Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

1.1. MATEMATICA VETTORIALE 11
che sanciscono la loro ortonormalità.
La definizione dei prodotti ci permette di facilitare l’introduzione di alcuni
operatori, nei quali un termine del prodotto diventa l’operatore differenziale
vettoriale ∇ (nabla), che in termini di componenti cartesiane risulta ∇ =
∂x î + ∂y ˆj + ∂z ˆ k 2 . Essi sono (tutti gli scalari e i vettori qui presenti sono
implicitamente assunti dipendere dalle coordinate x, y, z)
• operatore gradiente:
A = ∇a ≡
grad a,
che, applicato su uno scalare a, restituisce il vettore A. In termini di
componenti si ha
• operatore divergenza:
Ax = ∂xa,
Ay = ∂ya,
Az = ∂za.
a = ∇ · A ≡ div A,
che, applicato su un vettore A, restituisce lo scalare a. In termini di
componenti si ha
a = ∂xAx + ∂yAy + ∂zAz.
• operatore rotore:
B = ∇ × A ≡ rot A,
che, applicato su un vettore A, restituisce un vettore B. In termini di
componenti basta ripetere il caso del prodotto vettoriale, considerando
∇ come primo vettore e A come secondo
Bx = ∂yAz − ∂zAy,
By = ∂zAx − ∂xAz,
Bx = ∂xAy − ∂yAx
equivalenti al solito determinante simbolico
B =
î
∂x
ˆj
∂y
kˆ
∂z
,
2 Usiamo la notazione abbreviata ∂x = ∂/∂x.
Ax Ay Az