angoli di trasmissione
diversi a seconda delle frequenze delle onde componenti il fascio, mentre
quelle riflesse avranno tutte la stessa direzione. E’ proprio questo fenomeno
che permette l’osservazione delle componenti della luce bianca nei colori
dello spettro (ossia quelli dell’arcobaleno) nei vari fenomeni di rifrazione: il
prisma di Newton, le goccioline di pioggia che formano l’arcobaleno dopo
un acquazzone. Si osserva che la luce bianca si separa in una serie di componenti
cromatiche che vanno dal rosso, deviato in misura minore, sino al
violetto, deviato in misura maggiore. Questo siccome in tali condizioni la
dispersione è normale, e l’indice di rifrazione (e di conseguenza l’angolo con
la normale) cresce con la frequenza, dato che il primo mezzo, in questo caso
l’aria, presenta una dispersione trascurabile (n1 1 per ogni frequenza):
sin θi = cost = n2(ω) sin θt.
Riflessione totale
Torniamo alla legge di Snell:
sin θi
sin θt
e riscriviamola nel modo seguente
= v1
v2
sin θt = n1
= n2
n1
n2
sin θi.
= n2,1
Se l’onda passa da un mezzo con minore potere rifrattivo a uno con maggiore
(n1 < n2, n1/n2 < 1) , qualunque sia l’angolo di incidenza (a meno dei casi
banali θ = 0, π/2 si ha sin θt < 1, ossia θt è sempre definito: si presenta
sempre un’onda trasmessa. Invece, nel caso opposto di trasmissione da un

5.1. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 89
mezzo più rifrattorio a uno meno (n1 > n2, n1/n2 > 1) oltre un certo angolo
di incidenza θl, detto angolo limite, si avrà sin θt > 1. Poichè non esiste
alcun angolo reale il cui seno sia maggiore di uno, questo indica che non si ha
più l’onda trasmessa, ma esclusivamente riflessione. Questo fenomeno viene
detto riflessione totale. Dalla definizione è immediato notare che l’angolo
limite di incidenza si ha in corrispondenza di sin θl = n2/n1, ossia θl =
arcsin n2/n1. Il fenomeno dell’angolo limite è di basilare importanza per le
fibre ottiche: sono cavi, usualmente in materiale plastico, in cui una guaina
riveste un corpo centrale trasparente alla luce (o alla radiazione e.m. di una
certa frequenza) in modo che l’indice di rifrazione della guaina maggiore di
quello del corpo centrale. Inviando nell corpo centrale un fascio collimato di
luce quasi parallelo all’asse del cavo esso subirà una serie di riflessioni totali
potendosi così trasmettere a grandi distanze senza dispersioni e assorbimenti
rilevabili. Le applicazioni di questa tecnica sono innumerevoli (endoscopia,
telecomunicazioni...).
5.1.2 Intensità delle onde riflesse e rifratte
Sinora ci siamo occupati delle direzioni delle onde nei fenomeni di riflessione
e rifrazione. Ad ogni modo la direzione di propagazione non è l’unica caratteristica
misurabile di un’onda (a prescindere dalla frequenza). Una di queste,
importante è l’intensità. Esistono allo scopo precise relazioni che legano le
intensità di onde riflessa e trasmessa con quella incidente. Le formule relative
sono dette di Fresnel. Due caratteristiche salienti di tale fenomeno sono:
• la somma delle intensità di onda riflessa e rifratta deve essere uguale a
quella dell’onda incidente, come risulta dal principio di conservazione
dell’energia;
• le intensità di onda riflessa e trasmessa dipendono dallo stato di polarizzazione
dell’onda incidente, a seconda che tale polarizzazione, relativa
al campo elettrico, sia nello stesso piano od ortogonale a quello
di incidenza.
5.1.3 Riflessione su conduttori
Esaminiamo ora il fenomeno della riflessione sui conduttori, nel caso particolare
della luce visibile, radiazione la cui pulsazione è dell’ordine di ω 10 15
rad/s (ricordiamo che la frequenza è dell’ordine di 10 14 Hz), possiamo quindi
usare il limite di alte frequenze ωτ > 1, ed essendo la pulsazione di plasma
ω 10 16 rad/s superiore a quella della luce l’indice di rifrazione sarà

90 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
puramente immaginario e avrà il valore
nI =
2 ωP − 1 10.
ω2 L’onda sarà quindi assorbita con lunghezza di assorbimento data da
lass = c
2ωni
10 −8 m.
Tale lunghezza è praticamente nulla, in quanto confrontabile con la dimensione
del reticolo cristallino. In termini fisici, l’onda non riesce a propagarsi
nel metallo per essere assorbita. Le formule di Fresnel dimostrano inoltre
che in tali condizioni l’intensità dell’onda riflessa è pressoché uguale a quella
dell’onda incidente, di conseguenza non vi è onda trasmessa. I conduttori
quindi riflettono molto bene, senza apprezzabili assorbimenti, la luce incidente,
e su tale principio si basano gli specchi: sono pannelli di un materiale
di supporto su cui si spruzza un sottile strato di alluminio od argento. Alcuni
metalli tuttavia assorbono delle frequenze nel visibile, il che spiega il colore
caratteristico, come ad esempio, il giallo del rame.
5.2 Interferenza e diffrazione
5.2.1 Interferenza di due sorgenti
Punto di partenza: principio di sovrapposizione. Cosa succede quando due
onde si sovrappongono in un punto dello spazio ? Per semplicità consideriamo
il caso di onde piane armoniche con la stessa pulsazione.
L’interferenza è caratteristica prettamente ondulatoria: si tratta della
modulazione delle intensità di due o più onde che si sovrappongono.
Per trovare l’onda risultante usiamo il principio di sovrapposizione.
Coerenza. In un’onda la frequenza dipende dalla sorgente, ma anche la
fase. Se la sorgente emette onde con una fase costante, essa si dice coerente.
L’interferenza è osservabile solo per onde emesse da sorgenti coerenti.
Caso semplice di interferenza: sovrapposizione di due onde piane armoniche
trasversali con la stessa frequenza. I campi saranno (imponendo che le
ampiezze ξ0 siano reali)
ξi = ξ0ie i( ki·r−ωt+δi) == ξ0ie iαi
con la fase αi = ki · r − ωt + δi. In particolare il termine δi è la fase dovuta
alla sorgente.

5.2. INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 91
Calcoliamo ora la sovrapposizione in un punto generico e ricordiamo che
l’intensità è proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza I = k| ξ| 2 dove il
fattore di proporzionalità nel caso di onde elettromagnetiche dipende dalla
velocità dell’onda. Avendo le due onde la stessa frequenza, esse avranno la
stessa velocità se si propagheranno nello stesso mezzo, come nel nostro caso.
Quindi il fattore di proporzionalità è lo stesso per le due onde.
Alla fine si ricava, nel caso che le due onde abbiano la stessa direzione di
polarizzazione:
I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆α
con ∆α = α1 − α2 sfasamento tra le due onde. In definitiva, l’interferenza
dipende da: 1) polarizzazione 2) differenza cammino 3) sfasamento sorgenti.
Condizioni di interferenza costruttiva/distruttiva, e si vede che l’intensità
risultante non è la semplice somma delle intensità delle singole onde.
Non in contrasto con la conservazione dell’energia, perchè ci sono zone
alterne di interferenza costruttiva e distruttiva, quindi vi è piuttosto una
redistribuzione dell’energia.
Caso di onde emesse con la stessa ampiezza dalle due sorgenti (in fase tra
di loro).
2 ∆α
I = 4I0 cos
2 .
Siccome nella descrizione delle onde i vettori k1,2 e r1,2 hanno la stessa
direzione, posso passare dai prodotti scalari ai moduli: k1,2 ·r1,2 = k1,2r1,2. In
particolare, se le due sorgenti emettono onde con la stessa frequenza potrò
scrivere k1 = k2 = 2π/λ e posso riformulare le condizioni di interferenza costruttiva
e distruttiva in termini di multipli interi o semiinteri della lunghezza
d’onda.
In approssimazione di punto lontano, ossia quando la distanza del punto
dalle due sorgenti r è molto maggiore di quella tra le due stesse sorgenti d,
r ≫ d, posso scrivere ∆r d sin θ dove d è la distanza tra le due sorgenti
e θ l’angolo formato dal vettore r e l’asse del segmento congiungente le due
sorgenti. Inserendo questa relazione nell’intensità di due onde con stessa
ampiezza e considerando sorgenti coerenti avrò
2 kd sin θ
I = 4I0 cos
2
2 πd sin θ
= 4I0 cos
λ
e posso quindi fare un grafico di I in funzione del seno di theta e riformulare
le condizioni di interferenza costruttiva e distruttiva in termini di sin θ:
sin θ = m λ
d

92 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
per intereferenza costruttiva e
sin θ = (2m + 1) λ
2d
per interferenza distruttiva. Notare che m non può crescere indefinitamente
siccome deve essere sin θ ≤ 1. Ne consegue che se λ > d potremo osservare
solo il massimo a m = 0.
Infine, per sorgenti incoerenti dove ∆α varia nel tempo, in media nel
tempo il termine di coseno quadro vale un mezzo e l’intensità diventa semplicemente
la somma di quelle delle onde considerate separatamente. Ad
esempio la luce ordinaria, emessa da un gran numero di sorgenti atomiche
completamente scorrelate, è incoerente e per questo non osserviamo fenomeni
di interferenza (lampadine, luce solare...).
5.2.2 Esperienza di Young
La luce è una radiazione elettromagnetica e in virtù della sua natura ondulatoria,
può presentare fenomeni di interferenza. Essendo le comuni sorgenti
luminose incoerenti, l’interferenza della luce è stata messa in risalto solo
grazie a un’esperienza nel secolo XIX, grazie a Young.
Egli fece incidere la radiazione luminosa di una sorgente puntiforme S su
uno schermo opaco dove aveva posto una fenditura. A breve distanza da
tale schermo ne posizionò un secondo, parallelo al primo e con due fenditure,
in modo che il punto medio tra le due fenditure giacesse allineato con la
fenditura del primo. La luce uscente dalla fenditura del primo pannello per
diffrazione si propaga in tutte le direzioni ed arriva ad entrambe le fenditure
del secondo pannello. Siccome la distanza tra ciascuna delle due fenditure da
quella del primo pannello è la stessa, le due fenditure si trovano sullo stesso
fronte di onda avente come sorgente la fenditura del primo pannello e per il
principio di Huyghens-Fresnel si comporteranno come due sorgenti coerenti.
A una distanza L molto maggiore della distanza tra le due fenditure d
del secondo pannello egli pose uno schermo dove osservò una serie di righe,
illuminate e scure, con quella più intensamente illuminata, detta centrale, in
corrispondenza del punto in cui la retta partente dalla fenditura del primo
pannello ed ad esso perpendicolare incontrava lo schermo.
Tali frange sono le frange di interferenza e consentirono a Young di
dimostrare esplicitamente la natura ondulatoria della luce. Difatti era in voga
a quei tempi la convinzione, dovuta a Newton, della natura corpuscolare 1 .
1 Oggi, grazie al dualismo onda-corpuscolo della radiazione, sappiamo che avevano entrambi
ragione, e che è la natura stessa dell’esperimento che mette esclusivamente in risalto
un comportamento a spese dell’altro.

5.2. INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 93
L’esperienza di Young può essere compresa alla luce delle relazioni studiate
per l’interferenza tra due sorgenti coerenti di uguale intensità in un
punto lontano. In tal caso, detta x la distanza di un punto dello schermo dal
punto centrale, dove viene osservato il massimo principale di interferenza, e
θ l’angolo con cui tale punto viene visto dal centro delle due fenditure sul
secondo pannello, potremo scrivere x = L tan θ Lθ, se il punto x non si
discosta molto dal centro (in termini della distanza L). Avremo in tal caso
θ = x/L, e potremo sostituire tale valore in quello determinato nella sezione
precedente con l’approssimazione sin θ θ. Avremo quindi per l’intensità
2 πdx
I = 4I0 cos
λL ,
con le relative posizioni per i massimi (frange chiare)
x = m λL
d
e i minimi (zone di ombra, frange scure)
x = (2m + 1) λL
2d
m ∈ Z0
m ∈ Z0.
In teoria, le frange chiare dovrebbero avere tutte il massimo di intensità
I = 4I0, invece l’intensità diminuisce gradualmente a partire dalla frangia
centrale, di conseguenza si osservano solo alcune frange intorno alla centrale.
Inoltre ricordiamo che per la luce la lunghezza d’onda λ è dell’ordine di 10 −7
m, per cui una distanza d di qualche cm tra le due fenditure è sufficiente per
osservare le frange di interferenza.
5.2.3 Interferenza di N sorgenti
Vogliamo ora considerare l’interferenza prodotta da N sorgenti coerenti, in
fase tra di loro, poste su una retta ad uguali distanze d, che emettono onde
della stessa intensità I0 e pulsazione ω, in un punto lontano P, la cui distanza
r sia molto maggiore della “dimensione lineare” delle sorgenti, ossia di Nd.
La sorgente j-esima emetterà quindi un’onda il cui campo elettrico sarà
Ej = E0e i( kj·rj−ωt)
j ∈ {1, . . . , N},
con l’ampiezza E0 in comune alle sorgenti, e ipotizzando la stessa polarizzazione,
in modo da poter passare dai vettori alle sole componenti in quella
direzione. Per ogni onda potremo poi scrivere kj · rj = kjrj = krj, ed andare

94 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
a considerare la risultante nel punto P, che per il principio di sovrapposizione
sarà dato da
E(P ) =
N
j=1
Ej = E0
N
j=1
e i(krj−ωt) = E0e −iωt
N
e ikrj .
Nell’approssimazione di punto lontano possiamo scrivere per le prime due
sorgenti r2 − r1 = δ con δ = d sin θ, dove θ è l’angolo formato dalla retta
congiungente il punto P con il punto medio del segmento S1-S2 e l’asse di
tale segmento nel piano dove si trova anche P. Ma tale ragionamento si può
ripetere anche per due sorgenti successive j e j + 1, ossia rj+1 − rj = δ, dato
che l’angolo θ in approssimazione di punto lontano si mantiene lo stesso. Per
induzione potremo quindi scrivere
rj = r1 + (j − 1)δ.
Potremo quindi riscrivere il campo totale come
E(P ) = E0e −iωt
N
j=1
e ik[r1+(j−1)δ] = E0e i(ikr1−ωt)
Ridefiniamo l’indice della sommatoria ad ultimo membro
N
e ik(j−1)δ =
j=1
N−1
j=0
e ikjδ .
j=1
N
e ik(j−1)δ .
Tale sommatoria è nota nell’analisi, in quanto si tratta di una somma parziale
di una serie geometrica. Essa vale, essendo z un qualunque numero complesso
N
z j =
j=0
1 − zN+1
,
1 − z
come si può facilmente verificare riscrivendola nella forma
(1+z+z 2 +. . .+z N )(1−z) = 1−z+z−z 2 +z 2 . . .−z N +z N −z N+1 = 1−z N+1 .
Nel nostro caso si ha z = exp(ikδ) e la somma si arresta a N − 1. Quindi
N−1
j=0
e ikjδ =
1 − eiNkδ
.
1 − eikδ j=1

5.2. INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 95
Possiamo trasformare tale frazione in funzione di seni con alcune manipolazioni
e ricordando la formula di Eulero (e iα − e −iα = 2i sin α):
1 − eiNkδ eiNkδ/2
=
1 − eikδ eikδ/2 eiNkδ/2 − e−iNkδ/2 eikδ/2 − e−ikδ/2 In definitiva, il campo totale in P sarà allora
e il suo modulo quadro sarà
sin(Nkδ/2)
= ei(N−1)kδ/2
sin(kδ/2) .
E(P ) = E0e i(ikr1−ωt) e i(N−1)kδ/2 sin(Nkδ/2)
sin(kδ/2)
|E(P )| 2 = E 2 sin
0
2 (Nkδ/2)
sin2 (kδ/2) ,
nell’ipotesi che l’ampiezza E0 sia un numero reale. Per ciascuna sorgente
l’intensità dell’onda emessa I0 sarà proporzionale al modulo quadro del campo
elettrico I0 = aE 2 0. La costante di proporzionalità sarà la stessa anche
per l’onda risultante nel punto P (per i motivi già esaminati nello studio
dell’interferenza di due sorgenti), cosicché
I = a|E(P )| 2 = aE 2 sin
0
2 (Nkδ/2)
sin2 (kδ/2)
sin
= I0
2 (Nkδ/2)
sin2 (kδ/2) .
Anche in questo caso l’interferenza presenta massimi e minimi, ma stavolta
più “strutturati”. Si desume infatti l’esistenza di massimi principali e secondari.
I massimi principali si trovano nei punti in cui l’intensità ha massimo
valore assoluto, ossia in quei punti per cui il denominatore della frazione va
a zero:
sin(kδ/2) = 0 ⇒ kδ
= mπ ⇒ d sin θ = mλ m ∈ Z0
2
e non dipendono dal numero delle sorgenti N. In corrispondenza di essi si
osserverà un’intensità finita e non divergente, come a prima vista potrebbe
sembrare. Infatti si osserva che in corrispondenza di tali valori va a zero
anche il numeratore della frazione, con un infinitesimo dello stesso ordine.
Per calcolare tale valore finito, passiamo al limite. Posto x = kδ/2, avremo
I0
sin
I = I0 lim
x→0
2 (Nx)
sin2 (x)
x
lim N
x→0 Nx
= I0
lim
x→0
2
sin(Nx)
= I0 N lim
sin(x)
x→0
2 sin(Nx)
=
sin(x)
x
sin(x)
2 sin(Nx)
=
Nx

96 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
N 2 I0
lim
x→0
x
sin(x) lim
x→0
2 sin(Nx)
= N
Nx
2 I0(1 · 1) 2 = N 2 I0.
In particolare per N = 2 si ricava il valore del massimo di intensità di due
sorgenti, I = 4I0, come noto.
Il denominatore dell’intensità si annulla esclusivamente in corrispondenza
dei massimi principali. Tuttavia esistono dei punti in cui si annulla solo il
numeratore. Essendo l’intensità sempre positiva o al limite nulla, questi punti
corrispondono ai minimi. Avremo
sin Nkδ
2
= 0 ⇒ Nkδ
2
m
= mπ → d sin θ = λ m ∈ Z0.
N
In essi ovviamente l’intensità vale zero. Se vale la condizione m = m ′ N con
m ′ numero naturale, si ritrovano i massimi principali, da escludere. Quindi ne
desumiamo che tra due massimi principali vi sono N −1 minimi secondari, le
cui posizioni sono date dalla condizione precedente. Infine, siccome l’intensità
è una funzione non negativa continua dello scostamento θ, tra due minimi vi
sarà di nuovo un massimo, e quindi tra due massimi principali si troveranno
N − 2 massimi secondari. Si verifica che la posizione di tali massimi si ha
quando il numeratore dell’intensità vale 1, ossia quando
sin Nkδ
2
= 1 ⇒ Nkδ
2
1
2m + 1
= (2m + )π → d sin θ = λ m ∈ Z0.
2 2N
Ovviamente in tali massimi il denominatore è finito e di conseguenza essi
risultano minori dei massimi principali, per la precisione di un fattore N 2 .
Nella figura 5.1 si può riscontrare la validità delle nozioni sin qui apprese
nel caso di interferenza di 8 sorgenti coerenti.
5.2.4 Diffrazione
La diffrazione è un altro fenomeno tipicamente ondulatorio. Essa consiste
nella capacità delle onde di deviare la propria direzione di propagazione in
presenza di ostacoli. Essa si osserva tanto più nettamente quanto le dimensioni
lineari dell’ostacolo sono più vicine all’ordine della lunghezza d’onda
della radiazione incidente. Le onde deviate successivamente interferiscono a
seguito delle differenze di cammino prodotte dalla diffrazione. Essa si osserva
sia per pannelli con fori, o viceversa, per piccoli ostacoli opaci. E’ inquadrabile
nell’ambito della teoria di Huyghens-Fresnel. In termini di intensità,
l’effetto della diffrazione è di rendere dipendente l’intensità dell’onda risultante
dallo scostamento angolare (per la sola interferenza i massimi hanno
invece sempre la stessa intensità). Questo effetto è ben evidente nella figura

5.2. INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 97
I/(64 I 0 )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5 0 5
x
Figura 5.1: L’andamento dell’intensità dell’interferenza I scalata del valor
massimo 64I0 di 8 sorgenti coerenti in funzione della variabile x = πd sin θ/λ.
I massimi principali si hanno a x = mπ, si notino i 7 minimi e i 6 massimi
secondari tra due massimi principali consecutivi. Il massimo a x = 0 è detto
centrale.
I/(64 I 0 )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5 0 5
x
Figura 5.2: L’andamento dell’intensità dell’interferenza con diffrazione, in
color rosso, I scalata del valor massimo 64I0 di 8 sorgenti coerenti in funzione
della variabile x = πd sin θ/λ. Le fenditure hanno dimensione a d. In nero
è riportata la figura di interferenza senza diffrazione.

98 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
5.2, dove si riporta la figura di interferenza-diffrazione per 8 sorgenti coerenti
attraverso una serie di fenditure aventi distanza tra di loro a pari a quella
tra le sorgenti d. Si nota che la diffrazione modula i massimi principali, che
per sola interferenza rimarrebbero sempre costanti.
Nell’ottica tali effetti si osservano con i reticoli di diffrazione. Su un blocco
di vetro si incidono, tramite un apposito utensile, sottilissime fenditure
con passo d. Tali fenditure, se esposte alla radiazione, si comportano come
sorgenti coerenti di onde provocando diffrazione, ed è quindi possibile
osservare la successiva interferenza.
Ricordiamo ora la condizione per osservare i massimi principali nell’interferenza,
che, come visto, non dipende dal numero di sprgenti N: sin θ =
(λ/d)m con m inumero intero relativo. A parte il massimo principale m = 0
che si osserva per qualunque valore del rapporto λ/d, il primo massimo si osserverà
invece in corrispondenza di m = 1, ossia per sin θ = λ/d, e sarà tanto
più evidente quanto tale rapporto risulterà a metà tra 0 e 1, o, in termini
equivalenti, quando λ è di circa un ordine di grandezza inferiore a d. Difatti,
se d diventa troppo più grande di λ, gli effetti di diffrazione non saranno più
visibili. Ad esempio, il colore giallo della luce visibile presenta λ = 550 nm
= 5.5 · 10 −7 m, e per osservare interferenza diffrattiva un reticolo con d = 3
µm è sufficiente. Tale passo è il più piccolo che si possa raggiungere con la
tecnologia attuale.
La natura ci fornisce però reticoli di passo ancora più piccolo: i cristalli.
All’interno di essi gli atomi (o gli ioni, o le molecole), si dispongono in modo
ordinato nello spazio, secondo il reticolo cristallino. Le distanze tipiche tra
gli atomi all’interno del reticolo sono dell’ordine di 10 −10 m. Se una radiazione
elettromagnetica ben collimata colpisce una serie di atomi allineati in
tale reticolo, gli elettroni cominceranno ad oscillare ed emetteranno in modo
coerente onde e.m. alla stessa frequenza della radiazione incidente. Essi
si comporteranno quindi come una serie di sorgenti coerenti e sarà possibile
osservare l’interferenza diffrattiva prodotta da essi. Con la luce naturalmente
non è possibile osservare questi effetti siccome la lunghezza d’onda è di gran
lunga superiore alle distanze reticolari. Possiamo però usare la radiazione
elettromagnetica che abbia lunghezza d’onda comparabile, ossia dell’ordine
di 10 −9 m: questi sono i raggi X.
Facciamo quindi incidere un fascio di raggi X su un cristallo. Supponiamo
per semplicità che esso abbia un reticolo cubico semplice, ossia gli atomi si
trovano in modo regolare ai vertici di una cella cubica di lato a. Variando
in modo opportuno l’orientamento relativo del fascio e del cristallo, tale fascio
inciderà con un angolo θ (detto di radenza) [allegare qui una figura
come quella del Mazzoldi] e vedrà i vari piani reticolari a distanza d, in
genere minore a quella del passo del reticolo a, a meno che incida in modo

5.2. INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 99
esattamente orizzontale o verticale rispetto alla cella cubica. In tal modo
l’onda incontrerà una serie di atomi allineati, che diverranno sorgenti coerenti,
e subirà diffrazione. Siccome, vedi futura figura alleganda, la differenza
di cammino relativa ai fasci incidenti tra due atomi successivi è 2d sin θ, la
condizione per osservare il massimo di interferenza sarà 2d sin θ = mλ. Tale
condizione viene detta di Bragg. Nella pratica si osserveranno solo i massimi
principale dato l’elevato numero N di sorgenti. Su tale condizione si basa
lo spettrografo a cristallo, strumento per la determinazione delle strutture
cristalline. Variando in modo opportuno l’incidenza dei raggi X sul cristallo
e studiando la posizione di volta in volta dei massimi osservati, è possibile
ricsotruire la sua struttura. Tale principio è adoperato anche per lo studio
di molecole complesse, come il DNA.

100 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA

Capitolo 6
Struttura della materia
6.1 Elementi di meccanica quantistica
Sono emersi alcuni fenomeni, durante il corso, non inquadrabili classicamente:
assorbimento in conduttori ad alte frequenze, spettri a righe degli atomi,
proprietà magnetiche dei materiali, il ferromagnetismo. Per inquadrarli si
ricorre alla meccanica quantistica. In essa vige il dualismo onda-particella:
sia materia che radiazione possono presentare aspetti corpuscolari od ondulatori,
ma in modo complementare e mai contemporaneamente. L’esperienza
decisiva che segnò il passaggio tra fisica classica e quantisitca è legata alla
radiazione di corpo nero.
6.1.1 Il corpo nero e crisi della teoria classica
L’evidenza sperimentale dimostra che ogni corpo a una temperatura T emette
una gamma di radiazioni elettromagnetiche, e la frequenza della radiazione
emessa con massima intensità dipende in modo lineare dalla temperatura
(legge dello spostamento di Wien). Questo vale non solo in termini di radiazione
emessa, ma anche di radiazione emessa, per le quali si è stabilita la
completa equivalenza, in termini di bilanci di conservazione dell’energia. In
tale contesto, si definisce come corpo nero un oggetto in grado di assorbire
completamente ogni radiazione che incida su di esso (questa definizione, in
termini della luce, spiega il nome di corpo nero). Il corpo nero è un concetto
astratto, ma può essere molto ben approssimato da una cavità nera con
un minuscolo forellino: ogni radiazione incidente nel forellino penetra nella
cavità con probabilità quasi zero di uscirne nuovamente. Inoltre, essendo il
foro piccolo, si può formulare l’ipotesi che l’equilibrio termico all’interno della
cavità non sia alterato. In tali condizioni la teoria classica dell’elettromagnetismo
conduce alla densità di energia della radiazione per unità di tempo e
101

102 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
di frequenza ν:
ɛν = 2π
c KT ν2 .
Questa espressione è nota come legge di Rayleigh-Jeans. Essa conduce però
subito a un problema, decisamente spinoso. Difatti, se uno volesse determinare
l’energia totale nella cavità per unità di tempo su tutte le frequenze, gli
basta calcolare l’integrale
∞
E = ɛνdν = ∞,
0
espressione che è evidentemente assurda, in quanto l’energia in una cavità
non può essere infinita. Questo paradosso è noto come catastrofe ultravioletta.
Difatti, a temperatua ambiente, la divergenza tra la densità di energia
prevista da Rayleigh-Jeans e quella sperimentale comincia a manifestarsi proprio
alle frequenze della radiazione ultravioletta: mentre quella classica sale
monotonamente (come ν 2 ), la sperimentale ha un massimo e si annulla esponenzialmente
ad alte frequenze, come deve essere per avere l’integrale finito
su tutte le frequenze. Il problema fu affrontato, ed inutilmente, con tutti
gli strumenti a disposizione della fisica classica del tempo. Occorreva quindi
una nuova rivoluzione concettuale per uscire dall’impasse. E la svolta arrivò
il 14 Dicembre del 1900, ad opera di Max Planck.
6.1.2 Ipotesi di Planck
Planck ipotizzò che l’energia scambiata dalla radiazione con le pareti della
cavità non potesse variare con continuità, ma solo per multipli interi di una
quantià fondamentale di energia. Tale unità di base di energia fu denominata
quanto di energia e la sua stessa energia è proporzionale alla frequenza della
radiazione. Quindi tali energie sono del tipo
E = nhν, n ∈ {0, 1, 2, . . . , ∞},
dove h = 6.62 · 10 −34 J/s è la famosa costante di Planck. L’ipotesi di Planck
costituì un vero e proprio terremoto concettuale per la fisica di quel tempo,
e molti si rifiutarono anche di prenderla in considerazione. La convinzione
di quel tempo era la variazione graduale e continua delle grandezze fisiche
(il famoso motto “Natura non facit saltus”), e di conseguenza ogni ipotesi di
quantizzazione veniva considerata quasi a livello di bestemmia. Riformulando
la teoria della radiazione in cavità con l’ipotesi di Planck, si attiva alla densità
di energia
ɛν = 2πh
c 2
ν 3
e hν
KT − 1 ,

6.1. ELEMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA 103
che è in totale accordo con i dati sperimentali. Inoltre, da questi si potè poi
ricavare una prima stima del valore di h. Alcune conseguenze dell’ipotesi di
Planck:
• L’esponente h
KT vale 10−13 Hz −1 a temperatura ambiente T 300 K.
Di conseguenza, per radiazioni con ν ll10 13 Hz (ossia fino al visibile
quasi) si può sviluppare in serie exp(hν/KT ) 1 + hν/KT e dalla
relazione di Planck si ritrova quella classica di Rayleigh-Jeans.
• L’integrale su tutte le frequenze della relazione di Planck conduce alla
relazione E = σT 4 , nota come legge di Stefan-Boltzmann, σ è la costante
di Stefan, in ottimo accordo con i dati sperimentali: la densità
di energia della radiazione elettromagnetica all’equilibrio in una cavità
è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta.
• Calcolando il massimo della relazione di Planck in funzione della frequenza,
si deduce la relazione νmax ∝ T , ossia la legge dello spostamento
di Wien.
L’ipotesi di Planck segnò l’ingresso trionfale nella scena della fisica dell’ipotesi
di quantizzazione, che poi dilagherà in tutti i campi della fisica del 1900,
sfociando in una teoria completa, la meccanica quantistica.
6.1.3 Effetto fotoelettrico
Un altro fenomeno in cui la quantizzazione si rivelò essere decisiva è l’effetto
fotoelettrico. Esso consiste nell’emissione di elettroni da metalli su cui incide
una radiazione elettromagnetica, solitamente luce. L’evidenza sperimentale
ha condotto all’esistenza di una frequenza di taglio ν0: radiazione al di sotto
di tale frequenza non riusciva ad estrarre elettroni dal metallo, qualunque
ne fosse l’intensità. Inoltre, una volta al di sopra di tale frequenza, l’energia
degli elettroni emessi dipendeva in modo lineare dalla frequenza. Il tutto è
inconcepibile secondo la teoria classica, nella quale l’energia di una radiazione
elettromagnetica dipende dalla sua intensità, la quale a sua volta non
dipende dalla frequenza. Einstein nel 1905 formulò una spiegazione ipotizzando
la quantizzazione della radiazione, ossia del campo elettromagnetico
libero (Planck aveva quantizzato i soli scambi di energia della radiazione all’interno
di una cavità, ossia quella stazionaria). Di conseguenza il campo
elettromagnetico è quantizzato, e i suoi quanti, di energia hν, sono detti fotoni.
L’intensità della radiazione è quindi proporzionale al numero di fotoni.
In base a questa ipotesi per la quale vincerà poi il premio Nobel, Einstein
spiegò completamente l’effetto fotoelettrico. Difatti, in ogni metallo esiste

104 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
un’energia minima per estrarre elettroni da esso, detta funzione di lavoro W .
Un fotone con frequenza ν ed energia hν, tirerà fuori un elettrone con energia
E = hν − W , da cui la dipendenza lineare dalla frequenza. In particolare,
per frequenze minori di ν0 = W/h il fotone non riesce a liberare l’elettrone
dal metallo e l’effetto fotoelettrico non avviene. L’effetto fotoelettrico ha
applicazioni importantissime nella tecnologia: una cellula fotoelettrica è un
elemento di circuito attraverso la quale si ha passaggio di corrente solo quando
essa viene colpita da luce, ed essa viene usata nei cancelli, nei sensori di
luce, eccetera...
6.1.4 Natura duale della radiazione
Nell’effetto fotoelettrico Einstein ipotizzò che la radiazione elettromagnetica
fosse composta da particelle, i fotoni, dandone piena spiegazione. Ad esse
associò anche una quantità di moto p = E/c = hν/c = h/λ. D’altronde,
altre esperienze, come quella di Young, non sono comprensibili se non in base
alla natura ondulatoria della radiazione. La domanda a questo punto è
spontanea: la radiazione ha natura corpuscolare od ondulatoria ? La risposta
è: entrambe. Dipende dal particolare tipo di esperienza, che ne metterà
in risalto una di esse, ma a scapito dell’altra, come sancito dal principio di
complementarietà: in nessuna esperienza è possibile mettere in risalto contemporaneamente
la natura corpuscolare ed ondulatoria della radiazione.
Ad ogni modo, nell’interazione tra radiazione e materia, gli aseptti corpuscolari
diventano via via predominanti all’aumentare dell’energia, e quindi della
frequenza. Quindi, mentre per le radioonde l’aspetto ondulatorio è dominante,
per la luce si comincia ad avere una compresenza di entrambi, mentre per
i raggi gamma l’aspetto corpuscolare è nettamente evidente.
6.1.5 Struttura dell’atomo
Un altro fronte su cui la fisica classica era in difficoltà è quello degli spettri
atomici. Secondo la teoria classica, un atomo colpito dalla radiazione elettromagnetica
avrebbe dovuto assorbirla e riemetterla alla stessa frequenza
(diffusione di Rayleigh). Invece gli esperimenti dimostravano chiaramente
che gli atomi emettevano ed assorbivano su un insieme ristretto di frequenze
ben definite e tipiche di ciascun elemento, i cosiddetti spettri atomici. Ad
esempio, nel caso dell’atomo di idrogeno, si determinò una legge empirica che
riproduceva molto bene le frequenze sperimentali
ν = RH
h
1 1
−
n2 m2

6.1. ELEMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA 105
dove m e n sono numeri interi positivi e RH = 13.6 eV è la costante di
Rydberg. Allora era in voga il modello dell’atomo di Rutherford: un nucleo
centrale molto denso carico positivamente intorno al quale orbitavano gli
elettroni. Ma tale modello, oltre a non rendere conto dell’ esistenza delle righe
spettrali, era instabile da un punto di vista elettrodinamico: orbitando, un
elettrone subiva un’accelerazione. Ma l’elettrone è carico, di conseguenza
avrebbe dovuto emettere onde elettromagnetiche a spesa della sua energia:
esso avrebbe dovuto quindi spiraleggiare verso il nucleo, fino a cascarci sopra
in un tempo dell’ordine di 10 −13 s, in forte contrasto con la stabilità dei
vari atomi conosciuti. Ancora una volta fu un’ipotesi di quantizzazione a
risolvere lo stallo. L’ipotesi nel caso dell’atomo di idrogeno è dovuta a Bohr,
e riguarda il momento angolare orbitale dell’elettrone, che può assumere solo
alcuni valori ben definiti, e discreti (la meccanica classica invece affermava
che avrebbe potuto assumere con continuità tutti i possibili valori). Questa
ipotesi è equivalente ai ben noti postulati di Bohr sull’atomo di idrogeno:
• l’atomo non può assumere con continuità qualunque valori di energia,
ma solo i livelli discreti En = −RH/n 2 , con n intero positivo; su tali
livelli l’elettrone non irradia energia elettromagnetica;
• l’elettrone può transitare tra diversi livelli, e in tali transizioni assorbirà
od emetterà un fotone di frequenza hν = En − Em.
La struttura dell’atomo di Bohr, poi confermata dalla meccanica quantistica,
dà pieno conto delle proprietà spettrali dell’idrogeno. Tuttavia non spiegava
bene le proprietà di atomi più complessi, anche dell’elio, che pure ha due soli
elettroni. Inoltre l’ipotesi di un elettrone che ruotava su precise orbite senza
perdere energia era decisamente artificiosa. Per superare questo problema,
prima di passare alla struttura atomica di atomi più complessi secondo la
meccanica quantistico, va aperta una parentesi per capire le reali proprietà
dell’elettrone.
6.1.6 Natura duale della materia
Nel 1922 un giovane francese, studente di fisica, precedentemente iscritto a
Giurisprudenza, Louis de Broglie, presentò nella sua tesi di laurea una nuova
rivoluzionaria ipotesi: anche la materia presenta il dualismo corpuscolo-onda,
analogamente alla radiazione. In particolare De Broglie ipotizzò che a una
particella di momento p = mv si associasse un’onda di materia con lunghezza
λ = h/p. Ad esempio, un elettrone in moto con velocità 10 3 m/s (non
relativistica) ha una lunghezza d’onda dell’ordine di 10 −10 m, analoga a quella
dei raggi X. Quindi, se inviamo un fascio di elettroni con questa velocità su un

106 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
cristallo, dovremmo osservare analoghi effetti di diffrazione. Tale diffrazione
fu rilevata e misurata da Davisson e Germer, che confermarono pienamente la
validità dell’ipotesi di de Broglie. Nel caso di oggetti ordinari, la lunghezza
d’onda associata è talmente piccola da non poter essere sperimentalmente
misurabile. Ad esempio, una pallina da golf (massa m = 10 −3 Kg) a una
velocità di 10 m/s avrà una lunghezza d’onda dell’ordine di 10 −32 m ! Per
confronto, si pensi che l’elettrone ha un raggio stimato inferiore a 10 −17 m.
6.1.7 Indeterminazione di Heisenberg
La struttura granulare della materia e della radiazione pone dei limiti alla
precisione delle misure che possiamo effettuare su di loro. Ad esempio, se
voglio sapere dove si trova un elettrone, devo necessariamente inviare su di
esso un fotone per “illuminarlo”: ma il fotone, interagendo con l’elettrone,
gli comunicherà un impulso e quindi una velocità incognità. Un discorso
equivalente si può fare in termini di velocità a scapito della posizione. È
quindi impossibile misurare contemporaneamente con precisione arbitraria
posizione e velocità di una particella (od onda). Questo è l’enunciato del
principio di indeterminazione di Heisenberg, che in termini matematici si
scrive
∆x∆px h,
dove ∆x è l’incertezza nella posizione x e ∆px quella relativa alla quantità di
moto nella stessa direzione. A livello di energia e tempo vale una relazione
analoga ∆E∆t h. Naturalmente, a livello macroscopico, l’indeterminazione
è praticamente uguale a zero, visto il valore estremamente ridotto della
costante di Planck 1 .
Il principo di Heisenberg consegue dalla natura ondulatoria (per questo
non ha implicazioni sulla vita ordinaria), precisamente dalle relazioni
di Fourier tra pacchetti di onde. Le sue conseguenze a livello di particelle
microscopiche sono molto importanti, in quanto dobbiamo rinunciare all’idea
classica di poter descrivere con precisione il moto di una particella. A
posizione e velocità nella meccanica quantistica si sostituisce il concetto di
onda, e si misura la probabilità di trovare tale onda, e quindi la particella, in
una determinata zona dello spazio. Nel caso degli elettroni negli atomi, non
avremo quindi le orbite, ma gli orbitali, che sono funzioni matematiche che
descrivono la probabilità di trovare l’elettrone in una certa zona dello spazio
intorno al nucleo.
1 Esiste un bel e curioso libro, di cui al momento non mi sovviene il titolo, nel quale si
prospettano le conseguenze nella vita quotidiana di un valore di h dell’ordine di 1 J/s

6.2. PROPRIETÀ DEGLI ELETTRONI NEI SOLIDI 107
6.1.8 Equazione di Schrodinger e struttura degli atomi
i quattro numeri quantici e principio di esclusione di Pauli. Configurazione
e denominazione degli orbitali atomici. Ordine di riempimento e tavola
periodica. Periodicità delle proprietà chimiche di elementi con la stessa
configurazione elettronica degli orbitali più esterni.
6.2 Proprietà degli elettroni nei solidi
6.2.1 Legami chimici
Un guscio elettronico (in inglese shell) è contrassegnato dagli orbitali elettronici
che hanno in comune lo stesso valore del numero quantico principale n.
Tale guscio è completo quando tutti i suoi orbitali sono riempiti da elettroni
in accordo con il principio di esclusione di Pauli. In virtù delle relazioni tra i
numeri di occupazione dei vari orbitali, si dimostra che il guscio con numero
quantico principale n può contenere 2n 2 elettroni. Di conseguenza i gusci
con n = 1, 2, 3 possono contenere 2, 8, 18 elettroni rispettivamente. Quando
un guscio è completo, si presenta una stabilità superiore, e i corrispettivi
elementi chimici sono detti gas nobili, ad indicare la loro scarsa tendenza a
lergarsi con altri elementi. I gas corrisponenti alla chiusura delle shell con
n = 1, 2, 3 sono l’elio, il neon e l’argon, rispettivamente, ed hanno un numero
totale di elettroni, ossia un numero atomico, pari a 2, 10 e 18 (difatti vanno
inclusi anche gli elettroni dei gusci interni per un dato valore di n) 2 . In caso
contrario, i vari atomi cercheranno di raggiungere la configurazione del gas
nobile più vicino ad essi in tavola periodica, cedendo, acquistando, o mettendo
in comune gli elettroni del guscio più esterno (dato che quelli interni
sono completi, essi non partecipano al processo). Questo processo, che porta
alla formazione di aggregati di atomi (le molecole), è il legame chimico. Ad
esempio, atomi che hanno due o un elettrone sul guscio più esterno, che viene
detto per tale motivo di valenza, insieme ai suoi elettroni, cercheranno di
cederli; viceversa, atomi con uno o due elettroni mancanti sul guscio esterno
cercheranno di acquistarli. Nel caso pratico, un esempio del primo gruppo di
elementi sono il potassio e il magnesio (1 e 2 elettroni in più), del secondo
gruppo sono fluoro ed ossigeno (1 e 2 elettroni in meno).
Esistono tuttavia diversi tipi di legami chimici, e quindi di solidi.
• Legami ionici. Sono caratterizzati dalla cessione completa di uno o
2 L’argon possiede 18 elettroni invece di 28 siccome per effetto di interazioni tra gli
elettroni, si riempiono prima gli orbitali 4s degli orbitali 3d, e di conseguenza il terzo
guscio si completa solo con gli orbitali 3s e 3p, come per il secondo.

108 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
più elettroni da un atomo all’altro. Di conseguenza il legame nasce per
l’attrazione elettrostatica di ioni con cariche di segno opposto, in quanto
l’atomo che cede elettroni diventa uno ione positivo, mentre quello che
li acquista uno ione negativo. L’esempiò più famoso di solido ionico è
il comune sale da cucina, cloruro di sodio, in cui ogni atomo di sodio
cede un elettrone a quello di cloro.
È evidente che si tratti di sostanze
polari, e sono cattivi conduttori di elettricità e di calore siccome gli
elettroni sono legati agli atomi in configurazioni molto stabili.
• Legami covalenti. In questo tipo di legami non si ha cessione completa
di elettroni da un atomo all’altro, quanto una condivisione. Si
forma quindi un nuovo orbitale elettronico non intorno a un solo atomo,
ma tra due (o anche più) atomi. Questo orbitale viene detto di legame,
o molecolare. A seconda della struttura degli atomi componenti e persino
della configurazione geometrica, la probabilità di trovare, all’interno
del legame molecolare, l’elettrone può essere uniforme o maggiore intorno
a uno degli atomi del legame. Per questo motivo alcune sostanze
covalenti sono polari (come l’acqua), mentre altre no (il metano). Anche
in questo tipo di legami gli elettroni sono ben confinati negli orbitali
molecolari e sono in genere cattivi conduttori di elettricità e di calore,
seppur in grado minore rispetto ai solidi ionici.
• Solidi metallici. Essi sono un caso limite dei solidi covalenti. In
essi difatti si forma un orbitale di legame che coinvolge pressochè tutti
gli atomi del solido. Di conseguenza gli elettroni possono muoversi in
modo pressochè libero in tutto il solido e per questo essi sono ottimi
conduttori di elettricità e calore.
• Solidi molecolari. Sono composti da molecole polari tra le quali si
formano legami per effetto delle attrazioni elettrostatiche tra le stesse
molecole (forze di Van der Waals). Un esempio di solido molecolare è
il ghiaccio. Sono cattivi conduttori di elettricità e di calore.
6.2.2 Bande. Isolanti e conduttori
Abbiamo notato come, quando due atomi si avvicinano tra di loro per formare
un legame covalente, nasca un orbitale di legame, esteso sui due atomi. In
effetti si formano due orbitali di legame, di diversa energia, e quello di legame
sarà ovviamente in condizioni di equilibrio, quello avente minore energia. In
un metallo, dove un numero molto grande N di atomi forma un legame, avremo
quindi N possibili livelli di energia, separati da una distanza decrescente
con N. Nel caso di un metallo, con un numero N 10 23 di elettroni, i livelli

6.2. PROPRIETÀ DEGLI ELETTRONI NEI SOLIDI 109
di energia formano una successione pressochè continua. Questa successione
di energie permesse algi elettroni del solido viene detta banda di energia. I
livelli di energia non compresi nelle bande sono inaccessibili agli elettroni, e
costituiscono la zona proibita.
In termini di bande, possiamo comprendere se un solido covalente sia
conduttore od isolante. Supponiamo dunque di avere un elemento del primo
gruppo della tavola periodica (Litio, Sodio, Potassio...). Quando si forma
un solido di N atomi, ciascun atomo fornisce un elettrone, avremo quindi
N elettroni. Si formerà una banda con N livelli di energia, in ciascuno dei
quali si possono accomodare due elettroni a spin opposto 3 . Di conseguenza
la banda si riempie a metà nei primi N/2 livelli. Gli elettroni sui livelli superiori
possono quindi essere facilmente eccitati ad energie più alte acquistando
velocità e dando così origine a un moto, ossia a una corrente se sotto l’azione
di un campo elettrico. Questi solidi sono i conduttori, e sono caratterizzati
dall’avere l’ultima banda occupata da elettroni parzialmente piena.
Tale banda si dice di conduzione e il livello più alto in energia occupato da
elettroni si dice livello di Fermi. Dalla sua energia, detta di Fermi, si ricava
anche la velocità, che è esattamente quella con cui un elettrone si sposta tra
un utro e il successivo con gli atomi nella teoria di Drude, inaccessibile alla
meccanica classica. Riformulando la teoria di Drude nella struttura a bande,
si trova ancora una conducibilità del tipo σ = ne 2 τ/m ∗ e, dove n è stavolta
il numero di elettroni per unità di volume nella banda di conduzione, e e τ
rimangono cariuca e tempo di cammino libero medio dell’elettrone, ma m ∗ e
è la cossidetta massa efficace dell’elettrone, una sorta di rinormalizzazione
della massa dell’elettrone dovuta alla presenza degli atomi del reticolo e delle
interazioni con esso.
Invece, se la struttura degli atomi componenti un solido è tale che l’ultima
banda sia completamente piena, separata dalla banda successiva, che
rimane vuota, l’eccitazione degli elettroni non è in genere facile, a meno di
dare un’energia così alta da scavalcare la zona proibita tra le due bande.
Di conseguenza non si originano moti degli elettroni e il solido è isolante.
L’ampiezza della zona proibita, ossia la differenza in energia tra il fondo
della banda di conduzione (vuota) e la cima dell’ultima banda di valenza
(completamente piena), viene detta gap. In condizioni di equilibrio termico,
l’energia termica potrebbe stimolare gli elettroni ad attraversare la zona proibita,
ma essa è dell’ordine degli elettronvolt (eV). Siccome un eV equivale a
circa 10000 K, per raggiungere tale eccitazione servirebbero temperature in
3 Naturalmente, gli elettroni che passano dagli atomi alle bande non sono più contraddistinti
dai numeri quantici atomi, ma conservano lo spin, che è una proprietà intrinseca
dell’elettrone.

110 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
corrispondenza delle quali il solido sarebbe già fuso ! Corrispondentemente,
servirebbero campi elettrici troppo intensi per una corrispettiva eccitazione
di natura elettrica.
6.2.3 Semiconduttori
I semiconduttori sono alcuni elementi del quarto gruppo della tavola periodica
(Silicio, Germanio). Essi presentano una disposizione ed occupazione
delle bande analoga a quella degli isolanti, ossia la banda di valenza è completamente
piena e quella successiva, di conduzione, risulta vuota. Tuttavia
la differenza in energia tra il fondo della banda di conduzione e la sommità
di quella di valenza, la cosiddetta energia di gap, risulta molto piccola confrontata
con quella degli isolanti. Ad esempio per il Silicio risulta Eg = 1.11
eV, e per il germanio Eg = 0.66 eV (un isolante come il diamante presenta
Eg = 5.33 eV). Tale ridotta differenza di energia rende possibile il passaggio,
per eccitazione termica, di elettroni dalla cima della banda di valenza al fondo
di quella di conduzione. Questi elettroni saranno liberamente eccitabili
da un campo elettrico esterno e daranno origine a una corrente, anche se
molto minore rispetto a quella tipica di un metallo. Inoltre, per effetto di un
campo elettrico esterno, anche gli elettroni della banda di valenza potranno
muoversi nei siti lasciati liberi da quelli passati alla banda di conduzione: ai
fini della corrente, tale effetto è equivalente a quello di una carica elettrica
positiva che si muove in verso opposto a quello degli elettroni. Tali cariche
fittizie vengono dette lacune (in inglese holes). Di conseguenza la corrente
in un conduttore intrinseco dipenderà dal moto di elettroni nella banda di
conduzione e lacune nella banda di valenza.
Semiconduttori intrinseci
Si dicono semiconduttori intrinseci i materiali puri in cui la conducibilità è
legata esclusivamente ai portatori di carica originati dall’eccitazione termica.
In particolare ci si attende che il numero di tali portatori aumenti con la
temperatura e al diminuire dell’energia di gap. Vale infatti la relazione,
derivata da considerazioni statistiche
ni = C(KT ) 3/2 e −Eg/KT
ove ni è il numero dei portatori di carica per unità di volume e C è una
costante dipendente dall’elemento. Questa legge è valida sotto la condizione
Eg ≫ KT , verificata in tutte le temperature per cui il semiconduttore
rimane solido (si ricordi, per futuri confronti, che un eV equivale a circa 10 4
K). Valori tipici per ni a temperatura ambiente (T = 300 K) sono 1.5 · 10 16 e

6.2. PROPRIETÀ DEGLI ELETTRONI NEI SOLIDI 111
2.3 · 10 19 elettroni/lacune per m 3 nel silicio e nel germanio, rispettivamente,
si noti come la concentrazione sia più alta nel germanio che difatti presenta
una minore energia di gap. Tali valori rimangono tuttavia molto minori rispetto
a quelli tipici di un metallo, dove si ha ni 10 28 elettroni su m 3 . In
particolare in un semiconduttore intrinseco, dato che ogni elettrone eccitato
termicamente genera una corrispettiva lacuna nella banda di valenza, la
concentrazione di elettroni e lacune, ossia i rispettivi valori di ne e nh, sarà
uguale: ne = nh = ni.
Se per effetto di un campo elettrico gli elettroni nella banda di conduzione
e le lacune nella banda di valenza assumono velocità rispettive ve e vh, avremo
le due correnti
Je = −enive
e
Jh = enivh,
aventi lo stesso verso siccome le velocità di elettroni e lacune hanno segni opposti.
Per campi elettrici E non troppo intensi, le velocità sono proporzionali
ad essi, e il coefficiente di proporzionalità viene definito mobilità. Avremo
quindi la mobilità elettronica ve = −µe E e quella delle lacune vh = µh E.
In particolare, la mobilità è una quantità definita positivamente, da cui la
presenza del segno meno nella relazione della mobilità elettronica. Le mobilità
(che si misurano in m 2 /Vs), sono ovviamente diverse per gli elettroni e
le lacune siccome il loro moto avviene in contesti fisici diversi, e quella degli
elettroni risulta sempre maggiore di quella delle lacune. Nella seguente tabella
sono riportati i valori delle mobilità insieme ad altre grandezze fisiche
caratteristiche a temperatura ambiente (sempre T = 300 K) per il silicio, il
germanio e l’arseniurio di gallio (GaAs).
Eg (eV) µe (m 2 /Vs) µh (m 2 /Vs) ni (m −3 ) σ (Ω −1 m −1 )
Si 1.11 0.135 0.05 1.5 · 10 16 4.4 · 10 −4
Ge 0.66 0.39 0.19 2.3 · 10 19 2.13
GaAs 1.43 0.80 0.03 7.5 · 10 12 10 −6
La corrente in un semiconduttore sarà quindi la somma di quella elettronica
e delle lacune:
J = Je + Jh = eni(µe + µh) E = σ E,
laddove la costante di proporzionalità tra la corrente e il campo elettrico, la
conducibilità elettrica, nel seminconduttore intrinseco, è data da
σ = eni(µe + µh).
A temperatura ambiente, si ottengono i valori della conducibilità riportati
nella tabella precedente, molto minori di quelle presentate dai metalli (nel

112 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
rame si ha σ 10 7 Ω −1 m −1 ). In particolare, dato che la conducibilità è
proporzionale alla concentrazione dei portatori di carica, essa aumenta con
la temperatura, al contrario dei metalli.
Semiconduttori estrinseci
I semiconduttori intrinseci presentano una conducibilità troppo bassa ed inoltre
essa dipende criticamente dalla temperatura. Per tali scopi essi non sono
adatti per l’industria elettronica. Per migliorare le loro prestazioni si
immettono in modo controlato impurità, allo scopo di aumentare la concentrazione
di elettroni o lacune. Tale operazione viene definita drogaggio
(inglese doping), e il semiconduttore diventa estrinseco. Esistono due tipi
di drogaggio, a seconda che venga aumentata la concentrazione di elettroni o
lacune. Nel primo caso saremo in presenza di drogaggio di tipo n (negativo),
nel secondo caso di tipo p (positivo).
Nel drogaggio di tipo n, si introducono, al momento della produzione,
nel cristallo del semiconduttore, atomi di un elemento del V gruppo della
tavola periodica. Siccome essi sono pentavalenti (fosforo, arsenico, antimonio),
ossia hanno cinque elettroni disponibili per formare legami, di fronte ai
quattro dei semiconduttori, tetravalenti, un elettrone per ogni atomo pentavalente
rimane non legato. Tale elettrone si posiziona su un livello di energia
isolato appena poco sotto il fondo della banda di conduzione e per effetto dell’eccitazione
termica passerà immediatamente alla banda di conduzione. Di
conseguenza la concentrazione di elettroni derivanti dagli atomi pentavalenti
supera di gran lunga quella degli elettroni intrinseci eccitati termicamente, e
si avrà una corrente dovuta in modo preponderante ad essi. Quindi potremo
scrivere
J = endµe E σ = endµe,
laddove nd è la concentrazione di donori, ossia di atomi pentavalenti che
donano, uno ciascuno, elettroni alla banda di conduzione.
Nel drogaggio di tipo p, si introducono, al momento della produzione,
nel cristallo del semiconduttore, atomi di un elemento del III gruppo della
tavola periodica. Siccome essi sono trivalenti (boro, indio, gallio), ossia
hanno tre elettroni disponibili per formare legami, di fronte ai quattro dei
semiconduttori, tetravalenti, per ogni atomo trivalente rimane un orbitale
vuoto, ossia una lacuna. Tale lacuna si posiziona su un livello di energia
isolato appena poco sopra la sommità della banda di valenza e per effetto
dell’eccitazione termica un elettrone della banda di valenza passerà immediatamente
a tale livello (orbitale), liberando così una lacune nella banda di
valenza disponibile per la conduzione di corrente. Di conseguenza la concentrazione
di lacune derivanti dagli atomi trivalenti supera di gran lunga

6.2. PROPRIETÀ DEGLI ELETTRONI NEI SOLIDI 113
quella delle lacune intrinseche nate dal passaggio degli elettroni eccitati termicamente
alla banda di conduzione, e si avrà una corrente dovuta in modo
preponderante ad esse. Quindi potremo scrivere
J = enaµh E σ = enaµh,
laddove na è la concentrazione di accettori, ossia di atomi trivalenti che
accettano elettroni nella banda di valenza.
E’ facile realizzare drogaggi con una concentrazione nd 10 22 atomi/m 3 ,
molto maggiori della concentrazione di portatori intrinseci a temperatura ambiente.
Di conseguenza la conducibilità viene incrementata di diversi ordini
di grandezza e diventa sostanzialmente stabile nei confronti della temperatura
(le mobilità dipendono debolmente da essa). Infine, dispositivi in cui
il dorgaggio non è omogeneo, ossia in cui si passa da una zona del cristallo
in cui si ha drogaggio di tipo p a un’altra che presenta drogaggio di tipo n,
presentano caratteristiche corrente-tensione spiccatamente non lineari, ottime
per la realizzazione di veri e propri interruttori o amplificatori di segnali
(diodi e transistor), alla base della moderna elettronica.