Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

Capitolo 1
Richiami
1.1 Matematica vettoriale
Nello studio degli argomenti inerenti il corso (e dei relativi esercizi !) è di
basilare importanza la conoscenza del calcolo vettoriale. Iniziamo prima
di tutto dalla nozione di campo vettoriale. Un campo è un modello matematico
che permette di associare ai punti di una certa regione di spazio una
particolare proprietà fisica. La proprietà può avere natura scalare (se è descritta
da un numero) o vettoriale (se descritta da modulo, direzione e verso,
ossia un vettore), perciò si distingue tra campi scalari (come un campo di
temperatura) e campi vettoriali (come un campo di velocità o un campo di
forza). Tutte le grandezze del corso qui presenti riguarderanno campi scalari
o vettoriali, se non altrimenti specificato. Detto ciò, ricapitoliamo qui alcune
operazioni, insieme alle loro espressioni esplicite in coordinate cartesiane,
nelle quali possiamo scrivere in termini di componenti il generico vettore
A = Ax î + Ay ˆj + Az ˆ k.
• Prodotto scalare:
a = A · B
che, applicato ai vettori A e B restituisce il numero reale, ossia lo
scalare a. In termini di componenti risulta
e di moduli
a = AxBx + AyBy + AzBz,
a = AB cos ϑ,
essendo ϑ l’angolo formato dai due vettori. Due vettori si dicono ortogonali
quando il loro prodotto scalare è nullo, ossia quando essi formano
un angolo ϑ = π/2. Il prodotto scalare è commutativo:
A · B = B · A.
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