Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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30 CAPITOLO 2. DIELETTRICI infinitesimo si ha dW = qEdx = Edp. Per un dipolo in un volume unitario si ha P = p da cui dW = EdP = ɛ0χEdE, da cui per integrazione si ha W = (ɛ0χE 2 )/2, che è esattamente l’energia di polarizzazione determinata precedentemente. 2.7 Polarizzazione elettronica Ci proponiamo di dimostrare a livello microscopico la validità della relazione P ∝ E, almeno nel caso della polarizzazione elettronica. Consideriamo un gas monoatomico con numero atomico Z in un campo elettrico E. A causa del campo il nucleo positivo e il centro della nube elettronica si separano fino a raggiungere una distanza di equilibrio d. In tali condizioni l’atomo acquista un momento di dipolo pa = Ze d. Studiamo la dinamica della nuvola elettronica, o meglio, del suo centro, nel sistema di riferimento solidale al nucleo atomico che, in virtù della massa molto superiore, rimarrà pressochè fermo. La nuvola elettronica ha densità di carica ρ− = − Ze 4/3πR 3 con R raggio dell’atomo. In tal caso il nucleo, spostato di d rispetto al centro della nuvola, risente di un campo elettrico generato dalla nuvola e schematizzabile come quello di una distribuzione sferica uniforme di carica al suo interno E− = ρ− d. 3ɛ0 e quindi subirà la corrispondente forza F− = Ze E−. La forza esercitata invece dal nucleo sulla nuvola sarà uguale ed opposta: FNUC = − F− = −Ze E−. All’equilibrio, la forza sulla nuvola esercitata dal nucleo equilibra quella sulla nuvola per effetto del campo E: FNUC + F E = −Ze ρ− d − Ze 3ɛ0 E = 0, da cui troviamo l’espressione della distanza di equilibrio in funzione del campo elettrico E: d = − 3ɛ0 E. Inserendo tale risultato nella definizione di momento di dipolo dell’atomo e ricordato il valore di ρ−, avremo alfine ρ− pa = ɛ04πR 3 E = ɛ0αe E,
2.8. ESERCIZIO CAMPIONE 31 avendo definito la polarizzabilità elettronica αe = 4πR 3 . Introducendo il numero di atomi per unità di volume na, ricaviamo P : P = napa = ɛ0naαe E = ɛ0χ E, la relazione cercata che sancisce la proporzionalità tra i campi, laddove χ = naαe. Per i gas monoatomici valori tipici sono R ∼ 10 −10 m, na ∼ 10 25 atomi/m 3 , da cui si desume χ ∼ 10 −4 . 2.8 Esercizio campione Considerare un condensatore piano con armature di superficie Σ e distanza d, all’interno del quale vi è una lastra di dielettrico di spessore h ≤ d. In particolare, la posizione della lastra all’interno del condensatore si dimostererà essere indifferente. Il dielettrico è lineare ed omogeneo con costante relativa κ. Tra le armature del condensatore viene stabilita una differenza di potenziale ∆V . Si determinino tutte le proprietà elettriche del sistema, ossia: i campi P , D e E nel dielettrico e nel vuoto, la densità di carica libera sulle armature del condensatore σ, le densità di carica di polarizzazione nel dielettrico σP e ρP , e la capacità del condensatore. I passi da compiere, sono, nell’ordine: • Calcolare il vettore D in funzione della carica libera nello spazio tra le armature, essendo tale calcolo indipendente dal dielettrico; • Noto D, si determinano i campi P e E sia nel vuoto che nel dielettrico, dato che possiamo usare la relazione P = ɛ0χ E per ipotesi di linearità del dielettrico. • Dal vettore P si calcolano le densità di carica di polarizzzazione, sia di superficie che di volume, in particolare questa ultima risulta nulla (anche per la linearità del dielettrico). • Determinati il campo E, dalla relazione con la differenza di potenziale tra le armature ∆V = − E · d l, tenuto conto del valore diverso nel campo nel vuoto e nel dielettrico, si collega così la differenza di potenziale alla carica sulle armature σ. Inoltre si dimostra in questa sede che il problema dipende dagli spessori h e d, ma non dalla posizione relativa della lastra tra le due armature.
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