Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

5.2. INTERFERENZA E DIFFRAZIONE 95
Possiamo trasformare tale frazione in funzione di seni con alcune manipolazioni
e ricordando la formula di Eulero (e iα − e −iα = 2i sin α):
1 − eiNkδ eiNkδ/2
=
1 − eikδ eikδ/2 eiNkδ/2 − e−iNkδ/2 eikδ/2 − e−ikδ/2 In definitiva, il campo totale in P sarà allora
e il suo modulo quadro sarà
sin(Nkδ/2)
= ei(N−1)kδ/2
sin(kδ/2) .
E(P ) = E0e i(ikr1−ωt) e i(N−1)kδ/2 sin(Nkδ/2)
sin(kδ/2)
|E(P )| 2 = E 2 sin
0
2 (Nkδ/2)
sin2 (kδ/2) ,
nell’ipotesi che l’ampiezza E0 sia un numero reale. Per ciascuna sorgente
l’intensità dell’onda emessa I0 sarà proporzionale al modulo quadro del campo
elettrico I0 = aE 2 0. La costante di proporzionalità sarà la stessa anche
per l’onda risultante nel punto P (per i motivi già esaminati nello studio
dell’interferenza di due sorgenti), cosicché
I = a|E(P )| 2 = aE 2 sin
0
2 (Nkδ/2)
sin2 (kδ/2)
sin
= I0
2 (Nkδ/2)
sin2 (kδ/2) .
Anche in questo caso l’interferenza presenta massimi e minimi, ma stavolta
più “strutturati”. Si desume infatti l’esistenza di massimi principali e secondari.
I massimi principali si trovano nei punti in cui l’intensità ha massimo
valore assoluto, ossia in quei punti per cui il denominatore della frazione va
a zero:
sin(kδ/2) = 0 ⇒ kδ
= mπ ⇒ d sin θ = mλ m ∈ Z0
2
e non dipendono dal numero delle sorgenti N. In corrispondenza di essi si
osserverà un’intensità finita e non divergente, come a prima vista potrebbe
sembrare. Infatti si osserva che in corrispondenza di tali valori va a zero
anche il numeratore della frazione, con un infinitesimo dello stesso ordine.
Per calcolare tale valore finito, passiamo al limite. Posto x = kδ/2, avremo
I0
sin
I = I0 lim
x→0
2 (Nx)
sin2 (x)
x
lim N
x→0 Nx
= I0
lim
x→0
2
sin(Nx)
= I0 N lim
sin(x)
x→0
2 sin(Nx)
=
sin(x)
x
sin(x)
2 sin(Nx)
=
Nx